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北师大版 (2019)2.2 函数的表示法第1课时同步训练题
展开函数的表示法
新课程标准解读 | 核心素养 |
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用 | 数学抽象、直观想象 |
2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用 | 数学抽象、数学运算 |
第1课时 函数的表示法
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米,设计速度目标值380千米/时,若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫作该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线:
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表:
污染源距离 | 50 | 100 | 200 | 300 | 500 |
氰化物浓度 | 0.678 | 0.398 | 0.121 | 0.05 | 0.01 |
[问题] 根据初中所学知识,说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的?
知识点 函数的表示方法
函数三种表示法的优缺点比较
所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗?为什么?
提示:并不是所有的函数都能用解析式表示;事实上,图象法也不适用于所有函数,如狄利克雷函数:D(x)=
列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段.
1.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)等于( )
x | 1≤x<2 | 2 | 2<x≤4 |
f(x) | 1 | 2 | 3 |
A.1 B.2
C.3 D.不存在
解析:选C ∵当2<x≤4时,f(x)=3,∴f(3)=3.
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其定义域是________.
解析:由题图可知f(x)的定义域为[-2,3].
答案:[-2,3]
3.已知函数f(2x+1)=6x+5,则f(x)的解析式是________.
解析:法一:令2x+1=t,则x=.
所以f(t)=6×+5=3t+2,
所以f(x)=3x+2.
法二:因为f(2x+1)=3(2x+1)+2,
所以f(x)=3x+2.
答案:f(x)=3x+2
函数的表示法 |
[例1] (链接教科书第56页练习3题)某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
[解] ①列表法:
x/台 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y/元 | 3 000 | 6 000 | 9 000 | 12 000 | 15 000 |
| |||||
x/台 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
y/元 | 18 000 | 21 000 | 24 000 | 27 000 | 30 000 |
②图象法:
③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念;
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数;
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
[跟踪训练]
将一条长为10 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用三种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N+)的函数关系.
解:这个函数的定义域为{x|1≤x<10,x∈N+}.
①解析法:S=+.
将上式整理得S=x2-x+,x∈{x|1≤x<10,x∈N+}.
②列表法:
一段铁丝长x(cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
两个正方形的面积之和S(cm2) |
③图象法:
函数的图象的作法及应用 |
[例2] (链接教科书第54页例3)作出下列函数的图象,并根据图象求其值域:
(1)
x | -4 | -2 | 2 | 4 |
y | 1 | -3 | 2 | 3 |
(2)y=-,x∈[-3,0)∪(0,1];
(3)y=x2+4x+1,x∈[-3,0].
[解] (1)该函数的图象如图①所示,由图可知值域为{-3,1,2,3}.
(2)作出函数y=-,x∈[-3,0)∪(0,1]的图象,如图②所示,由图象可知值域为(-∞,-4]∪.
(3)作出函数y=x2+4x+1,x∈[-3,0]的图象,如图③所示,由图象可知值域为[-3,1].
画函数图象的两种常见方法
(1)描点法
一般步骤:
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;
②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.
[跟踪训练]
画出函数y=x-[x]的图象,其中[x]表示实数x的整数部分.
解:依题意知y=x-[x]的定义域为R,值域[0,1),它的图象如图所示.
函数解析式的求法 |
角度一 用待定系数法求函数解析式
[例3] 已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).
[解] 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
∴∴
∴f(x)=x2-2x-1.
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
角度二 利用换元法(配凑法)求函数解析式
[例4] 求下列函数的解析式:
(1)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(2)已知f(x+2)=2x+3,求f(x).
[解] (1)法一(换元法):令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
法二(配凑法):f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1.
因为+1≥1,
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
(2)f(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴f(x)=2x-1.
换元法、配凑法求函数解析式
已知f(g(x))=h(x),求f(x),有两种方法:
(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式.
利用换元法解题时,换元后要确定新元t的取值范围,即函数f(x)的定义域.
(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
角度三 用方程组法求函数解析式
[例5] 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x)的解析式.
[解] 在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代换x,可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
则
消去f(-x),可得f(x)=x-1.
用方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法),适用于自变量具有对称规律的函数表达式,如互为相反数的f(-x),f(x)的函数方程,通过对称规律再构造一个关于f(-x),f(x)的方程,联立解出f(x).
[跟踪训练]
1.(2021·三明一中高一月考)已知一次函数f(x)满足f(-1)=0,f(0)=-2,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2x+2 B.f(x)=-2x-2
C.f(x)=2x-2 D.f(x)=-2x+2
解析:选B 设一次函数f(x)=kx+b(k≠0),依题意得解得k=b=-2,所以f(x)=-2x-2.故选B.
2.已知f=+,求f(x)的解析式.
解:令t==+1,则x=(t≠1),
把x=代入f=+,得
f(t)=+=(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1,∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
函数图象的变换(探究型)
1.函数图象的平移变换
函数y=f(x)的图象与y=f(x+a)及y=f(x)+a(a≠0)的图象有怎样的关系呢?我们先来看一个例子:
作出函数y=x2,y=(x+1)2,y=x2-1的图象,观察它们之间有怎样的关系.
在同一平面直角坐标系中,它们的图象如图所示.
观察图象可知,y=(x+1)2的图象可由y=x2的图象向左平移1个单位长度得到;y=x2-1的图象可由y=x2的图象向下平移1个单位长度得到.
由此得到如下规律:
(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的,即“左加右减”;
(2)函数y=f(x)+a的图象是由函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的,即“上加下减”.
2.函数图象的对称变换
函数y=f(x)的图象与y=f(-x),y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢?我们来看一个例子:
作出函数y=,y=,y=,y=-的图象,观察它们之间有怎样的关系.
在同一平面直角坐标系中作出①y=,②y=,③y=与④y=的图象的一部分,如图所示.
观察图象可知,y=的图象可由y=的图象作关于y轴的对称变换得到;y=的图象可由y=的图象作关于x轴的对称变换得到;y=的图象可由y=的图象作关于原点的对称变换得到.
由此可得如下规律:
函数图象的对称变换包括以下内容:
(1)y=f(-x)的图象可由y=f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到;
(2)y=-f(x)的图象可由y=f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到;
(3)y=-f(-x)的图象可由y=f(x)的图象作关于原点的对称变换得到.
3.函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y=f(x)与y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象间的关系.
函数y=f(x)的图象与y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象又有怎样的关系呢?我们再来看一个例子:
作出函数y=|x2-2x-3|及y=x2-2|x|-3的图象,观察它们与函数y=x2-2x-3的图象之间有怎样的关系.
事实上,y=|x2-2x-3|=
y=x2-2|x|-3=
在不同的平面直角坐标系中,分别作出y=|x2-2x-3|与y=x2-2|x|-3的图象,如图(1)(2)所示.
通过观察两个图象可知,y=|x2-2x-3|的图象可由y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持y=x2-2x-3的图象在x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到y=|x2-2x-3|的图象.y=x2-2|x|-3的图象可由y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持y=x2-2x-3的图象在y轴上及其右侧的部分不变,y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象,则这两部分就构成了y=x2-2|x|-3的图象.
由此可得如下规律:
(1)要作y=|f(x)|的图象,可先作y=f(x)的图象,然后将x轴上及其上方的部分保持不变,x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可;
(2)要作y=f(|x|)的图象,可先作y=f(x)的图象,然后将y轴上及其右侧的图象不动,y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可.
[迁移应用]
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(1-x)的图象为( )
解析:选A 将变换分为两个过程:f(x)的图象f(-x)的图象f(-(x-1))的图象.即将函数y=f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y=f(-x)的图象,再将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(1-x)的图象.
2.作出函数f(x)=|x2-4x-5|在区间[-2,6]上的图象.
解:先作出二次函数y=x2-4x-5的图象,再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,保留x轴上及其上方的部分,并保留在区间[-2,6]上的部分,如图所示.
1.(多选)(2021·佛山一中高一月考)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图象的是( )
解析:选AD 在A、D中,对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应,满足函数关系;在B、C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性.
2.已知f=x,则f(x)=( )
A. B.
C. D.
解析:选B 令=t,则x=,故f(t)=,即f(x)=.
3.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=( )
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
解析:选A 因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,
所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.
4.已知函数f(x)=x-,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为________.
解析:将点(5,4)代入f(x)=x-,得m=5.
答案:5
5.已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,求f(x)的解析式.
解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
所以解得
所以f(x)=x2+1.
数学必修 第一册第二章 函数2 函数2.2 函数的表示法第1课时一课一练: 这是一份数学必修 第一册第二章 函数2 函数2.2 函数的表示法第1课时一课一练,共5页。试卷主要包含了已知f=x-1,则f的解析式为,定义两种运算,已知函数f,g由下表给出等内容,欢迎下载使用。
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北师大版 (2019)必修 第一册2.2 函数的表示法第2课时课后作业题: 这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.2 函数的表示法第2课时课后作业题,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。