【解析版】2022年北京市平谷区八年级下期末数学试卷

这是一份【解析版】2022年北京市平谷区八年级下期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年北京市平谷区八年级（下）期末数学试卷
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）关于y轴对称的点Q的坐标为（　　）
　 A． （﹣2，﹣1） B． （﹣2，1） C． （2，1） D． （1，﹣2）
　
2．多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（　　）
　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
　
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　 A． 等边三角形 B． 平行四边形 C． 菱形 D． 五角星
　
4．在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上中点，且DE=6，则BC的长度是（　　）
　 A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
　
5．若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
　 A． k≤﹣1且k≠0 B． k＜﹣1且k≠0 C． k≥﹣1且k≠0 D． k＞﹣1且k≠0
　
6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
　 A． ∠ABC=90° B． AC⊥BD C． AB=CD D． AB∥CD
　
7．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方 差 42 42 54 59

　 A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁
　
8．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E是AB边的中点，图中已有三角形与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（　　）个．

　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
　
9．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E为AD中点，P为对角线BD上一动点，连结PA和PE，则PA+PE的值最小是（　　）

　 A． 2 B． 4 C． D．
　
10．均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（　　）

　 A． B． C． D．
　
　
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　　．
　
12．关于x的一元二次方程x2﹣3mx﹣4=0的一个解为1，则m的值为　　　　　　．
　
13．若一次函数y=﹣2x+3的图象经过点P1（﹣5，m）和点P2（1，n），则m　　　　　　n．（用“＞”、“＜”或“=”填空）
　
14．在▱ABCD中，∠ABC的平分线交直线AD于点E，且AE=5，ED=2，则▱ABCD的周长是　　　　　　．
　
15．根据图中的程序，当输入一元二次方程x2﹣2x=0的解x时，输出结果y=　　　　　　．

　
16．在平面直角坐标系中，点A（2，0）到动点P（x，x+2）的最短距离是　　　　　　．
　
　
三、解答题：（本题共32分，其中17-20题每小题5分，21题和22题每小题5分）
17．解一元二次方程：3x2+2x﹣5=0．
　
18．用配方法解方程：2x2+4x﹣6=0．
　
19．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

　
20．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），且与y=2x平行，求这个一次函数表达式．
　
21．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）当k取何整数时方程有整数根．
　
22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF，连结DE、AF，猜想DE、AF的关系并证明．

　
　
四、解答题（本题共22分，其中23-24题每小题5分，25-26题每小题5分）
23．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．

　
24．某中学组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t（小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）本次随机抽取的学生人数为　　　　　　人；
（2）求出x值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读量满足2≤t＜4的人数．
　
25．如图，是某工程队在“村村通”工程中修筑的公路长度y（米）与时间x（天）（其中0≤x≤8）之间的关系图象．根据图象提供的信息，求该公路的长．

　
26．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．

　
　
五、解答题（本题共18分，每小题6分）
27．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．

　
28．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=kx+3．
（1）当直线l经过D点时，求点D的坐标及k的值；
（2）当直线l与正方形有两个交点时，直接写出k的取值范围．

　
29．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上一点，且ED⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
小明发现，延长FD到点H，使DH=FD，连结BH、EH，构造△BDH和△EFH，通过证明△BDH与△CDF全等、△EFH为等腰三角形，利用△BEH使问题得以解决（如图2）．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在矩形ABCD中，O为对角线AC中点，将矩形ABCD翻折，使点B恰好与点O重合，EF为折痕，猜想EF、BE、FC之间的数量关系？并证明你的猜想．
　
　

2022学年北京市平谷区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）关于y轴对称的点Q的坐标为（　　）
　 A． （﹣2，﹣1） B． （﹣2，1） C． （2，1） D． （1，﹣2）

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数可得答案．
解答： 解：点P（2，﹣1）关于y轴对称的点Q的坐标为（﹣2，﹣1），
故选：A．
点评： 此题主要关于y轴对称的点的坐标特点，关键是掌握（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
　
2．多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（　　）
　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 8

考点： 多边形内角与外角．
分析： 首先可求得每个外角为60°，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．
解答： 解：180°﹣120°=60°，
360°÷60°=6．
故选：C．
点评： 本题主要考查的是正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的一个内角与它相邻的一个外角互补，边数×一个外角=360°是解题的关键．
　
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　 A． 等边三角形 B． 平行四边形 C． 菱形 D． 五角星

考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答： 解：A、等边三角形，∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、平行四边形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、菱形，此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D、五角星，∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
　
4．在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上中点，且DE=6，则BC的长度是（　　）
　 A． 3 B． 6 C． 9 D． 12

考点： 三角形中位线定理．
分析： 根据三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍，计算即可．
解答： 解：∵△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点且DE=6，
∴BC=2DE=2×6=12，
故选D．
点评： 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
　
5．若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
　 A． k≤﹣1且k≠0 B． k＜﹣1且k≠0 C． k≥﹣1且k≠0 D． k＞﹣1且k≠0

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选D．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
　
6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
　 A． ∠ABC=90° B． AC⊥BD C． AB=CD D． AB∥CD

考点： 菱形的判定．
分析： 由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．
解答： 解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故选：B．
点评： 此题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定．此题比较简单，注意掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理的应用．
　
7．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方 差 42 42 54 59

　 A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁

考点： 方差；算术平均数．
专题： 常规题型．
分析： 此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛．
解答： 解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．
故选：B．
点评： 本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
　
8．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E是AB边的中点，图中已有三角形与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（　　）个．

　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

考点： 平行四边形的性质．
分析： 首先利用平行四边形的性质证明△ADB≌△CBD，从而得到△CDB，与△ADB面积相等，再根据DO=BO，AO=CO，利用三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△DOC、△COB、△AOB、△ADO面积相等，都是△ABD的一半，根据E是AB边的中点可得△ADE、△DEB面积相等，也都是△ABD的一半，从而得到答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，DC=AB，
在△ADB和△CBD中：，
∴△ADB≌△CBD（SSS），
∴S△ADB=S△CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，CO=AO，
即：O是DB、AC中点，
∴S△DOC=S△COB=S△DOA=S△AOB=S△ADB，
∵E是AB边的中点，
∴S△ADE=S△DEB=S△ABD，
∴S△DOC=S△COB=S△DOA=S△AOB=S△ADE=S△DEB=S△ADB，
∴不包括△ADE共有5个三角形与△ADE面积相等，
故选：C．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形的中线平分三角形面积，解决问题的关键是熟练把握三角形的中线平分三角形面积这一性质．
　
9．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E为AD中点，P为对角线BD上一动点，连结PA和PE，则PA+PE的值最小是（　　）

　 A． 2 B． 4 C． D．

考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
分析： 由于A、C两点关于BD对称，P在BD上，则连接AC，EC，与BD的交点即为点P，此时PA+PE的值最小，再根据线段垂直平分线的性质，即可求解．
解答： 解：如图，连接EC，与BD交于点P，连接AC，此时PA+PE=CP+EP=CE，值最小．
∵∠ABC=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵E是AD中点，
∴AE=2，CE⊥AD，
∴CE=2，
∴AP+EP=CE=2．
故选D．

点评： 本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定，难度适中，确定点P的位置是解题的关键．
　
10．均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 根据图象可得水面高度开始增加的慢，后来增加的快，从而可判断容器下面粗，上面细，结合选项即可得出答案．
解答： 解：因为水面高度开始增加的慢，后来增加的快，
所以容器下面粗，上面细．
故选B．
点评： 本题考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
　
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥﹣2　．

考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
解答： 解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
点评： 本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
　
12．关于x的一元二次方程x2﹣3mx﹣4=0的一个解为1，则m的值为　﹣1　．

考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 根据一元二次方程的解的意义把x=1代入原方程得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
解答： 解：把x=1代入方程得1﹣3m﹣4=0，解得m=﹣1．
故答案为﹣1．
点评： 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
　
13．若一次函数y=﹣2x+3的图象经过点P1（﹣5，m）和点P2（1，n），则m　＞　n．（用“＞”、“＜”或“=”填空）

考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 由函数解析式可判断出一次函数的增减性，可得出答案．
解答： 解：
在y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，
∴在一次函数y=﹣2x+3中，y随x的增大而减小，
∵﹣5＜1，
∴m＞n，
故答案为：＞．
点评： 本题主要考查函数的增减性，掌握一次函数y=kx+b的增减性是解题的关键，即当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
　
14．在▱ABCD中，∠ABC的平分线交直线AD于点E，且AE=5，ED=2，则▱ABCD的周长是　24或16　．

考点： 平行四边形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 由平行四边形ABCD得到AB=CD，AD=BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE=∠AEB，即AB=AE，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．
解答： 解：如图1：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∵AE=5，
∴AB=AE=5，
∴AD=AE+DE=5+2=7，
∴AB=CD=5，AD=BC=7，
∴平行四边形的周长是2（AB+BC）=24；

如图2：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∵AE=5，
∴AB=AE=5，
∴AD=AE﹣DE=5﹣2=3，
∴AB=CD=5，AD=BC=3，
∴平行四边形的周长是2（AB+BC）=16．
故答案为：24或16．


点评： 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
　
15．根据图中的程序，当输入一元二次方程x2﹣2x=0的解x时，输出结果y=　﹣4或2　．


考点： 解一元二次方程-因式分解法；函数值．
专题： 图表型．
分析： 先求出x的值，再根据程序代入求出即可．
解答： 解：x2﹣2x=0，
解得：x1=0，x2=2，
当x=0≤1时，y=x﹣4=﹣4；
当x=2＞1时，y=﹣x+4=2；
故答案为：﹣4或2．
点评： 本题考查了解一元二次方程和函数值的应用，能求出方程的解和读懂题意是解此题的关键，难度适中．
　
16．在平面直角坐标系中，点A（2，0）到动点P（x，x+2）的最短距离是　　．

考点： 一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．
分析： 先判断P点在函数y=x+2上，过A作直线y=x+2的垂线交直线于点P，再根据勾股定理可求得AP的长．
解答： 解：
∵点P坐标为（x，x+2），
∴点P在直线y=x+2上，
如图，设直线交x轴于点B，过A作直线的垂线交直线于点P，则AP的长即为最短距离，
在y=x+2中，令y=0可知x=﹣2，
∴B点坐标为（﹣2，0），
又点B在直线y=x+2上，
∴∠PBA=45°，
∵OA=2，
∴AB=4，
在Rt△ABP中，则AP=AB•sin45°=4×=2，
故答案为：2．

点评： 本题主要考查一次函数图象上点的特征，确定出点P所在的直线是解题的关键，注意数形结合．
　
三、解答题：（本题共32分，其中17-20题每小题5分，21题和22题每小题5分）
17．解一元二次方程：3x2+2x﹣5=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
分析： 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答： 解：3x2+2x﹣5=0，
（3x+5）（x﹣1）=0，
3x+5=0，x﹣1=0，
x1=﹣，x2=1．
点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，难度适中．
　
18．用配方法解方程：2x2+4x﹣6=0．

考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答： 解：2x2+4x﹣6=0
方程两边同时除以2，得 x2+2x﹣3=0．
移常数项，得x2+2x=3．
配方，得x2+2x+1=3+1（x+1）2=4．
开平方，得 x+1=±2．
所以，原方程的解为x1=1，x2=﹣3．
点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
　
19．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．
解答： 证明：连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．

点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．
　
20．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），且与y=2x平行，求这个一次函数表达式．

考点： 待定系数法求一次函数解析式．
专题： 计算题．
分析： 先利用两直线平行问题得到k=2，然后把（1，﹣3）代入y=2x+b求出b的值即可．
解答： 解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y=2x平行，
∴k=2，
∵一次函数y=2x+b的图象经过点（1，﹣3），
∴2+b=﹣3，解得b=﹣5，
∴一次函数表达式为y=2x﹣5．
点评： 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
　
21．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）当k取何整数时方程有整数根．

考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法．
分析： （1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△=（2k﹣2）2﹣4k×（k﹣2）＞0，然后根据非负数的性质即k的取值得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论，；
（2）利用公式法表示出方程的两个根，再进一步理由方程有整数根探讨得出k的数值即可．
解答： （1）证明：这∵=k，b=﹣（2k﹣2），c=k﹣2，
∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k﹣2）]2﹣4k×（k﹣2）=4k2﹣8k+4﹣4k2+8k=4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）的解为：
整理，得
在方程的两个根中，x1=1是整数，
∴为整数，，
∵k为整数，
∴当k为±1和±2时方程有整数根．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
　
22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF，连结DE、AF，猜想DE、AF的关系并证明．


考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 探究型．
分析： 先根据正方形的性质得AB=AD=BC，∠DAB=∠B=90°，则可利用“SAS”判定△DAE≌△ABF，得到DE=AF，∠1=∠2，由于∠1+∠AED=90°，所以∠2+∠AED=90°，根据三角形内角和得到∠AOE=90°，于是得到DE⊥AF．
解答： 猜想：DE=AF且DE⊥AF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠DAB=∠B=90°，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE=AF，∠1=∠2．
又∵∠1+∠AED=90°，
∴∠2+∠AED=90°，
∵∠AOE+∠2+∠AED=180°，
∴∠AOE=90°，
∴DE⊥AF，
即DE=AF且DE⊥AF．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形的性质．
　
四、解答题（本题共22分，其中23-24题每小题5分，25-26题每小题5分）
23．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．


考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 等量关系为：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解．
解答： 解：设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8﹣4x2=80%×10×8，
80﹣4x2=64，
4x2=16，
x2=4．
解得：x1=2，x2=﹣2，
经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
点评： 读懂题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键，实际问题中需注意负值应舍去．
　
24．某中学组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t（小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）本次随机抽取的学生人数为　200　人；
（2）求出x值，并将不完整的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读量满足2≤t＜4的人数．

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）由条形图可知A等级有90人，由扇形图可知对应的百分比为45%，那么抽查的学生总数=A等级的人数÷对应的百分比，计算即可求解；
（2）根据所有等级的百分比的和为1，则可计算出x的值，再求出B级与C级的人数，即可作图；
（3）利用每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数=该校总人数×B级的与C级百分比的和计算即可．
解答： 解：（1）抽查的学生总数=90÷45%=200人，

（2）∵x%+15%+10%+45%=1，
∴x=30；
B等级的人数=200×30%=60人，
C等级的人数=200×10%=20人，
条形统计图补充如下：


（3）2500×（10%+30%）=1000人，
所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数为1000人．
故答案为200．
点评： 本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从条形统计图，扇形统计图中得到准确的信息．
　
25．如图，是某工程队在“村村通”工程中修筑的公路长度y（米）与时间x（天）（其中0≤x≤8）之间的关系图象．根据图象提供的信息，求该公路的长．


考点： 一次函数的应用．
分析： 本题可设x≥2时，函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法即可求出函数解析式，进而即可求出答案．
解答： 解：设x≥2时，函数解析式为y=kx+b，
∴2k+b=180，4k+b=288，
解得k=54，b=72，
∴y=54x+72，
∴当x=8时，y=504．
答：该公路长504米．
点评： 本题考查一次函数的应用，关键是根据两点，可确定直线的函数解析式．当已知函数的某一点的横坐标时，也可求出相应的y值．
　
26．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．


考点： 菱形的判定与性质；勾股定理．
分析： （1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；
（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S=AC•DE进行解答．
解答： （1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC=DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD=DB=CD．
∴EC=AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠AOD=∠ACB=90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6，
∴AD=DB=CD=6．
∴AB=12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE=BC=6．
∴．
点评： 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．
　
五、解答题（本题共18分，每小题6分）
27．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．


考点： 矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
分析： 根据当OP=OD时，以及当OD=PD时和当OP=PD时，分别进行讨论得出P点的坐标．
解答： 解：过P作PM⊥OA于M．
（1）当OP=OD时，
OP=5，CO=4，
∴易得CP=3，
∴P（3，4）；
（2）当OD=PD时，
PD=DO=5，PM=4，
∴易得MD=3，从而CP=2或CP'=8，
∴P（2，4）或（8，4）；
综上，满足题意的点P的坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4），


点评： 此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．
　
28．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=kx+3．
（1）当直线l经过D点时，求点D的坐标及k的值；
（2）当直线l与正方形有两个交点时，直接写出k的取值范围．


考点： 一次函数综合题．
分析： （1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D的坐标，把D的坐标代入解析式即可求出k的值；
（2）把B的坐标代入求出K的值，即可得出答案．
解答： 解：（1）如图，过D点作DE⊥y轴，


则∠AED=∠1+∠2=90°．
在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
又∵∠AOB=∠AED=90°，
在△AED和△BOA中，
，
∴△AED≌△BOA，
∴DE=AO=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D点坐标为（4，7），
把D（4，7）代入y=kx+3，得k=1；

（2）当直线y=kx+3过B点时，把（3，0）代入得：0=3k+3，
解得：k=﹣1．
所以当直线l与正方形有两个交点时，k的取值范围是k＞﹣1．
点评： 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，能求出D的坐标是解此题的关键，难度偏大．
　
29．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上一点，且ED⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
小明发现，延长FD到点H，使DH=FD，连结BH、EH，构造△BDH和△EFH，通过证明△BDH与△CDF全等、△EFH为等腰三角形，利用△BEH使问题得以解决（如图2）．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在矩形ABCD中，O为对角线AC中点，将矩形ABCD翻折，使点B恰好与点O重合，EF为折痕，猜想EF、BE、FC之间的数量关系？并证明你的猜想．

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
分析： 猜想：EF2=AE2+CF2，延长EO交CD于点H，连结FH，首先证明△AEO≌△CHO，进而可得EO=HO，CH=AE，由折叠的性质可得△EFO≌△EFB，所以∠EOF=∠B=90°，继而在△FCH中，由勾股定理得FH2=CH2+FC2，即EF2=AE2+CF2问题得证．
解答： 解：
猜想：EF2=AE2+CF2，
理由如下：延长EO交CD于点H，连结FH．
∵四边形ABCD是矩形．
∴AB∥DC．∠B=90°
∴∠EAO=∠HCO．
∵O为对角线AC中点，
∴AO=CO．
∵∠BOE=∠COH，
∴△AEO≌△CHO．
∴EO=HO，CH=AE，
由题意可知△EFO≌△EFB．
∴∠EOF=∠B=90°．
∴OF垂直平分EH．
∴FH=EF
在△FCH中，由勾股定理得FH2=CH2+FC2，
∴EF2=AE2+CF2．

点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质勾股定理的运用以及折叠的性质，解题的关键是正确条件辅助线构造全等三角形．