2021学年第四章 对数运算和对数函数2 对数的运算2.2 换底公式随堂练习题

换底公式

计算器上，只有常用对数键“log”和自然对数键“ln”，要计算logab必须将它转换成常用对数或自然对数．

[问题]　你知道如何转换吗？

知识点　换底公式

一般地，若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则logab＝．这个结论称为对数的换底公式．

换底公式的推论

1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？

提示：logab＝，logab＝.

2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logMm＝logNM吗？

提示：logMm＝＝＝·＝logNM.

1．log6432的值为(　　)

A.　　　　　　　　 B．2

C.  D.

解析：选C　log6432＝＝＝＝.

2．若log23＝a，则log49＝(　　)

A.  B．a

C．2a  D．a2

解析：选B　log49＝＝＝log23＝a.故选B.

3．(2021·襄阳联考)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________．

解析：利用换底公式，得··＝2，

∴lg m＝2lg 3＝lg 9，于是m＝9.

答案：9

[例1]　(链接教科书第103页例3)计算：(1)log29·log34；

(2).

[解]　(1)由换底公式可得，

log29·log34＝·＝·＝4.

(2)原式＝×＝log×log 9

＝×＝×＝－.

利用换底公式求值的思想与注意点

 [跟踪训练]

1．计算(log32＋log23)2－－的值为(　　)

A．log26　　　　　　　　 B．log36

C．2  D．1

解析：选C　原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2log32×log23＝2××＝2.

2．若log2x·log34·log59＝8，则x＝(　　)

A．8  B．25

C．16  D．4

解析：选B　∵log2x·log34×log59＝··＝××＝8，∴lg x＝2lg 5＝lg 25，∴x＝25.

[例2]　已知log189＝a，18b＝5，求log3645.(用a，b表示)

[解]　因为18b＝5，所以b＝log185.

所以log3645＝＝

＝＝

＝＝

＝.

[母题探究]

1．(变设问)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?

解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.

2．(变条件)若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？

解：因为9b＝5，所以log95＝b.

所以log3645＝＝

＝＝.

求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点

(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；

(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；

(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．　　　　

[跟踪训练]

　设a＝log36，b＝log520，则log215＝(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选D　∵a＝log36＝＝，

∴log23＝.

∵b＝log520＝＝，∴log25＝.

∴log215＝log23＋log25＝＋＝.

[例3]　(链接教科书第104页练习6题)(1)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc的值为________；

(2)已知5x＝2y＝()z，且x，y，z≠0，则＋的值为________．

[解析]　(1)法一：设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，

∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1.

法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，

∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝，y＝，z＝，

∴＋＋＝＋＋＝.

∵＋＋＝0，且lg t≠0，

∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.

(2)令5x＝2y＝()z＝k，则x＝log5k，y＝log2k，z＝lg k，z＝2lg k，∴＋＝＋＝2lg k(logk5＋logk2)＝2lg k·logk10＝2·log10k·logk10＝2.

[答案]　(1)1　(2)2

与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．　　　　

[跟踪训练]

已知实数a，b，c，d满足5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5，则(abcd)2 022＝________．

解析：将5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5转化为对数式，

得a＝log54＝，b＝，c＝，d＝，

所以(abcd)2 022＝＝12 022＝1.

答案：1

1．式子log32·log227的值为(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．3

C.  D．－3

解析：选B　log32·log227＝·＝＝log327＝3，故选B.

2．在，，log，logbn(a，b均为不等于1的正数)中，与logab一定相等的有(　　)

A．4个  B．3个

C．2个  D．1个

解析：选C　＝logab，＝logba，log＝logba，logbn＝logab，故选C.

3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log35·log259·lg 5＝(　　)

A．1  B．0

C．2  D．4

解析：选B　原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－··lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0.

4．若实数a，b，c满足25a＝404b＝2 020c＝2 019，则下列式子正确的是(　　)

A.＋＝  B．＋＝

C.＋＝  D.＋＝

解析：选A　由已知，得52a＝404b＝2 020c＝2 019，得2a＝log52 019，b＝log4042 019，c＝log2 0202 019，所以＝log2 0195，＝log2 019404，＝log2 0192 020，而5×404＝2 020，所以＋＝，即＋＝，故选A.

5．方程log2x＋＝1的解是________．

解析：原方程可变为log2x＋log2(x＋1)＝1，即log2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，解得x＝1或x＝－2.又即x>0，∴x＝1.

答案：1