高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数练习

一元二次函数

某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.

[问题]　(1)此函数是一元二次函数吗？

(2)当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？

知识点一　一元二次函数的图象变换

1．抛物线

通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．

2．一元二次函数的图象变换

一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．

一元二次函数图象变换

一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了函数图象的开口大小及方向；h决定了函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．　　　　

知识点二　一元二次函数的性质

一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质：

(1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h；

(2)当a＞0时，抛物线开口向；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝．

当a＜0时，抛物线开口向；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝．

1．已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为(　　)

A．y＝2(x－1)2＋3　　　　　 B．y＝2(x＋1)2＋3

C．y＝－2(x－1)2＋3  D．y＝－2(x＋1)2＋3

解析：选D　设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k，根据顶点为(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3，故选D.

2．如果将一元二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的函数图象的对称轴为x＝3，最大值为1，则m，n的值为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选D　由题意知，变换后所得函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，且a＜0，然后将函数y＝a(x－3)2＋1的图象先向上平移2个单位长度，得到函数y＝a(x－3)2＋3，再将所得函数图象向左平移2个单位长度，可得到函数y＝a(x－1)2＋3的图象，因此故选D.

[例1]　已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式．

[解]　法一(利用一般式)：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得解得

∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.

法二(利用顶点式)：设y＝a(x－m)2＋n.

∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.

∴抛物线的对称轴为x＝＝.

∴m＝.又根据题意知函数有最大值8，∴n＝8.

∴y＝a＋8.

又抛物线过点(2，－1)，

∴a＋8＝－1，解得a＝－4，

∴y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.

求一元二次函数解析式时，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．

(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式；

(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)；

(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)．　　　　

[跟踪训练]

根据下列条件，求一元二次函数的解析式：

(1)过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；

(2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)；

(3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)．

解：(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，

由题设知⇒

∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.

(2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.

整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2.

∴解析式为y＝2x2－4x＋4.

(3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，

整理得y＝ax2－6ax＋8a，∴8a＝3，∴a＝.

∴解析式为y＝(x－2)(x－4).

[例2]　(链接教科书第33页例1)抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的(　　)

A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度

B．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度

C．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度

D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度

[解析]　∵抛物线y＝2(x－1)2＋3顶点坐标为(1，3)，抛物线y＝2x2顶点坐标为(0，0)，∴抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作由抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．

[答案]　B

一元二次函数图象平移问题的解题策略

(1)要注意平移的方向，即由哪个函数变换到另一个函数；

(2)将函数化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式；

(3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小．　　　　

[跟踪训练]

将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为(　　)

A．y＝(x－8)2＋5　　　 B．y＝(x－4)2＋5

C．y＝(x－8)2＋3  D．y＝(x－4)2＋3

解析：选B　抛物线y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，它的顶点坐标是(6，3)．将其向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标(4，5)，所以新抛物线的解析式是y＝(x－4)2＋5.

[例3]　(链接教科书第33页练习1题)(1)求函数y＝x2－3x－7(x∈R)的最小值；

(2)在区间[2，3]上，求函数y＝x2－3x－7的最大值与最小值．

[解]　(1)由y＝x2－3x－7＝－，

∵x∈R，

∴当且仅当x＝时，ymin＝－.

(2)由(1)知，该函数的对称轴为直线x＝∉[2，3]，图象开口向上，在区间[2，3]上，函数值y随x的增大而增大，

∴函数在区间[2，3]上，函数在x＝3处取最大值，即ymax＝－7，在x＝2时取最小值，即ymin＝－9.

[母题探究]

(变条件)若本例 (2)条件变为x∈[－1，3]，求函数的最大值与最小值．

解：由函数的对称轴为直线x＝∈[－1，3]，图象开口向上，∴当x＝时，函数取得最小值，ymin＝－，函数在上函数值y随x的增大而减小，在上函数值y随x的增大而增大．

∴当x＝3时，ymax＝－7.

求一元二次函数在闭区间上的最值的方法

一看开口方向；

二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”．　　　　

[跟踪训练]

　一元二次函数y＝－x2＋2x－5，当x取全体实数时，有(　　)

A．最大值－5　　　　　　　 B．最小值－5

C．最大值－4  D．最小值－4

解析：选C　配方，得y＝－(x－1)2－4，所以当x＝－1时，ymax＝－4.

[例4]　已知一元二次函数y＝2x2－4x－6.

(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；

(2)求此函数图象与x轴，y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；

(3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0?

[解]　(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.

∵a＝2>0，

∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．

列表：

描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示．

(2)由图象得，函数图象与x轴的交点坐标为A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．

S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12.

(3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1<x<3时，y<0.

观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等．　　　　

[跟踪训练]

如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2＞4ac；②2a－b＝1；

③a－b＋c＝0；④5a＜b.

其中正确的是(　　)

A．②④　　　　　　　 B．①④

C．②③  D．①③

解析：选B　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；

对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；

结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．

1．已知函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A(－1，7)，则a，b的值分别是(　　)

A．2，4  B．－2，4

C．2，－4  D．－2，－4

解析：选C　由题意，可得⇒故选C.

2．将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为(　　)

A．y＝(x＋2)2＋4  B．y＝(x－2)2－2

C．y＝(x－2)2＋4  D．y＝(x＋2)2－2

解析：选D　∵一元二次函数解析式为y＝x2＋1，

∴顶点坐标(0，1)．将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(－2，－2)，可设新函数的解析式为y＝(x－h)2＋k，代入新的顶点坐标得y＝(x＋2)2－2.

3．下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合的是(　　)

A．y＝2x2－x＋1  B．y＝x2＋2x＋1

C．y＝x2－2x－1  D．y＝x2＋2x＋1

解析：选B　∵经过平移后能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合，∴a＝1，观察选项，只有选项B符合题意．

4．已知抛物线y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为(　　)

A．[2，＋∞)  B．[0，2]

C．[2，4]  D．(－∞，4]

解析：选C　∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

∴当x＝2时，y取得最小值，最小值为－1；

当y＝3时，有x2－4x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝4，

∴当x＝0或4时，y＝3.

又∵当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，

∴2≤m≤4.

5．已知函数y＝x2＋mx＋1，在区间[1，＋∞)上函数值y随自变量x的增大而增大，则实数m的取值范围为(　　)

A．[－2，＋∞)  B．[－1，＋∞)

C．(－∞，－2]  D．(－∞，－1]

解析：选A　y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－，由题意，可得－≤1，解得m≥－2，故选A.