高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 对数的概念达标测试

对数的概念

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……

[问题]　(1)依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？

(2)分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？

(3)如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？

知识点　对数的概念

1．对数的概念

一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以为底的对数，记作logaN＝b，其中叫作对数的底数，叫作真数．

2．常用对数与自然对数

3．对数的基本性质

(1)负数和0没有对数；

(2)loga1＝(a>0，且a≠1)；

(3)logaa＝(a>0，且a≠1)；

(4)alogaN＝．

对数与指数的关系

指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：

(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；

(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．　　　　

1．式子logmN中，底数m的范围是什么？

提示：m>0且m≠1.

2．对数式logaN是不是loga与N的乘积？

提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．

3．对数概念中为什么规定a>0，且a≠1呢？

提示：(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在．

(2)若a＝0，则

①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；

②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值．

(3)若a＝1，则

①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；

②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．

因此规定a>0，且a≠1.

1．若loga＝－，则a＝(　　)

A．4　　　　　　　　 B．8

C．16  D．32

解析：选B　因为loga＝－，所以a＝，

所以a＝＝(2－2) ＝23＝8.

2．对数式log(x－1)(4－x)＝b中，实数x的取值范围是__________________．

解析：由对数的定义可知∴1<x<4，且x≠2.

答案：(1，2)∪(2，4)

3．log3＝0，则x＝________．

答案：3

4．ln(lg 10)＝________．

答案：0

[例1]　(链接教科书第97页例1、例2)(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16，2－5＝.

(2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3，log16＝－4.

[解]　(1)log216＝4，log2＝－5.

(2)53＝125，＝16.

指数式与对数式互化的方法

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　　　

 [跟踪训练]

　下列指数式与对数式的互化不正确的一组是(　　)

A．100＝1与lg 1＝0

B．27＝与log27＝－3

C．log39＝2与32＝9

D．log55＝1与51＝5

解析：选B　100＝1即lg 1＝0，A正确；27＝即log27＝－，B不正确；log39＝2即32＝9，C正确；log55＝1即51＝5，D正确．故选B.

[例2]　(链接教科书第97页例3)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值：

(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；

(3)log5x2＝2；(4)2＝4.

[解]　(1)由log2x＝－，得2＝x，∴x＝.

(2)由logx25＝2，得x2＝25.

∵x>0，且x≠1，∴x＝5.

(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.

∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，

∴x＝5或x＝－5.

(4)由2＝4＝22，得log3x＝2，

∴x＝32，即x＝9.

利用指数式与对数式的互化求变量值的策略

(1)已知底数与指数，用指数式求幂；

(2)已知指数与幂，用指数式求底数；

(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．　　　　

[跟踪训练]

1．若logx4＝2，则x的值为(　　)

A．±2　　　　　　　　 B．2

C．－2  D.

解析：选B　∵logx4＝2，∴x2＝4，又x>0，∴x＝2.故选B.

2．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝________．

解析：∵log5x＝2，∴x＝52＝25.

∵logy8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，

∴x＋y＝27.

答案：27

[例3]　(链接教科书第98页B组1题)求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3)log3(log4(log5x))＝0.

[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，

∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.

(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，

∴x＝103＝1 000.

(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625.

[母题探究]

1．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？

解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.

2．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3＝1”，又如何求解x呢？

解：由3＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.

利用对数性质求解的2类问题的解法

(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值；

(2)已知多重对数式的值求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　　　　

[跟踪训练]

　已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)

A．1  B．－1

C．5  D.

解析：选A　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.

1．若7x＝8，则x＝(　　)

A.  B．log87

C．log78  D．log7x

解析：选C　由7x＝8⇔x＝log78.故选C.

2．若loga＝c(a>0，且a≠1，b>0)，则有(　　)

A．b＝a7c  B．b7＝ac

C．b＝7ac  D．b＝c7a

解析：选A　∵loga＝c，∴ac＝.∴(ac)7＝()7.

∴a7c＝b.

3．若log3(log2x)＝1，则x＝(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选C　∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，

∴x＝23＝8，则x＝＝ .

4．在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)

A．a>5或a<2  B．2<a<5

C．2<a<3或3<a<5  D．3<a<4

解析：选C　由题意得解得2<a<3或3<a<5.

5．已知6a＝8，则(1)log68＝________；(2)log62＝________；(3)log26＝________．(用a表示各式)

解析：(1)log68＝a.(2)由6a＝8得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.(3)由6＝2得2＝6，所以log26＝.

答案：(1)a　(2)　(3)