高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 函数概念精练

函数概念

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[问题]　你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？

知识点一　生活中的变量关系

1．在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．

2．函数关系可用表格、表达式、图象及分段函数形式表达．

1.(多选)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中正确的有(　　)

A．这天15时的温度最高

B．这天3时的温度最低

C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃

D．这天21时的温度是30 ℃

解析：选ABD　这天的最高温度与最低温度相差36－22＝14(℃)，故C错．A、B、D均正确．

2．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压，使之成为一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为(　　)

解析：选B　圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．

知识点二　函数的有关概念

对函数概念的再理解

(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；

(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式；

(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．　　　　

　f(x)与f(a)有何区别与联系？

提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．

1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．

解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．

答案：①②④

2．函数f(x)＝的定义域是________．

解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．

答案：{x|x<4}

3．已知f(x)＝3x＋2，则f(2)＝________；若f(a)＝－4，则a＝________．

答案：8　－2

知识点三　同一个函数

一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

1．函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数只看定义域和对应关系？

提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．

2．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？

提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．

　给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是________(填序号)．

①f(x)＝x，g(x)＝；

②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；

③f(x)＝x，g(x)＝.

解析：①中f(x)＝x与g(x)＝的定义域不同；②中f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同．

答案：③

[例1]　(链接教科书第52页例1)(1)下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？

①f(x)＝|x|，φ(t)＝；

②y＝·，y＝；

③y＝，y＝x－3.

(2)判断下列对应关系f是否为定义在集合A上的函数：

①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝；

②A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；

③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示：

[解]　(1)①f(x)与φ(t)的定义域相同，

又φ(t)＝＝|t|，

即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，

∴f(x)与φ(t)是同一个函数．

②y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，

y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，

即两者定义域相同．

又∵y＝·＝ ，

∴两函数的对应关系也相同．

故y＝·与y＝ 是同一个函数．

③∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，

∴y＝与y＝x－3不是同一个函数．

(2)①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应关系f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．

②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数．

③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数．

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A，B必须是非空数集；

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应；

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2．根据图形判断是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线l；

(2)在定义域内平行移动直线l；

(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．

3．判断同一个函数的方法

判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则：

(1)先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．　　　　

[跟踪训练]

1．下列图象中不能表示函数的图象的是(　　)

解析：选D　D项中，当x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象．

2．下列函数中，与函数y＝x(x≥0)是同一个函数的是(　　)

A．y＝　　　　　　　 B．y＝

C．y＝  D．y＝()2

解析：选D　y＝的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝()2的定义域为[0，＋∞)，定义域相同，且y＝()2＝x，x∈[0，＋∞)，函数对应关系也相同，故是同一个函数．故选D.

[例2]　(链接教科书第53页例2)求下列函数的定义域：

(1)y＝－2x＋3；(2)f(x)＝；

(3)y＝＋；(4)y＝.

[解]　(1)函数y＝－2x＋3的定义域为{x|x∈R}．

(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则－x＋1≠0，x≠1.故函数的定义域为{x|x≠1}．

(3)要使函数式有意义，则即所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}．

(4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}．

求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；

(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；

(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；

(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．(－∞，－1)∪(－1，3]  B．(－∞，3]

C．(－1，3]  D．(－∞，－1)

解析：选A　要使函数f(x)＝＋有意义，则解得x≤3且x≠－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，3]．故选A.

2．f(x)＝(x－1)0＋ 的定义域是(　　)

A．(－1，＋∞)  B．(－∞，－1)

C．R  D．(－1，1)∪(1，＋∞)

解析：选D　要使函数有意义，需满足∴x>－1且x≠1，∴定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．

[例3]　(链接教科书第53页练习1题)(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．

 (2)求下列函数的值域：

①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；

③y＝；④y＝2x－.

（1）[解析]　∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.

又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，

∴f(g(2))＝f(6)＝＝.

[答案]　　

（2）[解]　①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.

②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．

③(分离常数法)y＝＝＝3－.

∵≠0，∴y≠3，

∴y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．

④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.

[母题探究]

1．(变条件)在本例(1)条件下，若f(b)＝，求b的值．

解：由f(b)＝＝，得b＝1.

2．(变设问)在本例(1)条件下，判断点是否在函数f(x)的图象上？

解：由f(x)＝知f(3)＝，故点在f(x)的图象上．

1．函数求值的方法

(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；

(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．

2．求函数值域常用的4种方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．　　　　

[跟踪训练]

1．设f(x)＝，则＝(　　)

A．1  B．－1

C.  D．－

解析：选B　＝＝＝×＝－1.

2．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　)

A．[0，1]  B．[0，1)

C．(0，1]  D．(0，1)

解析：选C　因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，所以函数的值域为(0，1]，故选C.

3．函数f(x)＝的值域为________．

解析：f(x)＝＝

＝＝1－(x≠±1)．

∵≠0，∴y≠1，

又∵x≠1，∴y≠－，

∴函数值域为.

答案：

抽象函数与复合函数

一、概念

1．抽象函数的概念

没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．

2．复合函数的概念

若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫作中间变量，t＝g(x)叫作内层函数，y＝f(t)叫作外层函数．

[说明]　由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．

二、结论

定义域

理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：

(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；

(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；

(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；

(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；

(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．

[迁移应用]

1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域

[例1]　已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为(　　)

A.　　　　　　 B.

C．[－3，1]  D.

[思路点拨]　解题的关键是求出函数y＝f(x)中x的范围，这个范围即为3x－2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可．

[解析]　由－x2＋2x＋3≥0，

解得－1≤x≤3，

即函数f(x)的定义域为[－1，3]．

由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，

则函数f(3x－2)的定义域为.

[答案]　A

2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域

[例2]　已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．

[思路点拨]　定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－1)中x∈[0，3]，求出x2－1的范围，这个范围即为f(x)的定义域．

[解析]　根据f(x2－1)定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，

∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8]．

故f(x)的定义域为[－1，8]．

[答案]　[－1，8]

3．已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域

[例3]　若函数f(x＋1)的定义域为，则函数f(x－1)的定义域为________．

[思路点拨]　由f(x＋1)的定义域为，即－≤x≤2，可求得≤x＋1≤3，也就是f(x)的定义域为，由此可推出≤x－1≤3，进而求出x的范围即为f(x－1)的定义域．

[解析]　由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为，∴≤x－1≤3，解得≤x≤4.

故f(x－1)的定义域是.

[答案]　

1．设集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}，N＝{y|y(y－3)≤0}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则函数f(x)的图象可以是(　　)

解析：选B　集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，N＝{y|y(y－3)≤0}＝{y|0≤y≤3}．由此排除选项A、D.由函数的定义知，每一个x的值只能唯一对应一个y值，故排除选项C.故选B.

2．设f(x)＝|x－1|－|x|，则f等于(　　)

A．－  B．0

C．1  D.

解析：选C　f＝f＝f(0)＝|0－1|－|0|＝1.

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的值域为________．

解析：由题图易知函数的值域为[－4，3]．

答案：[－4，3]

4．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．

解析：函数有意义，则x≠1，故定义域为{x∈R|x≠1}．

∵f(x)＝＝＝5＋，且≠0，

∴y≠5，∴函数的值域是{y∈R|y≠5}．

答案：{x∈R|x≠1}　{y∈R|y≠5}