2021张掖二中高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2021张掖二中高一下学期期中考试数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
张掖二中2020—2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学（特部） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）A．                 B．C．                D．2. 设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－)，且cosα＝，则sinα＝（    ）A． B． C． D．3. 有标号分别为1、2、3.的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是(      )A． B． C． D．4. 定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 (   )                A.         B.           C.         D. 5. 把189化为三进制数，则末位数是(　　)A.0              B.1             C.2            D.36. 下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是(　　)A．6            B．10              C．91             D．927. 1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（    ）A．  B． C． D．8. 某校高一、高二、高三分别有学生人数为495，493，482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1，2，3，…，1 470编号，若第1组用简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为(　　)A．15            B．16             C．17　　　　       D．189. 若＝2，则sinθcosθ的值是A．－ B． C．± D．10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,设a=f(log26),b=f(lo3),c=f（）,则a,b,c的大小关系是(　　)A.c<b<a      B.b<c<a         C.b<a<c        D.a<b<c11. 已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则事件“A∩B＝B”发生的概率是(　　)A.　　   　  B.            C.　　   　   D．112. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)A.           B．          C.     D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温的数据如下表.气温x(℃)141286用电量y(度)22263438由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为________．14. 函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是        ．15. 实数x，y满足x2+(y-1)2=1，则的取值范围是          .16. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)  已知f(α)＝.(1)化简f(α)；      (2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；   18. (12分)已知函数.(1)若 ，求方程的根；(2)若对任意 ， 恒成立，求的取值范围.    19. (12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b.(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a<0时，函数f(x)在[上的值域为[]，求a，b的值．   20. (12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．(Ⅰ)求证：PC⊥AD；(Ⅱ)求点D到平面PAM的距离．    21. (12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1) 若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2) 从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．   22. (12分)某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率；（2）同一组数据用该区间的中点值作代表.（i）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；（ii）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收到600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元.方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？参考数据：.  张掖二中2020—2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学（特部）答案1.B2.【答案】B【分析】利用余弦函数的定义求得x，再利用正弦函数的定义即可求得sinα的值．【详解】解：∵α为第四象限角，其终边上一个点为（x，），则cosαx（x＞0），∴，∴x2＝3，又α为第四象限角，x＞0，∴x，∴sinα；故选：B3.【答案】D【分析】先确定从这五张卡片中任取两张的事件数，再确定两张卡片颜色不同且标号之和小于4的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】因为从这五张卡片中任取两张共有种基本事件，两张卡片颜色不同且标号之和小于4有种基本事件，因此所求概率是，选D.4．C【解析】试题分析：根据题意，由于定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，且可知的最小正周期是，那么可知=== - =-，故可知答案为C5.考点　十进位制化k进制题点　十进位制化其它进制答案　A解析　采用“除k取余法”，得即189＝21 000(3).6. 解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于或等于90的学生人数，由茎叶图知：数学成绩大于或等于90的学生人数为10，因此输出的结果为10.故选B.7.【答案】C【分析】在直角三角形中，求得的表达式，利用计算出所求的概率.【详解】在直角中，，，则，故选C.【点睛】本小题主要考查几何概型，考查三角形的面积公式，考查梯形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.8.解析：选C.由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17.9.【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系式，求得，再化简，代入即可求解，得到答案.【详解】根据同角三角函数的基本关系式，可得，解得，所以，故选B. 10. A   解析:由f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,则f(x)在[0,+∞)上是增函数,由b=f（lo3）=f(-log23)=f(log23),由0<<log23<log26,得f（）<f(log23)<f(log26),即c<b<a.故选A.11.解析：∵A∩B＝B，∴B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B＝∅时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1,2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a，b，∴事件“A∩B＝B”发生的概率为＝.故选C.12.解析：选D.由题图知解得又由题图知＝＝－＝，故ω＝2，则f(x)＝sin (2x＋φ)＋.又f＝sin＋＝，故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，故φ＝，所以f(x)＝sin＋.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后得到g(x)＝sin＋的图象，又函数g(x)的图象关于点对称，即h(x)＝·sin的图象关于对称，故·sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝－(k∈Z)，令k＝2，则m＝，故选D.13.答案　40解析　∵＝(14＋12＋8＋6)＝10，＝(22＋26＋34＋38)＝30，∴a＝－b＝30＋2×10＝50，∴线性回归方程为y＝－2x＋50.∴当x＝5时，y＝－2×5＋50＝40.14.答案　1解析　f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1.∵x∈，∴cos x∈[0,1]，∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.15.【答案】  【解析】设，则，表示斜率为的直线在y轴上的截距 又满足，所以直线与圆有公共点，圆心到直线的距离   ，解得16.答案：40π解析：由题意，cos∠ASB＝，所以sin∠ASB＝＝，所以S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB＝SA2·sin∠ASB＝SA2＝5，所以SA＝4.设圆锥底面的圆心为O，连接SO，OA，则SO与底面垂直，所以∠SAO即为SA与底面所成的角，所以∠SAO＝45°，所以OA＝SA＝2，所以底面周长l＝2π·OA＝4π，　所以圆锥的侧面积S＝l·SA＝40π.17.考点　综合运用诱导公式化简、求值      题点　综合运用诱导公式化简、求值解　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.-----5分(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.------7分又∵<α<，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，------9      ∴cos α－sin α＝－.-------10分18.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）时，，可得：，--------4分       ，，解得---6分（2）令，，-----7分由，可得，对恒成立，-----9分因为，当且仅当，即时，的最小值为；--10分，故，的取值范围为.------------12分19.考点　正弦、余弦函数性质的综合应用     题点　正弦、余弦函数性质的综合应用解　(1)当a＝1时，函数f(x)＝sin＋1＋b.因为函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)，所以当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，------3分即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数．-----------5分所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．------6分(2)f(x)＝asin＋a＋b，因为x∈[0，π]，所以－≤x－≤，---7分所以－≤sin≤1.又因为a<0，所以a≤asin≤－a，---9分所以a＋a＋b≤f(x)≤b.因为函数f(x)的值域是[2,3]，所以a＋a＋b＝2且b＝3，解得a＝1－，b＝3.----12分20.解：(Ⅰ)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OC，AC.依题意可知，△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD.(3分)又∵OC∩OP＝O, ∴AD⊥平面POC.又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD, ∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高．(7分)由题意得PA＝AC＝4，∵M为PC的中点，∴AM⊥PC.在Rt△POC中，PO＝OC＝2，∴PC＝2，PM＝，∴在△PAC中，PC边上的高AM＝＝， ∴△PAC的面积S△PAC＝PC·AM＝×2×＝2.(9分)△ACD的面积S△ACD＝AD·OC＝×4×2＝4. 点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离．设点D到平面PAC的距离为h，由VD－PAC＝VP－ACD，得S△PAC·h＝S△ACD·PO，即×2·h＝×4×2，解得h＝，即点D到平面PAM的距离为.(12分)21.解：(1)将圆C的方程配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当所求直线在两坐标轴上的截距为零时，设所求直线的方程为y＝，由直线与圆相切得，解得k=2±，所以切线方程为y＝(2±)x.---3分②当所求直线在两坐标轴上的截距不为零时，设所求直线的方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：，解得a=－1或a=3，所以切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.---6分综上，切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由｜PO｜＝｜PM｜，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－22x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当｜PM｜取得最小值时，｜OP｜取得最小值，此时直线OP⊥l.-----9分∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.----12分22.【详解】（1）第一组有人，第二组有人.-----1分按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为，第二组抽5人，记为，，，，.从这6人中抽2人共有15种：，，，，，，， ，，，，，，，.-----3分获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种：，， ，，，，，，，.-----4分于是获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率.-----------5分（2）（i）这100人月薪收入的样本平均数和样本方差分别是----6分；------7分（ii）方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）； 月薪落在区间收活动费用约为（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；、因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）.--------10分方案二：这50人共收活动费用约为（万元）.------11分故方案一能收到更多的费用.-------12分