江苏省南通市如皋市2022届高三下学期5月适应性考试（三）数学试题

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江苏省南通市如皋市2022届高三下学期5月适应性考试（三）数学试题第I卷（选择题）评卷人得分  一、单选题1．设集合，，则（       ）A． B． C． D．2．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（       ）A．6 B．－6 C． D．3．若m＞n＞1，则下列各式一定成立的是（       ）A． B． C．log2（m－1）＞log2（n－1） D．4．某市卫健委用模型的回归方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人数，令后得到的线性回归方程为，则（       ）A． B． C． D．5．甲、乙、丙、丁共4名同学进行国庆演讲比赛决赛，决出第一名到第四名．甲、乙两人中一人获得第一名，另一人不是第四名，则4人名次所有不同结果的总数为(       )A．4 B．6 C．8 D．106．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线C：y2=4x的焦点，以F为圆心且与抛物线C的准线相切的圆F交抛物线C于A，B，则|AB|=（       ）A．2 B．4 C． D．7．函数有两个零点的一个充分不必要条件是（       ）A．a=3 B．a=2 C．a=1 D．a=08．小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（     ）A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形评卷人得分  二、多选题9．已知函数，先将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）A． B．的图象关于对称C．的最小正周期为 D．在上单调递减10．函数的大致图象可能为(       )A． B．C． D．11．在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（       ）A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]12．某工艺品如图I所示，该工艺品由正四棱锥嵌入正四棱柱（正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面）得到，如图II，已知正四棱锥V－EFGH的底面边长为，侧棱长为5，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边边长为a，且BB1∩VF=M，DD1∩VH=N，AA1∩VE=P，AA1∩VG=Q，CC1∩VE=R，CC1∩VG=S，则（       ）A．当M为棱VF中点时， B．PM＜MRC．存在实数a，使得PM⊥MR D．线段MN长度的最大值第II卷（非选择题）评卷人得分  三、填空题13．某学习兴趣小组的某学生的10次测试成绩如下：130，135，126，123，145，146，150，131，143，144，则该学生的10次测验成绩的45百分位数是___________．14．的展开式中的系数为___________．15．小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验___________次．（参考数据：若，则）．评卷人得分  四、双空题16．雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．①                       ②                       ③                         ④若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．评卷人得分  五、解答题17．已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．(1)求四边形ABCD的面积；(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．18．已知等差数列{an}满足a5=16，a7=22，正项等比数列{bn}的前n项和为Sn，满足S6=5S4－4S2，且b2=a1．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)是否存在n使得，若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．19．如图，四边形ABCD是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧DC，AB上的一点，EFAD，点G，H均为所在线段的中点，且AB=AD=6，∠FBA=60°． (1)证明：DG平面CFH；(2)求二面角C－HF－E的大小．20． 篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院．1891年，春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（James Naismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练．现有甲、乙、丙3名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲手里的概率为pn，第n次传球之前球在乙手里的概率为qn，显然p1=1，q1=0．(1)求p3＋2q3的值；(2)比较p8，q8的大小．21．已知双曲线的焦距为，设该双曲线的左，右顶点分别为A，B，以点A，B和虚轴端点为顶点的四边形的面积为S．(1)当S最大时，求双曲线的标准方程；(2)在（1）的条件下，过点A的直线l1与右支交于点C，过点B的直线l2与左支交于点D，设直线的斜率分别为，且，设，的面积分别为，，的值．22．已知函数．(1)求f（x）的最大值；(2)设实数m，n满足－1≤m＜0＜n≤1，且，求证：．
参考答案：1．D【解析】【分析】根据两集合元素的特征判断即可；【详解】解：因为集合为点集，集合为数集，所以，故选：D2．B【解析】【分析】根据复数的几何意义进行判断即可.【详解】绕O点逆时针方向旋转后变为再将模变为倍，得，对应的复数的实部是－6.故选：B.3．C【解析】【分析】由指数、对数、幂函数的单调性对选项一一分析，即可得出答案.【详解】，，A不正确；，，当时，B不正确；，则，，C正确；，所以，当时，，D不正确.故选：C.4．A【解析】【分析】利用对数与指数的互化可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】，所以，，解得.故选：A.5．C【解析】【分析】可看成有1、2、3、4四个位置，先排位置1，再排位置4，最后排位置2、3，根据分步乘法计数原理即可求解．【详解】可看成有1、2、3、4四个位置，1只能排甲或乙，有2种排法，4只能排丙或丁，有2种排法，2、3可排剩下的两名同学，有种排法，根据分步乘法计数原理可知总共有2×2×2=8种不同的排法．故选：C．6．B【解析】【分析】先求出圆的方程，再联立抛物线方程即可求出两点的坐标，由两点的距离公式即可求出答案.【详解】，圆心F到准线得距离为2，∴圆的方程为：，解得或，∴.故选：B．7．A【解析】【分析】先因式分解得，再分类讨论求解当有两个零点时的值，再根据充分不必要条件的性质判断选项即可【详解】，有两个零点，有两种情形：①1是的零点，则，此时有1，2共两个零点②1不是的零点，则判别式，即∴是有两个零点的充分不必要条件故选：A．8．C【解析】【分析】由向量关系与余弦定理列方程求解三条边长后判断【详解】设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，，则，∴同理，∴，∴，，∴可以构成三角形，∴，∴为钝角三角形，故选：C9．BCD【解析】【分析】利用三角函数图象变换可求得函数的解析式，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，可得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，函数的最小正周期为，C对；对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减，D对.故选：BCD.10．AD【解析】【分析】求f(x)的导数，研究其导数的单调性和正负，从而判断f(x)的单调性，从而选出符合的图象．【详解】，令，，在单调递减，且，若，则时，单调递增，时，单调递减，∴，，，∴在各有一个零点，设，时，单调递减，时，单调递增，时，单调递减，故D满足条件；若，则A满足条件．故选：AD．11．AC【解析】【分析】根据椭圆的定义结合椭圆中焦点弦的几何意义，可判断A、B两项，设直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理求解参数的值或取值范围，即可判断C、D项.【详解】因为，则三点共线，周长是定值，A对．，B错．∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则解得或，，，，C对．令消x可得，时，时，∴，D错．故选：AC.12．ABD【解析】【分析】根据∥平面，利用线面平行的性质可得，再根据M为中点，可得，从而可求得，即可判断A；根据，可得，即可判断B；假设，则平面，即可判断C；设，要使最大，只需最大，当最大时，R，S分别与E，G重合，从而可求得，再根据求得，从而可求得线段MN长度的最大值，即可判断D.【详解】对于A，∥平面，平面，平面平面，∴，∵M为中点，∴，∵，∴，∴，由，故A正确；对于B，∵，∴，B正确；对于C，假设，则又∵，与相交，∴平面，显然不可能，故选项C错误；对于D，设，要使最大，只需最大，当最大时，R，S分别与E，G重合，，此时由，∴，而，∴，代入，∴，D正确.故选：ABD．13．135【解析】【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义即可求解.【详解】10个数据从小到大排序123，126，130，131，135，143，144，145，146，150，，∴45百分位数是135．故答案为：135.14．6【解析】【分析】，则来自于，根据二项式定理即可求其系数．【详解】，仅展开式中会出现项，故的系数是．故答案为：6．15．6【解析】【分析】直接由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【详解】，∴，∴，至少要实验6次.故答案为：6.16．          【解析】【分析】根据题中图形的规律，分别从边长与边数上找规律，从而得到通过公式即可求解.【详解】第一个三角形面积，第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，故．记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长，有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长，即，，周长．故答案为：；17．(1)(2)【解析】【分析】（1）由余弦定理与面积公式求解（2）以为基底分解，由平面向量数量积的运算律求解(1)解：在中，在中，∵A，B，C，D四点共圆，∴，∴，∴，因为，所以，所以，，(2)解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，所以，．18．(1)，(2)存在,.【解析】【分析】（1）设公差为d，利用等差数列的定义即可求解数列的通项公式，设公比为q，根据题干中的递推关系结合等比数列的定义即可求得数列的通项公式；（2）将（1）中所求结果代入可知，利用数列的单调性求解即可.(1)设公差为d，∴，∴，.由，，设公比为q∴，，∴．(2)，当时，，当时，，当时，，当时，令，，∴单调递减，∴，故存在n使得，.19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取中点O，连接，，利用中位线构造平行四边形，由线面平行的判定定理可进一步证明线面平行.（2）解析一：建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的公式代入即可求出答案.解析二：由题意可证得：平面，过E作于点M，连接，即为所求二面角平面角，分别求出，由，代入即可求出的大小.(1)取中点O，连接，，∵G为中点，∴，∵H为中点，∴，∴，∴四边形为平行四边形 ，∴，∵平面，平面，∴平面．(2)解析一：如图建立空间直角坐标系，， ∴设平面的一个法向量∴平面的一个法向量，设二面角的平面角为显然为锐角，∴，∴二面角大小为．解析二：∵面，，又因为，，，所以，所以平面，过E作于点M，连接，∴即为所求二面角平面角，，，，∴∴．20．(1)1(2)【解析】【分析】（1）分析传球的过程，求出和，即可求出；（2）由题意知，即可得到，判断出成首项为，公比为的等比数列，求出，同理求出，可以比较出．(1)第3次传球之前，球在甲手中的情形何分为：甲→乙→甲或甲→丙→甲所以，第3次传球之前，球在乙手里的情形仅有：甲→丙→乙所以，所以.(2)（2）由题意知，整理得：所以，，所以成首项为，公比为的等比数列，又同理成首项为，公比为的等比数列，所以因为，，，，所以．21．(1)(2)【解析】【分析】（1）设双曲线虚轴顶点分别为C，D，由题意知，可得答案；（2）利用，，设直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理代入，整理可得及直线方程，再由，相除可得答案.(1)设双曲线虚轴顶点分别为C，D，由题意知，当且仅当时取”=”，∴S最大时，双曲线的标准方程为．(2)∵，而，∴，设直线的方程为，，，，联立，得，，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∴直线方程为，此时，∴．22．(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论，利用导数分别求出函数在两个区间的单调性，从而可得出答案；（2）令，则，则条件变为，令，则，再结合函数在上的单调性可得，再进行变形即可得证.(1)解：当时，，∴在上递增，此时，当时，，∴在上递减，所以，∴；(2)证明：令，∴，∴条件变为，再令，其中，，由在上递减且，∴，，所证不等式变为，即证：，∵，∴，∴.