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    北师大版 (2019)2.2 函数的表示法第1课时同步训练题

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    这是一份北师大版 (2019)2.2 函数的表示法第1课时同步训练题,共10页。

    函数的表示法

    新课程标准解读

    核心素养

    1.在实际情境中会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数理解函数图象的作用

    数学抽象、直观想象

    2.通过具体实例了解简单的分段函数并能简单应用

    数学抽象、数学运算

     

    第1课时 函数的表示法

    (1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米设计速度目标值380千米/时若京沪高速铁路时速按300千米/时计算火车行驶x小时后路程为y千米yx的函数可以用y=300x来表示其中y=300x叫作该函数的解析式.

    (2)如图是我国人口出生率变化曲线:

    (3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表:

    污染源距离

    50

    100

    200

    300

    500

    氰化物浓度

    0.678

    0.398

    0.121

    0.05

    0.01

    [问题] 根据初中所学知识说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的?

                                        

                                        

                                        

                                        

                                        

    知识点 函数的表示方法

    函数三种表示法的优缺点比较

        

     所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗?为什么?

    提示:并不是所有的函数都能用解析式表示;事实上图象法也不适用于所有函数如狄利克雷函数:D(x)=

    列表法虽在理论上适用于所有函数但对于自变量有无数个取值的情况列表法只能表示函数的一个概况或片段.

    1.已知函数f(x)由下表给出f(3)等于(  )

    x

    1x<2

    2

    2<x4

    f(x)

    1

    2

    3

    A.1          B.2

    C.3  D.不存在

    解析:选C ∵当2<x≤4时f(x)=3f(3)=3.

    2.已知函数yf(x)的图象如图所示则其定义域是________.

    解析:由题图可知f(x)的定义域为[-23].

    答案:[-2,3]

    3.已知函数f(2x+1)=6x+5f(x)的解析式是________.

    解析:法一:令2x+1=tx.

    所以f(t)=6×+5=3t+2

    所以f(x)=3x+2.

    法二:因为f(2x+1)=3(2x+1)+2

    所以f(x)=3x+2.

    答案:f(x)=3x+2

     

    函数的表示法

    [例1] (链接教科书第56页练习3题)某商场新进了10台彩电每台售价3 000元试求售出台数x与收款数y之间的函数关系分别用列表法、图象法、解析法表示出来.

    [解] ①列表法:

    x/

    1

    2

    3

    4

    5

    y/元

    3 000

    6 000

    9 000

    12 000

    15 000

     

    x/

    6

    7

    8

    9

    10

    y/元

    18 000

    21 000

    24 000

    27 000

    30 000

    ②图象法:

    解析法:y=3 000xx{12310}.

    理解函数表示法的三个关注点

    (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法无论是哪种方式表示函数都必须满足函数的概念;

    (2)列表法更直观形象图象法从形的角度描述函数解析法从数的角度描述函数;

    (3)函数的三种表示法互相兼容或补充许多函数是可以用三种方法表示的但在实际操作中仍以解析法为主.    

    [跟踪训练]

    将一条长为10 cm的铁丝剪成两段并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用三种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(xN)的函数关系.

    解:这个函数的定义域为{x|1≤x<10xN}.

    解析法:S.

    将上式整理得Sx2xx{x|1x<10xN}.

    列表法:

     

    一段铁丝长x(cm)

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    两个正方形的面积之和S(cm2)

    图象法:

    函数的图象的作法及应用

    [例2] (链接教科书第54页例3)作出下列函数的图象并根据图象求其值域:

    (1)

    x

    -4

    -2

    2

    4

    y

    1

    -3

    2

    3

    (2)y=-x[-3,0)∪(0,1];

    (3)yx2+4x+1x[-3,0].

    [解] (1)该函数的图象如图①所示由图可知值域为{-3123}.

    (2)作出函数y=-x[-30)∪(01]的图,如图所示,由图象可知值域为(-,-4]∪.

    (3)作出函数yx2+4x+1x[-30]的图象如图③所示由图象可知值域为[-31].

    画函数图象的两种常见方法

    (1)描点法

    一般步骤:

    列表——先找出一些(有代表性的)自变量x并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)用表格的形式表示出来;

    描点——从表中得到一系列的点(xf(x))在坐标平面上描出这些点;

    连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.

    (2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.    

    [跟踪训练]

    画出函数yx-[x]的图象其中[x]表示实数x的整数部分.

    解:依题意知yx-[x]的定义域为R值域[01)它的图象如图所示.

     

    函数解析式的求法

    角度一 用待定系数法求函数解析式

    [例3] 已知f(x)是二次函数f(x+1)+f(x-1)=2x2-4xf(x).

    [解] 设f(x)=ax2bxc(a≠0)

    f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2b(x+1)+ca(x-1)2b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x

    f(x)=x2-2x-1.

    待定系数法求函数解析式

    已知函数的类型如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式再根据条件列方程(或方程组)通过解方程(组)求出待定系数进而求出函数解析式.    

    角度二 利用换元法(配凑法)求函数解析式

    [例4] 求下列函数的解析式:

    (1)已知f(+1)=x+2f(x);

    (2)已知f(x+2)=2x+3f(x).

    [解] (1)法一(换元法):令t+1x=(t-1)2t1所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)

    所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).

    法二(配凑法):f(+1)=x+2x+2+1-1=(+1)2-1.

    因为+1≥1

    所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).

    (2)f(x+2)=2x+3=2(x+2)-1f(x)=2x-1.

    换元法、配凑法求函数解析式

    已知f(g(x))=h(x)f(x)有两种方法:

    (1)换元法即令tg(x)解出x代入h(x)中得到一个含t的解析式再用x替换t便得到f(x)的解析式.

    利用换元法解题时换元后要确定新元t的取值范围即函数f(x)的定义域.

    (2)配凑法即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)g(x)来表示h(x)然后将解析式中的g(x)用x代替即可.    

    角度三 用方程组法求函数解析式

    [例5] 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2xf(x)的解析式.

    [解] 在f(x)-2f(-x)=1+2x以-x代换x可得f(-x)-2f(x)=1-2x

    消去f(-x)f(x)=x-1.

    用方程组法求函数的解析式

    方程组法(消去法)适用于自变量具有对称规律的函数表达式如互为相反数的f(-x)f(x)的函数方程通过对称规律再构造一个关于f(-x)f(x)的方程联立解出f(x).    

    [跟踪训练]

    1.(2021·三明一中高一月考)已知一次函数f(x)满足f(-1)=0f(0)=-2f(x)的解析式为(  )

    A.f(x)=2x+2      B.f(x)=-2x-2

    C.f(x)=2x-2  D.f(x)=-2x+2

    解析:选B 设一次函数f(x)=kxb(k≠0)依题意得解得kb=-2所以f(x)=-2x-2.故选B.

    2.已知f,求f(x)的解析式.

    解:令t+1x(t≠1)

    x代入f

    f(t)==(t-1)2+1+(t-1)=t2t+1f(x)=x2x+1(x≠1).

    函数图象的变换(探究型)

    1.函数图象的平移变换

    函数yf(x)的图象与yf(xa)及yf(x)+a(a0)的图象有怎样的关系呢?我们先来看一个例子:

    作出函数yx2y=(x+1)2yx2-1的图象观察它们之间有怎样的关系.

    在同一平面直角坐标系中它们的图象如图所示.

    观察图象可知y=(x+1)2的图象可由yx2的图象向左平移1个单位长度得到;yx21的图象可由yx2的图象向下平移1个单位长度得到.

    由此得到如下规律:

    (1)函数yf(xa)的图象是由函数yf(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的即“左加右减”;

    (2)函数yf(x)+a的图象是由函数yf(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的即“上加下减”.

    2.函数图象的对称变换

    函数yf(x)的图象与yf(-x)y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢?我们来看一个例子:

    作出函数yyyy=-的图象观察它们之间有怎样的关系.

    在同一平面直角坐标系中作出①yyy与④y的图象的一部分如图所示.

    观察图象可知y的图象可由y的图象作关于y轴的对称变换得到;y的图象可由y的图象作关于x轴的对称变换得到;y的图象可由y的图象作关于原点的对称变换得到.

    由此可得如下规律:

    函数图象的对称变换包括以下内容:

    (1)yf(-x)的图象可由yf(x)的图象作关于y轴的对称变换得到;

    (2)y=-f(x)的图象可由yf(x)的图象作关于x轴的对称变换得到;

    (3)y=-f(x)的图象可由yf(x)的图象作关于原点的对称变换得到.

    3.函数图象的翻折变换

    函数图象的翻折变换是指函数yf(x)与y|f(x)|yf(|x|)的图象间的关系.

    函数yf(x)的图象与y=|f(x)|及yf(|x|)的图象又有怎样的关系呢?我们再来看一个例子:

    作出函数y=|x2-2x-3|及yx2-2|x|-3的图象观察它们与函数yx2-2x-3的图象之间有怎样的关系.

    事实上y=|x2-2x-3|=

    yx2-2|x|-3=

    在不同的平面直角坐标系中分别作出y=|x2-2x-3|与yx2-2|x|-3的图象如图(1)(2)所示.

    通过观察两个图象可知,y=|x2-2x-3|的图象可由yx2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持yx2-2x-3的图象在x轴上方的部分不变x轴下方的部分沿x轴翻折上去即可得到y=|x2-2x-3|的图象.yx22|x|-3的图象可由yx2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持yx2-2x-3的图象在y轴上及其右侧的部分不变y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象则这两部分就构成了yx2-2|x|-3的图象.

    由此可得如下规律:

    (1)要作y=|f(x)|的图象可先作yf(x)的图象然后将x轴上及其上方的部分保持不变x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可;

    (2)要作yf(|x|)的图象可先作yf(x)的图象然后将y轴上及其右侧的图象不动y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可.

    [迁移应用]

    1.已知函数yf(x)的图象如图所示,则yf(1-x)的图象为(  )

    解析:选A 将变换分为两个过程:f(x)的图象f(-x)的图象f(-(x-1))的图象.即将函数yf(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数yf(-x)的图象再将函数yf(-x)的图象向右平移1个单位长度得到yf(1-x)的图象.

    2.作出函数f(x)=|x2-4x-5|在区间[-2,6]上的图象.

    解:先作出二次函数yx2-4x-5的图象再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方保留x轴上及其上方的部分并保留在区间[-26]上的部分如图所示.

    1(多选)(2021·佛山一中高一月考)下列四个图形中可能是函数yf(x)图象的是(  )

    解析:选AD 在A、D中对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应满足函数关系;在B、C,存在一个x有两个yx对应不满足函数对应的唯一性.

    2.已知fxf(x)=(  )

    A.         B.

    C.  D.

    解析:选B 令txf(t)=f(x)=.

    3.f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1f(x)=(  )

    A.x+1  B.x-1

    C.2x+1  D.3x+3

    解析:选A 因为3f(x)-2f(-x)=5x+1

    所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.

    4.已知函数f(x)=x且此函数图象过点(5,4)则实数m的值为________.

    解析:将点(54)代入f(x)=xm=5.

    答案:5

    5.已知二次函数f(x)满足f(0)=1f(1)=2f(2)=5f(x)的解析式.

    解:设f(x)ax2bxc(a≠0)

    所以解得

    所以f(x)=x2+1.

     

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