北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念第1课时习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念第1课时习题，共12页。试卷主要包含了定义，性质等内容，欢迎下载使用。

指数函数的概念 数函数的图象和性质

新课程标准解读
核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质并会运用
直观想象、数学运算

第1课时　指数函数的概念、图象与性质


将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数
对应层数
对折后的面积S
x＝1
y＝2＝21
S＝
x＝2
y＝4＝22
S＝＝
x＝3
y＝8＝23
S＝＝
……
……
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N＋)，对折后的面积S＝(x∈N＋)．
[问题]　实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　指数函数的概念
1．定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
2．性质：(1)定义域是，函数值大于0；
(2)图象过定点(0，1)．

对指数函数概念的再理解
　　　　

1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?
提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2．指数函数的解析式有什么特征？
提示：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.

1．给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝2－x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
解析：选B　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，y＝2－x＝是以为底的指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数，故选B.
2．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f＝a－＝＝2－，得a＝2，所以f(x)＝2x，所以f(3)＝23＝8.
答案：8
知识点二　指数函数的图象和性质

a＞1
0＜a＜1
图象


性质
定义域：
值域：(0，＋∞)
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝
当x＜0时，＜y＜；当x＞0时，y＞
当x＜0时，y＞；当x＞0时，＜y＜
在R上是函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0
在R上是函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大


指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．

直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0
　在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．

1．函数y＝2x＋1的图象是(　　)

解析：选A　函数y＝2x的图象是经过定点(0，1)，在x轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y＝2x＋1的图象单调递增且过点(0，2)，故选A.
2．函数y＝1－2x，x∈[0，1]的值域是(　　)
A．[0，1] B．[－1，0]
C. D.
解析：选B　由指数函数y＝2x在x∈[0，1]上是递增的知1≤2x≤2，∴y＝1－2x∈[－1，0]．
3．下列函数中，在R上是增函数的是________(填上你认为正确的序号)．
①y＝；②y＝(＋1)x；③y＝2－x；④y＝(a2＋2)x.
答案：②④



指数函数的概念
[例1]　(多选)下列函数是指数函数的是(　　)
A．y＝2x＋1　　　　　　　 B．y＝3－x
C．y＝4x D．y＝23x
[解析]　指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数．对于A，y＝2x＋1＝2×2x，系数不是1，所以不是指数函数；对于B；y＝3－x＝，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于C，y＝4x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于D，y＝23x＝8x，符合指数函数的定义，所以是指数函数．故选B、C、D.
[答案]　BCD

判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征；
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 　　　　
[跟踪训练]
　若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．[0，1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
解析：选C　依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C.

求指数函数的解析式或函数值
[例2]　(1)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　)
A．2 B．－2
C．－2 D．2
(2)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________．
[解析]　(1)因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，且a>0，a≠1，所以a＝8，
所以f(x)＝8x，f＝8＝2.
(2)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝a2＝9，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
[答案]　(1)D　(2)3x

1．求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
2．求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．　　　　
[跟踪训练]
已知函数f(x)为指数函数，且f＝，求f(－2)的值．
解：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f＝得，a－＝，
所以a＝3，
所以f(x)＝3x，
所以f(－2)＝3－2＝.

指数函数的定义域和值域
[例3]　(链接教科书第86页例4)求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝ ；
(2)y＝；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
[解]　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝ 的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以 ∈[0，1)，即函数y＝ 的值域为[0，1)．
(2)定义域为R.
因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
所以≤＝16.
又因为>0，
所以函数y＝的值域为(0，16]．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2.
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
[母题探究]
1．(变条件)若将本例(1)的函数换为“y＝ ”，求其定义域．
解：由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．(变条件)若将本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
解：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1，4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，易知f(t)在[1，4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5，26]．

函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合；
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[提醒]　(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝＋ 的定义域是(　　)
A．[2，4) B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(2，4)∪(4，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选B　依题意有解得x∈[2，4)∪(4，＋∞)．
2．函数y＝－1的值域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(－1，1)
C．[－1，＋∞) D．[－1，1)
解析：选D　∵2x>0，∴4－2x<4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x<4.令t＝4－2x，则t∈[0，4)，∴∈[0，2)，∴y∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1)，故选D.
3．若函数f(x)＝ 的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________．
解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.
答案：(1，＋∞)

指数函数的图象及应用
[例4]　(1)(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)

(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是________．
[解析]　(1)当a>1时，∈(0，1)，因此x＝0时，01，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上是减函数，故D符合．故选C、D.
(2)当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1的图象如图①所示，则由图可知1<2a<2，解得1矛盾；
当0
[答案]　(1)CD　(2)

处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点；
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；
(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．　　　　






[跟踪训练]
1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0 解析：选D　从曲线的变化趋势，可知函数f(x)为减函数，则00，即b<0.综上可知， 0 2．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
解析：法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)．
法二：将原函数解析式变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4)．
答案：(3，4)

指数函数图象变换问题探究
为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：
(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.

[问题探究]
1．请分别写出这4组函数的解析式．
提示：(1)y＝f(x－1)＝2x－1；
(2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1；
(3)y＝－f(x)＝－2x；
(4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.
2．若给出函数f(x)＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．
提示：能．(1)将函数y＝f(x)＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＝4x－1的图象．
(2)保留函数y＝f(x)＝4x在y轴右侧的图象，并对称至y轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y＝f(|x|)＋1＝4|x|＋1的图象．
(3)函数y＝－f(x)＝－4x与y＝f(x)＝4x的图象关于x轴对称．
(4)将函数y＝f(x)＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x)－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数|f(x)－1|＝|4x－1|的图象．
[总结]　利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法
对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质．
利用变换作图法作图要注意：
(1)选择哪个指数函数作为起始函数；
(2)平移的方向及单位长度．
常用的变换作图法主要有：

此外，函数y＝a|x|的图象关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及x轴上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到．
[迁移应用]
1．函数y＝的图象是(　　)

解析：选B　因为y＝＝所以选B.
2．若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－2|的图象如图所示．

由图可知若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则m≤－2.
答案：(－∞，－2]

1．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域分别是(　　)
A．R，R　　　　　　　 B．R，(0，＋∞)
C．R，(－1，＋∞) D．以上都不对
解析：选C　因为函数f(x)＝3－x－1＝－1，所以其定义域为R，因为>0，所以－1>－1，所以函数的值域为(－1，＋∞)．故选C.
2．已知函数y＝的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C　由两函数的图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即＝1，解得a＝4.
3．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx满足不等式1>n>m>0，则它们的图象是(　　)

解析：选C　由0 4．函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　)

A.，，， B．，，，
C.，，， D.，，，
解析：选B　直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而 >>>，故选B.
5．若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________．
解析：若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则4－3a>0且4－3a≠1，所以a<且a≠1，所以实数a的取值范围为(－∞，1)∪.
答案：(－∞，1)∪