安徽省合肥市蜀山区西苑中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

安徽省合肥市蜀山区西苑中学2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列各式是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 一元二次方程根的情况是 

A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

5. 如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为和，则的面积为

A.  B.  C.  D.

6. 某电子产品经过月、月连续两次降价，售价由元降到了元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是

A.  B.
C.  D.

7. 若，化简

A.  B.  C.  D.

8. 若是关于的方程的根，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 适合下列条件的中，直角三角形的个数为
   ，，；，；
   ，，；，．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，中，，，点是边上一点，且，点是线段上一动点，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 计算：的值是______．
12. 若代数式有意义，则的取值范围为______．
13. 一元二次方程配方后可变形为______．
14. 已知、为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为______．
15. 如图，中，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，连接．
    是______三角形．
    若，，则______．

三、计算题（本大题共2小题，共10分）

16. 计算：．
    
    
    
     
17. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
    如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
    如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
    如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共65分）

18. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
    的长为______．
    在图中画一个以为直角边的等腰直角三角形．
    在图中画一个以为斜边的等腰直角三角形．

20. 观察下列各式：
    请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
    ______
    请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数表示的等式：______；
    利用上述规律计算：仿照上式写出过程
    
    
    
     
21. 如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点处，且，它们都要到处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的池塘处，另一只猴子乙先爬到树顶处后再沿缆绳线段滑到处．已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
    请用含有的整式表示线段的长为______；
    求这棵树高有多少米？

22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
    若降价元，则平均每天销售数量为______件；
    当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在和中，，，，点在内且，，．
    猜想与的关系并证明你的猜想？
    求的度数．
    求的面积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
B、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项错误；
故选：．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：．
根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得出结果．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
所以方程无实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】
 

【解析】解：根据题意，得，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，的面积分别为和，
，，
，
根据勾股定理，得，
的面积为，
故选：．
根据正方形的性质，易证≌，可得，，根据，的面积以及勾股定理即可求出的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设平均每月降价的百分率为，依题意得：
，
故选B．
可根据：原售价降价的百分率降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
原式，
故选：．
根据公式可知：，由于，所以，再去绝对值，化简．
本题主要考查二次根式的化简，难度中等偏难．
 

8.【答案】
 

【解析】解：是关于的方程的根，
代入得：，
，
方程两边都除以得：，
．
故选：．
把代入方程得出，方程两边都除以得出，求出即可．
本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义有关知识，根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．
【解答】
解：，，，
，
满足的三角形为直角三角形；
，，
只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；
，，，
，
满足的三角形为直角三角形；
，，
，
满足的三角形为直角三角形．
综上可知：满足的三角形均为直角三角形．
故选C．  

10.【答案】
 

【解析】解：过点作于，延长到，使，连接，交于，连接，
此时的值最小．
，
，，
，
是等边三角形，
作于，
，，
，
，
根据勾股定理可得．
故选：．
先确定的值最小，然后根据勾股定理计算．
此题考查了线路最短的问题，确定动点何位置时，使的值最小是关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先化成最简二次根式，再合并同类二次根式．
本题主要考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，利用二次根式性质进行化简是解题的关键．
 

12.【答案】且
 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意，
，
，
，
故答案为．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：、为直角三角形的两边且满足，
，．
当是直角边时，第三边为：．
当是斜边时，第三边为：．
综上所述，该直角三角形的第三边为或．
故答案是：或．
首先利用非负数的性质求得，；然后对进行分类讨论：是直角边和是斜边两种情况．
此题考查了勾股定理和非负数的性质，即若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，即可得到方程组，解方程组即可求得直角三角形的两边长，此时还要注意此两边可能都是直角边，也可能一个是直角边一个是斜边，注意别漏解．
 

15.【答案】等腰直角 
 

【解析】解：将沿折叠，落在处，
，，
将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，
，
，
即，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角；
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
∽，
，
，
，，
，
由翻折知：，
，
，
由翻折知：，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
沿折叠可知，，沿折叠可知，即可得出是等腰直角三角形；
由∽求出，的长，然后由翻折的性质证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
本题考查了翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟记各定理是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：原式
 

【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
 

17.【答案】解：把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
根据题意得，即，所以为直角三角形；
为等边三角形，
，
方程化为，解得，．
 

【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；
根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

18.【答案】解：由原方程，得
，
所以或，
解得，．
 

【解析】先移项，然后提取公因式，对等式的左边进行因式分解．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

19.【答案】
 

【解析】解：；
故答案为：；
如图，等腰直角三角形即为所求；


如图，等腰直角三角形即为所求．
利用网格根据勾股定理即可求出的长．
在图中画一个以为直角边的等腰直角三角形．
在图中画一个以为斜边的等腰直角三角形．
此题主要考查了应用设计与作图，正确利用网格结合勾股定理分析是解题关键．
 

20.【答案】解：
  
 

【解析】

解：；故答案为：；
；故答案为：；
见答案

【分析】根据提供的信息，即可解答；
根据规律，写出等式；
根据的规律，即可解答．
本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．  

21.【答案】
答：树高米；
 

【解析】解：设为米，且存在，
即，，
故答案为：；
见答案
已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．
 

22.【答案】解：；
解：设每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为元．
根据题意，得，
整理，得，
解得：，．
要求每件盈利不少于元，
应舍去，
解得：．
答：每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为元．
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用有关知识．
根据销售单价每降低元，平均每天可多售出件，可得若降价元，则平均每天可多售出件，即平均每天销售数量为件；
利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】
解：若降价元，则平均每天销售数量为件．
故答案为；
见答案．  

23.【答案】解：，证明如下：
，
，即，
在和中，
，
≌，
；
，，
，，
由知，
，，
，
，
；
过作交延长线于，如图：

由知，
，是等腰直角三角形，
，
，
在中，
，
，
，，
，
，
，
，
答：的面积为．
 

【解析】证明≌，即可得；
由勾股定理逆定理可得，即知；
过作交延长线于，在中，求出，可得，由，可得，即得．
本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明≌．