【解析版】2022年安庆市桐城市九年级上期末数学试卷

这是一份【解析版】2022年安庆市桐城市九年级上期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年安徽省安庆市桐城市九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题：每小题4分，共40分．四个选项中只有一项是正确的．
1．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（　　）
　A． = B． = C． = D． =
　
2．在函数y=（x+1）2+3中，y随x增大而减小，则x的取值范围为（　　）
　 A． x＞﹣1 B． x＞3 C． x＜﹣1 D． x＜3
　
3．如图，点A是反比例函数图象的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S△AOT=4，则此函数的表达式为（　　）

　 A． B． C． D．
　
4．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）

　 A． ∠ACP=∠B B． ∠APC=∠ACB C． D．
　
5．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（　　）
　 A． 100m2 B． 270m2 C． 2700m2 D． 90000m2
　
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是（　　）
　 A． B． 2 C． D．
　
7．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）

　 A． ﹣1＜x＜5 B． x＞5 C． x＜﹣1且x＞5 D． x＜﹣1或x＞5
　
8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

　 A． 45° B． 60° C． 75° D． 90°
　
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（　　）

　 A． 2 B． C． D． 1
　
10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
　 A． B．
C． D．
　
　
二、填空题：每小题5分，满分20分．
11．若点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m　　　　　　n（填“＞”、“＜”或“=”号）
　
12．如图，已知直线l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则tanα=　　　　　　．

　
13．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为　　　　　　．

　
14．已知抛物线C1：y1=a1x2+b1x+c1，C2：y2=a2x2+b2x+c2，且满足===k（k≠0，1），则称抛物线C1，C2互为“友好抛物线”．关于“友好抛物线”有以下说法：①C1，C2开口方向、开口大小相同；②C1，C2的对称轴相同；③如果y2的最值为m，则y1的最值为km；④如果C2与x轴的两交点间距离为d，则C1与x轴的两交点间距离也为d．其中正确的结论是　　　　　　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
　
三、解答题：每小题8分，满分90分．
15．计算|tan60°﹣tan45°|+．
　
16．观察下列算式：
①1×3﹣22=﹣1；②2×4﹣32=﹣1；③3×5﹣42=﹣1；④　　　　　　；
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
　
17．桐城市某房产公司推出热气球观房活动，热气球的探测器显示，从热气球A处看某小区内一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处于高楼的水平距离为30m，求这栋高楼有多高？（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）

　
18．如图，已知直线y1=﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y2=（k≠0）的图象上．
（1）求点P′的坐标；
（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2＜2时自变量x的取值范围．

　
19．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．

　
20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求证：△BEA∽△CDA；
（2）请猜想可能等于图中哪两条线段的比例？并证明你的猜想．

　
21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

　
22．桐城市某游乐场投资150万元引进了一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而改游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y万元，且满足y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用所得称为游乐场的纯收益W万元．
（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，分别求出y关于x的函数解析式以及W关于x的表达式；
（2）问设施开放几个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益多少万元？
（3）几个月后，能收回投资？
　
23．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=KC，求的值．
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

　
　

2022学年安徽省安庆市桐城市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：每小题4分，共40分．四个选项中只有一项是正确的．
1．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（　　）
　 A． = B． = C． = D． =

考点： 比例的性质．
专题： 计算题．
分析： 把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．
解答： 解：A、变成等积式是：xy=6，故错误；
B、变成等积式是：3x=2y，故错误；
C、变成等积式是：2x=3y，故正确；
D、变成等积式是：3x=2y，故错误．
故选C．
点评： 本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
　
2．在函数y=（x+1）2+3中，y随x增大而减小，则x的取值范围为（　　）
　 A． x＞﹣1 B． x＞3 C． x＜﹣1 D． x＜3

考点： 二次函数的性质．
分析： 由条件可知二次函数的对称轴为x=﹣1，且开口向上，可得出答案．
解答： 解：
∵y=（x+1）2+3，
∴二次函数开口向上，且对称轴为x=﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x增大而减小，
故选C．
点评： 本题主要考查二次函数的增减性及对称轴，掌握在y=a（x﹣h）2+k中二次函数的对称轴为x=h是解题的关键．
　
3．如图，点A是反比例函数图象的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S△AOT=4，则此函数的表达式为（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 数形结合．
分析： 由图象上的点所构成的三角形面积为可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为2，又因为点M在第二象限内，所以可知反比例函数的系数．
解答： 解：由题意得：|k|=2S△AOT=8；
又因为点M在第二象限内，则k＜0；
所以反比例函数的系数k为﹣8．
故选D．
点评： 本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
　
4．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）

　 A． ∠ACP=∠B B． ∠APC=∠ACB C． D．

考点： 相似三角形的判定．
分析： 由图可得∠A=∠A，又由有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确，又由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可得C正确，利用排除法即可求得答案．
解答： 解：∵∠A=∠A，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，故A选项正确；
∴当∠APC=∠ACB时，△ACP∽△ABC，故B选项正确；
∴当时，△ACP∽△ABC，故C选项正确；
∵若，还需知道∠ACP=∠B，∴不能判定△ACP∽△ABC．故D选项错误．
故选：D．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．
　
5．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（　　）
　 A． 100m2 B． 270m2 C． 2700m2 D． 90000m2

考点： 比例线段．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 实际图形与设计图是相似图形，相似比是5：1500=1：300，相似多边形面积的比等于相似比的平方，就可求出这块草坪的实际面积．
解答： 解：设草坪的实际面积是x平方米，
则有，
解得x=2700m2．
故选C．
点评： 实际图形与设计图是相似图形，本题实际就是考查相似多边形的性质．注意单位的转换．
　
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是（　　）
　 A． B． 2 C． D．

考点： 锐角三角函数的定义．
专题： 压轴题．
分析： 根据正弦的定义sinA=解答．
解答： 解：根据题意，AB==BC，sinA===．
故选C．
点评： 本题主要考查角的正弦的定义，需要熟练掌握．
　
7．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）

　 A． ﹣1＜x＜5 B． x＞5 C． x＜﹣1且x＞5 D． x＜﹣1或x＞5

考点： 二次函数与不等式（组）．
专题： 压轴题．
分析： 利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
解答： 解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜﹣1或x＞5．
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
　
8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

　 A． 45° B． 60° C． 75° D． 90°

考点： 圆周角定理；正多边形和圆．
分析： 连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．
解答： 解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．
故选A．

点评： 本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．
　
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（　　）

　 A． 2 B． C． D． 1

考点： 解直角三角形．
分析： 想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题．
解答： 解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°，
∴tan∠ABC==1，
∵tan∠DBA=，
∴tan∠CBD=，
∴CD=BC•tan∠CBD=2，
∴AD=3﹣2=1．
故选D．
点评： 本题考查了直角三角形中正切值的运用，考查了两角和的正切公式，熟练运用两角和的正切公式是解题的关键．
　
10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
　 A． B．
C． D．

考点： 动点问题的函数图象．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分主要分为3个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案．
解答： 解：DF=x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y
①y=DF2=x2（0≤x＜）；
②y=1（≤x＜2）；
③∵BH=3﹣x
∴y=BH2=x2﹣3x+9（2≤x＜3）．
综上可知，图象是
故选：B．
图：①


②


③

点评： 解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
　
二、填空题：每小题5分，满分20分．
11．若点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m　＜　n（填“＞”、“＜”或“=”号）

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特得到1•m=﹣2，2•n=﹣2，然后分别解方程求出m和n的值，再比较大小即可．
解答： 解：∵点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，
∴1•m=﹣2，2•n=﹣2，
∴m=﹣2，n=﹣1，
∴m＜n．
故答案为＜．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
　
12．如图，已知直线l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则tanα=　　．


考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义．
分析： 根据正方形的性质就可以得出AE=AD，由平行线的性质就可以得出∠α=∠ADE，就可以求出结论．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=AB，∠A=90°．
∵l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，
∴AE=AB，∠α=∠ADE．
∴AE=AD．
∴．
∵tan∠ADE=，
∴tanα=，
∴tanα=．
故答案为：

点评： 本题考查了平行线等分线段定理的运用，正方形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用平行线等分线段定理求解是关键．
　
13．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为　8π　．


考点： 垂径定理；勾股定理；切线的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，根据垂径定理得到BG=AG=2，利用勾股定理可得MB2﹣MG2=22=4，再根据切线的性质有NF⊥AB，而AB∥CD，得到MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，则z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r）=（R2﹣r2）•2π，即可得到z（x+y）的值．
解答： 解：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，
而AB=4，
∴BG=AG=2，
∴MB2﹣MG2=22=4，
又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，
∴NF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴MG=NF，
设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，
∴z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r），
=（2R﹣2r）（R+r）•π，
=（R2﹣r2）•2π，
=4•2π，
=8π．
故答案为：8π．

点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了切线的性质和圆的面积公式以及勾股定理．
　
14．已知抛物线C1：y1=a1x2+b1x+c1，C2：y2=a2x2+b2x+c2，且满足===k（k≠0，1），则称抛物线C1，C2互为“友好抛物线”．关于“友好抛物线”有以下说法：①C1，C2开口方向、开口大小相同；②C1，C2的对称轴相同；③如果y2的最值为m，则y1的最值为km；④如果C2与x轴的两交点间距离为d，则C1与x轴的两交点间距离也为d．其中正确的结论是　②③④　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

考点： 二次函数的性质．
专题： 新定义．
分析： 当k＜0时，可判断①；由=可得到=，可判断②；根据二次函数的最值，可分别求得y2和y1的最值，再结合条件可判断③；根据根与系数的关系求出与X轴的两交点的距离|g﹣e|和|d﹣m|，即可判断④．
解答： 解：由已知可知：a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2，
①根据友好抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相同，故①不正确；
②由=可得到=，所以可知其对称轴相同，故②正确；
③因为如果y2的最值是m，则y1的最值是=k•=km，故③正确；
④因为设直线y1于x轴的交点坐标是（e，f），（g，h），则e+g=﹣，eg=，
直线y2于x轴的交点坐标是（m，n），（d，p），则m+d=﹣，md=，
可求得：d=|g﹣e|=====|d﹣m|，故④正确；
故答案为：②③④．
点评： 本题主要考查二次函数的对称轴、开口方向、最值等，由条件得出a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2是解题的关键．

三、解答题：每小题8分，满分90分．
15．计算|tan60°﹣tan45°|+．

考点： 特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 本题可分别解出tan60°与tan45°的值，比较它们的大小，再对原式去绝对值．而根号内的数可配成平方式，讨论平方内的数的大小，最后代入原式即可．
解答： 解：原式=|tan60°﹣tan45°|+|cos30°﹣1|
=tan60°﹣tan45°+1﹣cos30°
=
=．
点评： 本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
　
16．观察下列算式：
①1×3﹣22=﹣1；②2×4﹣32=﹣1；③3×5﹣42=﹣1；④　4×6﹣52=﹣1　；
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

考点： 规律型：数字的变化类．
分析： （1）按照前3个算式的规律写出即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于﹣1，根据此规律写出即可；
（3）先利用单项式乘多项式的法则与完全平方公式分别计算第n个式子左边的第一项与第二项，再去括号、合并同类项，所得结果与﹣1比较即可．
解答： 解：（1）∵①1×3﹣22=﹣1，
②2×4﹣32=﹣1，
③3×5﹣42=﹣1，
∴第4个算式为：④4×6﹣52=﹣1；
故答案为：4×6﹣52=﹣1；

（2）第n个式子是：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1；

（3）第（2）小题中所写出的式子一定成立．理由如下：
∵左边=n×（n+2）﹣（n+1）2=n2+2n﹣（n2+2n+1）=n2+2n﹣n2﹣2n﹣1=﹣1，右边=﹣1，
∴左边=右边，
∴n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．
点评： 此题主要考查了规律型：数字的变化类，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键．
　
17．桐城市某房产公司推出热气球观房活动，热气球的探测器显示，从热气球A处看某小区内一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处于高楼的水平距离为30m，求这栋高楼有多高？（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）


考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．
解答： 解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=60°，AD=30m，
∴BD=AD•tan60°=30×=30m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=30m，
∴CD=AD•tan30°=30×=10m，
BC=30+10=40≈68（m）．
答：这栋楼高约为68m．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据所给的仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解直角三角形．
　
18．如图，已知直线y1=﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y2=（k≠0）的图象上．
（1）求点P′的坐标；
（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2＜2时自变量x的取值范围．


考点： 待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： （1）把P的坐标代入直线的解析式，即可求得P的坐标，然后根据关于y轴对称的两个点之间的关系，即可求得P′的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的增减性即可求得x的范围．
解答： 解：（1）把P（﹣2，a）代入直线的解析式得：a=﹣2×（﹣2）=4，则P的坐标是（﹣2，4），
点P关于y轴的对称点P′的坐标是：（2，4）；
（2）把P′的坐标（2，4）代入反比例函数y2=（k≠0）的解析式得：4=，解得：k=8，则函数的解析式是：y2=；
在解析式中，当y=2时，x=4，
则当y2＜2时自变量x的取值范围是：x＞4或x＜0．
点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及反比例函数的性质，容易出现的错误是在求x的范围时忽视x≠0这一条件．
　
19．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．


考点： 作图-位似变换；点的坐标．
专题： 作图题．
分析： （1）延长BO，CO到B′C′，使OB′，OC′的长度是OB，OC的2倍．顺次连接三点即可；
（2）从直角坐标系中，读出B′、C′的坐标；
（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
解答： 解：（1）

（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；

（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
点评： 本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．
　
20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求证：△BEA∽△CDA；
（2）请猜想可能等于图中哪两条线段的比例？并证明你的猜想．


考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： （1）由三角形外角的性质及条件可得到∠AEB=∠ADC，结合条件可得到∠DAC=∠EAB，可证得结论；
（2）利用（1）的结论可证得△ADE∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得出=或
解答： （1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，
即∠BAE=∠DAC，
∵∠DAE=∠BDC，
∴∠DAE+∠ADE=∠BDC+∠ADE，
即∠AEB=∠ADC，
∴△BEA∽△CDA；
（2）解：=或，证明如下：
由（1）可知△ADE∽△ACB，
∴=，且∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴==，
∴=或．
点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的三边对应成比例、②两个三角形有两组角对应相等、③两个三角形的两组对边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似．
　
21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．


考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
解答： （1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，．（2分）
∴∠BCD=∠BAC．（3分）
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD．（5分）

（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，
CE=CD=×24=12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）
解得R=13，∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直径为26cm．（10分）

点评： 本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
　
22．桐城市某游乐场投资150万元引进了一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而改游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y万元，且满足y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用所得称为游乐场的纯收益W万元．
（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，分别求出y关于x的函数解析式以及W关于x的表达式；
（2）问设施开放几个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益多少万元？
（3）几个月后，能收回投资？

考点： 二次函数的应用．
分析： （1）将x=1，y=2及x=2，y=6代入关系式y=ax2+bx求出a、b的值进而求出y与x的关系式，再由利润=收入﹣投资﹣维修保养费用就可以得出W与x的关系式；
（2）由（1）的W与x的关系式变为顶点式就可以求出结论；
（3）由函数的解析式可以得出0＜x≤16时y随x的增大而增大，当W=0时求出x的值即可求出结论．
解答： 解：（1）由题意，得
，
解得：，
y=x2+x．
W=33x﹣150﹣（x2+x），
W=﹣x2+32x﹣150．
答：y关于x的函数解析式为y=x2+x，W关于x的表达式为W=﹣x2+32x﹣150；
（2）∵W=﹣x2+32x﹣150，
W=﹣（x﹣16）2+106．
∵a=﹣1＜0，
∴x=16时，W最大=106万元．
答：设施开放16个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益106万元；
（3）由题意，得
0=﹣x2+32x﹣150，
解得：x1=16+，x2=16﹣，
∵16+＞16﹣，
∴x=16﹣．
∵x为整数，
∴x=5时，W＜0，
当x=6时，W＞0，
∴6个月后，能收回投资．
点评： 本题考查了二次函数的顶点式的运用，利润=收入﹣投资﹣维修保养费用的数量关系的运用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的关系式是关键．
　
23．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=KC，求的值．
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．


考点： 相似形综合题．
分析： （1）由已知得BK=KC，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用=求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；
（3）当AE=AD（n＞2）时，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．
解答： 解：（1）∵BK=KC，
∴=1，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴=1；

（2）当BE平分∠ABC，AE=AD时，AB=BC+CD；
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，
∵EF=EG+GF，
即：AB=BC+CD；
∴AB=BC+CD；

（3）由（2）同理可得：当AE=AD（n＞2）时，EF∥AB，
同理可得：==，则BG=•BC，则EG=BG=•BC，
==，则GF=•CD，==，
∴+•CD=•AB，
∴BC+CD=（n﹣1）AB，
故当AE=AD（n＞2）时，BC+CD=（n﹣1）AB．

点评： 本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线构造平行线利用三角形的中位线定理解决问题是解题的关键．