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【解析版】2022学年吉安市吉州区九年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】2022学年吉安市吉州区九年级上期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年江西省吉安市吉州区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． x（x﹣1）=x2 B． x2x=1 C． x2+x=1 D． （x2﹣1）2=1
2．如图是一中国象棋棋盘，右侧是一颗反面朝上的棋子，这个棋子的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2005•东营）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，则y1﹣y2的值为（ ）
A． 正数 B． 负数 C． 非正数 D． 非负数
5．如图，已知AD是△ABC的高，把三角形纸片ABC折叠，使A点落在D处，折痕为EF，则下列结论中错误的是（ ）
A． EF⊥AD B． EF=BC C． DF=AC D． DF=AB
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． a＞0
B． 当x＜1时，y随x的增大而减小
C． a+b+c=0
D． 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．请写出一个三视图都相同的几何体： ．
8．若x1，x2是方程x2﹣90x+2015=0的两个根，则x1•x2= ．
9．已知反比例函数图象上有一点P（m，n），且m+n=5，试写出一个满足条件的反比例函数的解析式 ．
10．已知线段AB=20，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= ．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
12．已知抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于A（2，0），则抛物线的表达式是 ．
13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是 ．
14．某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，
点C在BD上，有四位技术人员分别测量处以下四组数据：
①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③DE，DC，BC；④EF、DE、BD．根据所测数据，能求出A、B间的距离的有 （填上所有能求出A、B间距离的序号）
三、解答题（本题共4小题，共24分）
15．解方程：x2+2x﹣3=0．
16．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2cos45°．
17．如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上．
（1）请按要求画图：以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E都在单位正方形的顶点上．
（2）在（1）中△ABC与△EBD的面积比是 （直接写出答案）
18．为响应吉安市中心城区创建全国文明城市的号召．某校从甲、乙、丙3名同学中随机抽取文明行为劝导志愿者，求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
四、（共3小题，每题8分，共24分）
19．如图，A、B是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
20．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
21．如图1是一张折叠椅子，图2是其侧面示意图，已知椅子折叠时长1.2米．椅子展开后最大张角∠CBD=37°，且BD=BC，AB：BG：GC=1：2：3，座面EF与地面平行，当展开角最大时，请解答下列问题：
（1）求∠CGF的度数；
（2）求座面EF与地面之间的距离．（可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据：sin71.5°≈0.948，cos71.5°≈0.317，tan71.5°≈2.989）
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为，求AC的长．
23．已知抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上，且位于y轴左侧，现将该抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
（1）试求该抛物线的对称轴；
（2）在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位？
（3）在最初的状态下，若向下平移m2（m＞0）个单位时，对应线段AB长为n，若w=m2﹣n，问m为何值时，w最小，最小值是多少．
六、（共1题，12分）
24．【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
【问题探究】
（1）在旋转过程中，
①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ的数量关系是（ ）
A、DP＜DQ B、DP=DQ C、DP＞DQ D、无法确定
②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为 （直接写出结论，不必证明）
（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
2022学年江西省吉安市吉州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． x（x﹣1）=x2 B． x2x=1 C． x2+x=1 D． （x2﹣1）2=1
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答：解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是一元三次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是一元四次方程，故D错误；
故选：C．
点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．如图是一中国象棋棋盘，右侧是一颗反面朝上的棋子，这个棋子的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 找出从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答： 解：从几何体的上面看所得到的图形是，
故选：C．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 先统计出奇数点的个数，再根据概率公式解答．
解答： 解：正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，奇数为1，3，5，
故点数为奇数的概率为=．
故选C．
点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．（3分）（2005•东营）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，则y1﹣y2的值为（ ）
A． 正数 B． 负数 C． 非正数 D． 非负数
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 先根据k＜0、x1＞x2＞0判断出反比例函数所在的象限，再根据反比例函数的性质判断出y1、y2的大小．
解答： 解：因为k＜0．
所以图象分别位于第二、四象限，
又因为在每个象限内y随x的增大而增大，x1＞x2＞0，
故y1＞y2，
所以y1﹣y2的值为正数．
故选A．
点评： 本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
5．如图，已知AD是△ABC的高，把三角形纸片ABC折叠，使A点落在D处，折痕为EF，则下列结论中错误的是（ ）
A． EF⊥AD B． EF=BC C． DF=AC D． DF=AB
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 如图，证明EF⊥AD，且平分AD；证明EF∥BC，得到AF=FC，AE=BE，进而得到EF=BC；证明DF=AC，即可解决问题．
解答： 解：如图，由题意得：EF⊥AD，且平分AD，
∵BC⊥AD，
∴EF∥BC，AF=FC，AE=BE，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=BC；而点F为AC的中点，
∴DF=AC，
综上所述，选项A、B、C均正确．
故选D．
点评： 该题主要考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握三角形中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． a＞0
B． 当x＜1时，y随x的增大而减小
C． a+b+c=0
D． 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 数形结合．
分析： 根据抛物线开口方向对A进行判断；根据二次函数的性质对B进行判断；根据x=1时函数值为正数可对C进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对D进行判断．
解答： 解：A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x=1，则当x＜1时，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，所以C选项错误；
D、抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），所以x=3时，ax2+bx+c=0，所以D选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．请写出一个三视图都相同的几何体： 球（或正方体） ．
考点： 简单几何体的三视图．
专题： 开放型．
分析： 三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到从3个方向得到的图形全等的几何体即可．
解答： 解：球的三视图是3个全等的圆；正方体的三视图是3个全等的正方形，
故答案为：球（或正方体）．
点评： 考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球或正方体．
8．若x1，x2是方程x2﹣90x+2015=0的两个根，则x1•x2= 2015 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 由根与系数的关系可知：两根之积为，由此求得答案即可．
解答： 解：∵x1，x2是方程x2﹣90x+2015=0的两个根，
∴x1•x2=2015．
故答案为：2015．
点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．已知反比例函数图象上有一点P（m，n），且m+n=5，试写出一个满足条件的反比例函数的解析式 y=（答案不唯一） ．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式．
专题： 开放型．
分析： 因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可用m，n表示出k的值，再根据m+n=5，可设m出m，n的值，从而求出k的值，求出函数解析式．
解答： 解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），
∵函数经过点P（m，n），
∴n=，
得k=mn，
∵m+n=5，
∴可设m=1，
则n=4，k=1×4=4．
故函数的解析式可为y=（答案不唯一）．
点评： 本题属开放性题目，答案不唯一，只要符合条件即可，锻炼了学生从多个角度思考问题的能力．
10．已知线段AB=20，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= 10﹣10 ．
考点： 黄金分割．
分析： 根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．
解答： 解：∵C为线段AB=20的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=20×=10﹣10．
故答案为10﹣10．
点评： 本题黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金比的值是解题的关键．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
考点： 菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理．
分析： 因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
解答： 解：∵AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，
∴AB=5．
AO•BO=AB•OH，
OH=．
故答案为：．
点评： 本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．
12．已知抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于A（2，0），则抛物线的表达式是 y=x2﹣2x ．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 把（0，0）代入可得出c的值，再把A（2，0）代入y=x2+bx得b的值，即可得出抛物线的表达式．
解答： 解：∵抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，
∴c=0，
把A（2，0）代入y=x2+bx得b=﹣2．
∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x．
故答案为：y=x2﹣2x．
点评： 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是确定经过原点的解析式为y=x2+bx．
13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是 ．
考点： 正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： 连接CH，可知△CFH≌△CDH（HL），故可求∠DCH的度数；根据三角函数定义求解．
解答： 解：连接CH．
∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，
∴∠F=∠D=90°，
∴△CFH与△CDH都是直角三角形，
在Rt△CFH与Rt△CDH中，
∵，
∴△CFH≌△CDH（HL）．
∴∠DCH=∠DCF=（90°﹣30°）=30°．
在Rt△CDH中，CD=3，
∴DH=tan∠DCH×CD=．
故答案为：．
点评： 此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键．
14．某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，
点C在BD上，有四位技术人员分别测量处以下四组数据：
①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③DE，DC，BC；④EF、DE、BD．根据所测数据，能求出A、B间的距离的有 ①②④ （填上所有能求出A、B间距离的序号）
考点： 相似三角形的应用．
分析： ①②根据解直角三角形的应用解答；③仅仅知道直角三角形一条边长无法求出另一边；④利用相似三角形的性质解答．
解答： 解：①∵已知BC，∠ACB，
∴AB=BC•tan∠ACB，故本选项正确；
②∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴CB=，DB=，
∴DB﹣CB=CD，
即﹣=CD，
解出AB即可，故本选项正确．
③仅知道DE，DC，BC无法求出AB；
④由于已知EF、DE、BD，
根据△FED∽△ABD即可求出AB的长，故本选项正确．
故答案为①②④．
点评： 本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，熟悉相似三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本题共4小题，共24分）
15．解方程：x2+2x﹣3=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 观察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．
解答： 解：x2+2x﹣3=0
∴（x+3）（x﹣1）=0
∴x1=1，x2=﹣3．
点评： 解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．
16．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2cos45°．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=6×（）2﹣×﹣2×
=6×﹣﹣
=2﹣﹣
=﹣．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
17．如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上．
（1）请按要求画图：以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E都在单位正方形的顶点上．
（2）在（1）中△ABC与△EBD的面积比是 1：4 （直接写出答案）
考点： 作图-位似变换．
分析： （1）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用相似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案．
解答： 解：（1）如图所示：△EBD即为所求；
（2）在（1）中△ABC与△EBD的面积比是：1：4．
故答案为：1：4．
点评： 此题主要考查了位似变换以及相似图形的性质，得出对应点位置是解题关键．
18．为响应吉安市中心城区创建全国文明城市的号召．某校从甲、乙、丙3名同学中随机抽取文明行为劝导志愿者，求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
考点： 列表法与树状图法．
分析： （1）由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，
∴抽取1名，恰好是甲的概率为：；
（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，
∴抽取2名，甲在其中的概率为：．
点评： 本题考查的是列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
四、（共3小题，每题8分，共24分）
19．如图，A、B是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
考点： 反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： （1）把点A（1，4）代入y=，即可求出k的值；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，由A的坐标是（1，4），得到AD=4，OD=1，根据B为AC的中点，求出B点坐标为（2，2），则DE=CE=2﹣1=1，即OC=3，然后根据三角形面积公式即可求解．
解答： 解：（1）∵A是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），
∴把x=1，y=4代入y=，得k=1×4=4；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，4），
∴AD=4，OD=1．
又∵B为AC的中点，
∴BE=AD=2，且CE=DE，
∴B点的纵坐标为2，则有B点坐标为（2，2）．
∴DE=CE=2﹣1=1，即OC=3，
∴S△OAC=•AD•OC=×4×3=6．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
20．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题；压轴题．
分析： （1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；
（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．
解答： 解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，
7000（1﹣x）2=5670，
解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）
=95%×85%
=80.75%，
（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
点评： 此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格．
21．如图1是一张折叠椅子，图2是其侧面示意图，已知椅子折叠时长1.2米．椅子展开后最大张角∠CBD=37°，且BD=BC，AB：BG：GC=1：2：3，座面EF与地面平行，当展开角最大时，请解答下列问题：
（1）求∠CGF的度数；
（2）求座面EF与地面之间的距离．（可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据：sin71.5°≈0.948，cos71.5°≈0.317，tan71.5°≈2.989）
考点： 解直角三角形的应用．
分析： （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BCD的度数，再根据平行线的性质可得∠CGF的度数；
（2）根据比的意义可得GC=1.2×=0.6m，过点G作GK⊥DC于点K，在Rt△KCG中，根据三角函数可得座面EF与地面之间的距离．
解答： 解：（1）∵BD=BC，∠CBD=37°，
∴∠BDC=∠BCD==71.5°，
∵EF∥DC，
∴∠CGF=∠BCD=71.5°；
（2）由题意知，AC=1.2m，
∵AB：BG：GC=1：2：3，
GC=1.2×=0.6m，
过点G作GK⊥DC于点K，
在Rt△KCG中，sin∠BCD=，即sin75°=，
∴GK=0.6sin71.5°≈0.57m．
答：座面EF与地面之间的距离约是0.57m．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质和三角函数的基本概念，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为，求AC的长．
考点： 矩形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形．
分析： （1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解．
解答： （1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°﹣30°=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形．
过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．
在Rt△DFC中，tan60°=，
∴DF=x．
∴OC•DF=8．
∴x=2．
∴AC=4×2=8．
点评：本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，菱形的判定和性质，以及解直角三角形等知识点．
23．已知抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上，且位于y轴左侧，现将该抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
（1）试求该抛物线的对称轴；
（2）在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位？
（3）在最初的状态下，若向下平移m2（m＞0）个单位时，对应线段AB长为n，若w=m2﹣n，问m为何值时，w最小，最小值是多少．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： （1）根据抛物线与x轴的交点问题得到△=b2﹣4b=0，解得b=±2，由于对称轴x=﹣位于y轴左侧，则b=﹣2，于是得到该抛物线的对称轴为直线x=﹣1；
（2）设在最初的状态下，至少向下平移t个单位（t＞0），点A，B之间的距离不小于6个单位，根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣t，再根据抛物线与x轴的交点问题可得到点A和B的坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0），则AB=2，根据题意得2≥6，解得t≥9，所以抛物线至少向下平移9个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位；
（3）根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣m2，与（2）一样可得点A和B的坐标为（﹣1﹣m，0），（﹣1+m，0），于是可得n=2m，则w=m2﹣2m=（m﹣1）2﹣1，然后根据二次函数的性质求解．
解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上，
∴△=b2﹣4b=0，解得b=±2，
∵对称轴x=﹣位于y轴左侧，
∴b=﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x=﹣1；
（2）设在最初的状态下，至少向下平移t个单位（t＞0），点A，B之间的距离不小于6个单位，
则平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣t，
∵当y=0时，（x+1）2﹣t=0，解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
∴点A和B的坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0），
∴AB=﹣1+﹣（﹣1﹣）=2，
∵2≥6，
∴t≥9，
∴至少向下平移9个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位；
（3）平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣m2，
∵当y=0时，（x+1）2﹣m2=0，解得x1=﹣1+m，x2=﹣1﹣m，
∴点A和B的坐标为（﹣1﹣m，0），（﹣1+m，0），
∴AB=﹣1+m﹣（﹣1﹣m）=2m，即n=2m，
∴w=m2﹣2m=（m﹣1）2﹣1，
∴当m=1时，w最小，最小值为﹣1．
点评： 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
六、（共1题，12分）
24．【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
【问题探究】
（1）在旋转过程中，
①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ的数量关系是（ ）
A、DP＜DQ B、DP=DQ C、DP＞DQ D、无法确定
②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为 DP=nDQ （直接写出结论，不必证明）
（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）①首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；
②首先得出△DPM∽△DQN，则=，求出△AMD∽△BND，进而得出答案；
③根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，则==，则AD=nBD，求出即可；
（2）当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值；当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，S有最大值分别求出即可．
解答： 解：（1）①DP=DQ，
理由：如图2，连接CD，
∵AC=BC，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠A=∠DCQ，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ；
②DP=2DQ，
理由：如图3，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为：M，N，
则∠DMP=∠DNQ=90°，
∴∠MDP=∠NDQ，
∴△DPM∽△DQN，
∴=，
∵∠AMD=∠DNB=90°，∠A=∠B，
∴△AMD∽△BND，
∴=，
∴===2，
∴DP=2DQ；
③如图1，过D点作DM⊥CB于点M，作DN⊥AC于点N，
∵∠C=∠PDQ=90°，
∴∠ADP+∠QDB=90°，
可得：∠MDN=90°，
∴∠QDM=∠NDP，
又∵∠DNP=∠DMQ，
∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，
∴=，
∵由（1）知，ADN∽△BDM，
∴==，
∵AD=nBD，
∴===n，
∴EP与EQ满足的数量关系式为：DP=nDQ；
故答案为：DP=nDQ；
（2）存在，设DQ=x，由（1）①知，DP=x，
∴S=x•x=x2，
∵AB=20，
∴AC=BC=10，AD=BD=10，
当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值，
S最小=×（5）2=25，
当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，
此时，S有最大值，S最大=×102=50．
点评： 此题主要考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质以及二次函数最值求出等知识，熟练利用相似三角形的性质得出对应边关系是解题关键．
2022学年江西省吉安市吉州区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． x（x﹣1）=x2 B． x2x=1 C． x2+x=1 D． （x2﹣1）2=1
2．如图是一中国象棋棋盘，右侧是一颗反面朝上的棋子，这个棋子的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2005•东营）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，则y1﹣y2的值为（ ）
A． 正数 B． 负数 C． 非正数 D． 非负数
5．如图，已知AD是△ABC的高，把三角形纸片ABC折叠，使A点落在D处，折痕为EF，则下列结论中错误的是（ ）
A． EF⊥AD B． EF=BC C． DF=AC D． DF=AB
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． a＞0
B． 当x＜1时，y随x的增大而减小
C． a+b+c=0
D． 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．请写出一个三视图都相同的几何体： ．
8．若x1，x2是方程x2﹣90x+2015=0的两个根，则x1•x2= ．
9．已知反比例函数图象上有一点P（m，n），且m+n=5，试写出一个满足条件的反比例函数的解析式 ．
10．已知线段AB=20，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= ．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
12．已知抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于A（2，0），则抛物线的表达式是 ．
13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是 ．
14．某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，
点C在BD上，有四位技术人员分别测量处以下四组数据：
①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③DE，DC，BC；④EF、DE、BD．根据所测数据，能求出A、B间的距离的有 （填上所有能求出A、B间距离的序号）
三、解答题（本题共4小题，共24分）
15．解方程：x2+2x﹣3=0．
16．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2cos45°．
17．如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上．
（1）请按要求画图：以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E都在单位正方形的顶点上．
（2）在（1）中△ABC与△EBD的面积比是 （直接写出答案）
18．为响应吉安市中心城区创建全国文明城市的号召．某校从甲、乙、丙3名同学中随机抽取文明行为劝导志愿者，求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
四、（共3小题，每题8分，共24分）
19．如图，A、B是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
20．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
21．如图1是一张折叠椅子，图2是其侧面示意图，已知椅子折叠时长1.2米．椅子展开后最大张角∠CBD=37°，且BD=BC，AB：BG：GC=1：2：3，座面EF与地面平行，当展开角最大时，请解答下列问题：
（1）求∠CGF的度数；
（2）求座面EF与地面之间的距离．（可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据：sin71.5°≈0.948，cos71.5°≈0.317，tan71.5°≈2.989）
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为，求AC的长．
23．已知抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上，且位于y轴左侧，现将该抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
（1）试求该抛物线的对称轴；
（2）在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位？
（3）在最初的状态下，若向下平移m2（m＞0）个单位时，对应线段AB长为n，若w=m2﹣n，问m为何值时，w最小，最小值是多少．
六、（共1题，12分）
24．【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
【问题探究】
（1）在旋转过程中，
①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ的数量关系是（ ）
A、DP＜DQ B、DP=DQ C、DP＞DQ D、无法确定
②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为 （直接写出结论，不必证明）
（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
2022学年江西省吉安市吉州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． x（x﹣1）=x2 B． x2x=1 C． x2+x=1 D． （x2﹣1）2=1
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答：解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是一元三次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是一元四次方程，故D错误；
故选：C．
点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．如图是一中国象棋棋盘，右侧是一颗反面朝上的棋子，这个棋子的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 找出从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答： 解：从几何体的上面看所得到的图形是，
故选：C．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 先统计出奇数点的个数，再根据概率公式解答．
解答： 解：正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，奇数为1，3，5，
故点数为奇数的概率为=．
故选C．
点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．（3分）（2005•东营）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，则y1﹣y2的值为（ ）
A． 正数 B． 负数 C． 非正数 D． 非负数
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 先根据k＜0、x1＞x2＞0判断出反比例函数所在的象限，再根据反比例函数的性质判断出y1、y2的大小．
解答： 解：因为k＜0．
所以图象分别位于第二、四象限，
又因为在每个象限内y随x的增大而增大，x1＞x2＞0，
故y1＞y2，
所以y1﹣y2的值为正数．
故选A．
点评： 本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
5．如图，已知AD是△ABC的高，把三角形纸片ABC折叠，使A点落在D处，折痕为EF，则下列结论中错误的是（ ）
A． EF⊥AD B． EF=BC C． DF=AC D． DF=AB
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 如图，证明EF⊥AD，且平分AD；证明EF∥BC，得到AF=FC，AE=BE，进而得到EF=BC；证明DF=AC，即可解决问题．
解答： 解：如图，由题意得：EF⊥AD，且平分AD，
∵BC⊥AD，
∴EF∥BC，AF=FC，AE=BE，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=BC；而点F为AC的中点，
∴DF=AC，
综上所述，选项A、B、C均正确．
故选D．
点评： 该题主要考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握三角形中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． a＞0
B． 当x＜1时，y随x的增大而减小
C． a+b+c=0
D． 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 数形结合．
分析： 根据抛物线开口方向对A进行判断；根据二次函数的性质对B进行判断；根据x=1时函数值为正数可对C进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对D进行判断．
解答： 解：A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x=1，则当x＜1时，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，所以C选项错误；
D、抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），所以x=3时，ax2+bx+c=0，所以D选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．请写出一个三视图都相同的几何体： 球（或正方体） ．
考点： 简单几何体的三视图．
专题： 开放型．
分析： 三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到从3个方向得到的图形全等的几何体即可．
解答： 解：球的三视图是3个全等的圆；正方体的三视图是3个全等的正方形，
故答案为：球（或正方体）．
点评： 考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球或正方体．
8．若x1，x2是方程x2﹣90x+2015=0的两个根，则x1•x2= 2015 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 由根与系数的关系可知：两根之积为，由此求得答案即可．
解答： 解：∵x1，x2是方程x2﹣90x+2015=0的两个根，
∴x1•x2=2015．
故答案为：2015．
点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．已知反比例函数图象上有一点P（m，n），且m+n=5，试写出一个满足条件的反比例函数的解析式 y=（答案不唯一） ．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式．
专题： 开放型．
分析： 因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可用m，n表示出k的值，再根据m+n=5，可设m出m，n的值，从而求出k的值，求出函数解析式．
解答： 解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），
∵函数经过点P（m，n），
∴n=，
得k=mn，
∵m+n=5，
∴可设m=1，
则n=4，k=1×4=4．
故函数的解析式可为y=（答案不唯一）．
点评： 本题属开放性题目，答案不唯一，只要符合条件即可，锻炼了学生从多个角度思考问题的能力．
10．已知线段AB=20，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= 10﹣10 ．
考点： 黄金分割．
分析： 根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．
解答： 解：∵C为线段AB=20的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=20×=10﹣10．
故答案为10﹣10．
点评： 本题黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金比的值是解题的关键．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
考点： 菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理．
分析： 因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
解答： 解：∵AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，
∴AB=5．
AO•BO=AB•OH，
OH=．
故答案为：．
点评： 本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．
12．已知抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于A（2，0），则抛物线的表达式是 y=x2﹣2x ．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 把（0，0）代入可得出c的值，再把A（2，0）代入y=x2+bx得b的值，即可得出抛物线的表达式．
解答： 解：∵抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，
∴c=0，
把A（2，0）代入y=x2+bx得b=﹣2．
∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x．
故答案为：y=x2﹣2x．
点评： 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是确定经过原点的解析式为y=x2+bx．
13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是 ．
考点： 正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： 连接CH，可知△CFH≌△CDH（HL），故可求∠DCH的度数；根据三角函数定义求解．
解答： 解：连接CH．
∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，
∴∠F=∠D=90°，
∴△CFH与△CDH都是直角三角形，
在Rt△CFH与Rt△CDH中，
∵，
∴△CFH≌△CDH（HL）．
∴∠DCH=∠DCF=（90°﹣30°）=30°．
在Rt△CDH中，CD=3，
∴DH=tan∠DCH×CD=．
故答案为：．
点评： 此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键．
14．某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，
点C在BD上，有四位技术人员分别测量处以下四组数据：
①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③DE，DC，BC；④EF、DE、BD．根据所测数据，能求出A、B间的距离的有 ①②④ （填上所有能求出A、B间距离的序号）
考点： 相似三角形的应用．
分析： ①②根据解直角三角形的应用解答；③仅仅知道直角三角形一条边长无法求出另一边；④利用相似三角形的性质解答．
解答： 解：①∵已知BC，∠ACB，
∴AB=BC•tan∠ACB，故本选项正确；
②∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴CB=，DB=，
∴DB﹣CB=CD，
即﹣=CD，
解出AB即可，故本选项正确．
③仅知道DE，DC，BC无法求出AB；
④由于已知EF、DE、BD，
根据△FED∽△ABD即可求出AB的长，故本选项正确．
故答案为①②④．
点评： 本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，熟悉相似三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本题共4小题，共24分）
15．解方程：x2+2x﹣3=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 观察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．
解答： 解：x2+2x﹣3=0
∴（x+3）（x﹣1）=0
∴x1=1，x2=﹣3．
点评： 解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．
16．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2cos45°．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=6×（）2﹣×﹣2×
=6×﹣﹣
=2﹣﹣
=﹣．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
17．如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上．
（1）请按要求画图：以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E都在单位正方形的顶点上．
（2）在（1）中△ABC与△EBD的面积比是 1：4 （直接写出答案）
考点： 作图-位似变换．
分析： （1）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用相似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案．
解答： 解：（1）如图所示：△EBD即为所求；
（2）在（1）中△ABC与△EBD的面积比是：1：4．
故答案为：1：4．
点评： 此题主要考查了位似变换以及相似图形的性质，得出对应点位置是解题关键．
18．为响应吉安市中心城区创建全国文明城市的号召．某校从甲、乙、丙3名同学中随机抽取文明行为劝导志愿者，求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
考点： 列表法与树状图法．
分析： （1）由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，
∴抽取1名，恰好是甲的概率为：；
（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，
∴抽取2名，甲在其中的概率为：．
点评： 本题考查的是列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
四、（共3小题，每题8分，共24分）
19．如图，A、B是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
考点： 反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： （1）把点A（1，4）代入y=，即可求出k的值；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，由A的坐标是（1，4），得到AD=4，OD=1，根据B为AC的中点，求出B点坐标为（2，2），则DE=CE=2﹣1=1，即OC=3，然后根据三角形面积公式即可求解．
解答： 解：（1）∵A是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），
∴把x=1，y=4代入y=，得k=1×4=4；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，4），
∴AD=4，OD=1．
又∵B为AC的中点，
∴BE=AD=2，且CE=DE，
∴B点的纵坐标为2，则有B点坐标为（2，2）．
∴DE=CE=2﹣1=1，即OC=3，
∴S△OAC=•AD•OC=×4×3=6．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
20．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题；压轴题．
分析： （1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；
（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．
解答： 解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，
7000（1﹣x）2=5670，
解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）
=95%×85%
=80.75%，
（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
点评： 此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格．
21．如图1是一张折叠椅子，图2是其侧面示意图，已知椅子折叠时长1.2米．椅子展开后最大张角∠CBD=37°，且BD=BC，AB：BG：GC=1：2：3，座面EF与地面平行，当展开角最大时，请解答下列问题：
（1）求∠CGF的度数；
（2）求座面EF与地面之间的距离．（可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据：sin71.5°≈0.948，cos71.5°≈0.317，tan71.5°≈2.989）
考点： 解直角三角形的应用．
分析： （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BCD的度数，再根据平行线的性质可得∠CGF的度数；
（2）根据比的意义可得GC=1.2×=0.6m，过点G作GK⊥DC于点K，在Rt△KCG中，根据三角函数可得座面EF与地面之间的距离．
解答： 解：（1）∵BD=BC，∠CBD=37°，
∴∠BDC=∠BCD==71.5°，
∵EF∥DC，
∴∠CGF=∠BCD=71.5°；
（2）由题意知，AC=1.2m，
∵AB：BG：GC=1：2：3，
GC=1.2×=0.6m，
过点G作GK⊥DC于点K，
在Rt△KCG中，sin∠BCD=，即sin75°=，
∴GK=0.6sin71.5°≈0.57m．
答：座面EF与地面之间的距离约是0.57m．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质和三角函数的基本概念，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为，求AC的长．
考点： 矩形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形．
分析： （1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解．
解答： （1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°﹣30°=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形．
过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．
在Rt△DFC中，tan60°=，
∴DF=x．
∴OC•DF=8．
∴x=2．
∴AC=4×2=8．
点评：本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，菱形的判定和性质，以及解直角三角形等知识点．
23．已知抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上，且位于y轴左侧，现将该抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
（1）试求该抛物线的对称轴；
（2）在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位？
（3）在最初的状态下，若向下平移m2（m＞0）个单位时，对应线段AB长为n，若w=m2﹣n，问m为何值时，w最小，最小值是多少．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： （1）根据抛物线与x轴的交点问题得到△=b2﹣4b=0，解得b=±2，由于对称轴x=﹣位于y轴左侧，则b=﹣2，于是得到该抛物线的对称轴为直线x=﹣1；
（2）设在最初的状态下，至少向下平移t个单位（t＞0），点A，B之间的距离不小于6个单位，根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣t，再根据抛物线与x轴的交点问题可得到点A和B的坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0），则AB=2，根据题意得2≥6，解得t≥9，所以抛物线至少向下平移9个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位；
（3）根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣m2，与（2）一样可得点A和B的坐标为（﹣1﹣m，0），（﹣1+m，0），于是可得n=2m，则w=m2﹣2m=（m﹣1）2﹣1，然后根据二次函数的性质求解．
解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上，
∴△=b2﹣4b=0，解得b=±2，
∵对称轴x=﹣位于y轴左侧，
∴b=﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x=﹣1；
（2）设在最初的状态下，至少向下平移t个单位（t＞0），点A，B之间的距离不小于6个单位，
则平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣t，
∵当y=0时，（x+1）2﹣t=0，解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
∴点A和B的坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0），
∴AB=﹣1+﹣（﹣1﹣）=2，
∵2≥6，
∴t≥9，
∴至少向下平移9个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位；
（3）平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣m2，
∵当y=0时，（x+1）2﹣m2=0，解得x1=﹣1+m，x2=﹣1﹣m，
∴点A和B的坐标为（﹣1﹣m，0），（﹣1+m，0），
∴AB=﹣1+m﹣（﹣1﹣m）=2m，即n=2m，
∴w=m2﹣2m=（m﹣1）2﹣1，
∴当m=1时，w最小，最小值为﹣1．
点评： 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
六、（共1题，12分）
24．【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
【问题探究】
（1）在旋转过程中，
①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ的数量关系是（ ）
A、DP＜DQ B、DP=DQ C、DP＞DQ D、无法确定
②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为 DP=nDQ （直接写出结论，不必证明）
（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）①首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；
②首先得出△DPM∽△DQN，则=，求出△AMD∽△BND，进而得出答案；
③根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，则==，则AD=nBD，求出即可；
（2）当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值；当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，S有最大值分别求出即可．
解答： 解：（1）①DP=DQ，
理由：如图2，连接CD，
∵AC=BC，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠A=∠DCQ，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ；
②DP=2DQ，
理由：如图3，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为：M，N，
则∠DMP=∠DNQ=90°，
∴∠MDP=∠NDQ，
∴△DPM∽△DQN，
∴=，
∵∠AMD=∠DNB=90°，∠A=∠B，
∴△AMD∽△BND，
∴=，
∴===2，
∴DP=2DQ；
③如图1，过D点作DM⊥CB于点M，作DN⊥AC于点N，
∵∠C=∠PDQ=90°，
∴∠ADP+∠QDB=90°，
可得：∠MDN=90°，
∴∠QDM=∠NDP，
又∵∠DNP=∠DMQ，
∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，
∴=，
∵由（1）知，ADN∽△BDM，
∴==，
∵AD=nBD，
∴===n，
∴EP与EQ满足的数量关系式为：DP=nDQ；
故答案为：DP=nDQ；
（2）存在，设DQ=x，由（1）①知，DP=x，
∴S=x•x=x2，
∵AB=20，
∴AC=BC=10，AD=BD=10，
当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值，
S最小=×（5）2=25，
当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，
此时，S有最大值，S最大=×102=50．
点评： 此题主要考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质以及二次函数最值求出等知识，熟练利用相似三角形的性质得出对应边关系是解题关键．
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