【解析版】2022年莱城区腰关中学九年级上期中数学试卷

这是一份【解析版】2022年莱城区腰关中学九年级上期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022学年山东省莱芜市莱城区腰关中学九年级（上）期中数学试卷　一、选择题（每小题3分，共36分）1．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（　　）　 A． 2 B． C． D． 　2．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）　 A． B． C． D． 　3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（　　）　 A． B． C． D． 　4．把锐角△ABC的各边都扩大2倍得△A′B′C′，那么∠A、∠A′的余弦值关系是（　　）　 A． cosA=cosA′ B． cosA=2cosA′ C． 2cosA=cosA′ D． 不确定的　5．将y=（2x﹣1）•（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（　　）　 A． B． 　 C． D． 　6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（　　）　 A． B． C． D． 　7．计算2sin30°﹣sin245°+tan30°的结果是（　　）　 A． +3 B． + C． + D． 1﹣+　8．已知函数y1=x2与函数y2=的图象大致如图．若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（　　）　 A． ＜x＜2 B． x＞2或x＜ C． ﹣2＜x＜ D． x＜﹣2或x＞　9．设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（　　）　 A． 6或﹣1 B． ﹣6或1 C． 6 D． ﹣1　10．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（　　）　 A． y=x2﹣2x+3 B． y=﹣x2﹣2x+3 C． y=﹣x2+2x+3 D． y=﹣x2+2x﹣3　11．由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示，这个几何体的左视图是（　　）　 A． B． C． D． 　12．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）　 A． B． C． D． 　　二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD=　　　　　　米（结果可保留根号）　14．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是　　　　　　．　15．由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是　　　　　　．　16．已知关于x的函数y=（m+2）x2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则m等于　　　　　　．　17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为　　　　　　．　18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为　　　　　　．　　三、解答题（共60分）19．如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）　20．（10分）（2010•双鸭山）已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．　21．（10分）（2014•抚顺）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？　22．随着农业科技的不断发展，农田灌溉也开始采用喷灌的形式（如图甲）．在田间安装一个离开地面一定高度且垂直于地面的喷头，喷头可旋转360，喷出的水流呈抛物线形状．如图乙，用OA表示垂直于地面MN的喷头，OA=1米，水流在与OA的距离10米时达到最高点，这时最高点离地面5米．如果不计其它因素，当喷头环绕一周后，能喷灌的最大直径是多少米（结果精确到0.1，参考数据）？　23．（12分）（2014•路北区二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．　24．（12分）（2004•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．　　 2022学年山东省莱芜市莱城区腰关中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（每小题3分，共36分）1．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（　　）　 A． 2 B． C． D．  考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．  分析： 根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：邻边列式求解即可．解答： 解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC===2，∴tan∠CAD===2．故选A．点评： 本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：邻边是解题的关键．　2．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）　 A． B． C． D．  考点： 二次函数图象与几何变换．  分析： 确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可．解答： 解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），∴得到的抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3．故选B．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．　3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（　　）　 A． B． C． D．  考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．  专题： 压轴题．分析： 本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b2﹣4ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．解答： 解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x=＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选：D．点评： 本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答．　4．把锐角△ABC的各边都扩大2倍得△A′B′C′，那么∠A、∠A′的余弦值关系是（　　）　 A． cosA=cosA′ B． cosA=2cosA′ C． 2cosA=cosA′ D． 不确定的 考点： 锐角三角函数的定义．  分析： 锐角三角函数即为直角三角形中有关边的比值．余弦就是邻边：斜边．解答： 解：根据锐角三角函数的概念知：把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍，那么它们的余弦值不变．故选A．点评： 本题考查三角函数的定义与性质：三角函数的大小只与角的大小有关；与角的两边长度无关．　5．将y=（2x﹣1）•（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（　　）　 A． B． 　 C． D．  考点： 二次函数的三种形式．  分析： 化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．解答： 解：y=（2x﹣1）（x+2）+1=2x2+3x﹣1=2（x2+x+）﹣﹣1=2（x+）2﹣．故选C．点评： 考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．　6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（　　）　 A． B． C． D．  考点： 锐角三角函数的定义；线段垂直平分线的性质；勾股定理．  专题： 计算题；压轴题．分析： 设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；解答： 解：设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，（x﹣3）2+=x2，解得，x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD==；故选A．点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用，求一个角的正弦值，可将其转化到直角三角形中解答．　7．计算2sin30°﹣sin245°+tan30°的结果是（　　）　 A． +3 B． + C． + D． 1﹣+ 考点： 特殊角的三角函数值．  分析： 直接把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．解答： 解：原式=2×﹣（）2+=1﹣+=+．故选B．点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键　8．已知函数y1=x2与函数y2=的图象大致如图．若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（　　）　 A． ＜x＜2 B． x＞2或x＜ C． ﹣2＜x＜ D． x＜﹣2或x＞ 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．  分析： 首先求出两个函数图象交点的横坐标，再观察图象得出结果．解答： 解：由y1=y2，即x2=，解得：x1=﹣2，x2=．由图象可知，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是﹣2＜x＜．故选：C．点评： 此题重点考查数形结合思想，由图象得到一元二次方程再回到图象，问题才得以解答．　9．设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（　　）　 A． 6或﹣1 B． ﹣6或1 C． 6 D． ﹣1 考点： 二次函数的图象．  专题： 压轴题．分析： 由b＞0，排除前两个图象，第三个图象a＞0，﹣＞0，推出b＜0，与已知矛盾排除，从而抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6的图象是第四个图，再求a的值．解答： 解：∵图1和图2表示y=0时，有1和﹣1两个根，代入方程能得出b=﹣b，即b=0，不合题意，∴排除前两个图象；∵第三个图象a＞0，又﹣＞0，∴b＜0，与已知矛盾排除，∴抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6的图象是第四个图，由图象可知，抛物线经过原点（0，0），∴a2﹣5a﹣6=0，解得a=﹣1或6，∵a＜0，∴a=﹣1．故选D．点评： 主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口方向，经过原点，利用这两个条件即可求出a的值．　10．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（　　）　 A． y=x2﹣2x+3 B． y=﹣x2﹣2x+3 C． y=﹣x2+2x+3 D． y=﹣x2+2x﹣3 考点： 二次函数的图象．  专题： 压轴题．分析： 抛物线开口向下，a＜0，与y轴的正半轴相交c＞0，对称轴在原点的右侧a、b异号，则b＞0，再选答案．解答： 解：由图象得：a＜0，b＞0，c＞0．故选C．点评： 此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．　11．由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示，这个几何体的左视图是（　　）　 A． B． C． D．  考点： 简单组合体的三视图．  专题： 压轴题．分析： 找到从左面看所得到的图形即可．解答： 解：从左面可看到一个长方形和上面的中间有一个小长方形．故选D．点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．　12．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）　 A． B． C． D．  考点： 动点问题的函数图象；二次函数的图象．  专题： 压轴题；动点型．分析： 利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案．解答： 解：根据已知可得：点E在未到达C之前，y=x（5﹣x）=5x﹣x2；且x≤3，当x从0变化到2.5时，y逐渐变大，当x=2.5时，y有最大值，当x从2.5变化到3时，y逐渐变小，到达C之后，y=3（5﹣x）=15﹣3x，x＞3，根据二次函数和一次函数的性质．故选：A．点评： 利用一次函数和二次函数的性质，结合实际问题于图象解决问题．　二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD=　21+7　米（结果可保留根号） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．  分析： 作AE⊥CD于点E，则△AED和△ABD都是等腰直角三角形，即可求得DE的长，然后在直角三角形中利用三角函数求得CE的长，进而求得CD的长．解答： 解：作AE⊥CD于点E．在直角△ABD中，∠ADB=45°，∴DE=AE=BD=AB=21（米），在直角△AEC中，CE=AE•tan∠CAE=21×=7（米）．则CD=（21+7）米．故答案是：21+7．点评： 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．　14．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是　2　． 考点： 菱形的性质；解直角三角形．  分析： 求出AD=AB，设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，求出x，得出AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE=8，在Rt△BDE中得出tan∠DBE=，代入求出即可，解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，∴设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，x=2，即AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE==8，在Rt△BDE中，tan∠DBE===2，故答案为：2．点评： 本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出DE的长．　15．由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是　5　． 考点： 由三视图判断几何体．  分析： 易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．解答： 解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．所以图中的小正方体最多5块．故答案为：5．点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．　16．已知关于x的函数y=（m+2）x2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则m等于　﹣2或﹣3　． 考点： 抛物线与x轴的交点．  分析： 若m+2=0，一次函数与x轴只有一个交点，满足题意；若m+2≠0，根据抛物线图象与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m的值．解答： 解：若m+2=0，一次函数y=﹣2x+1与x轴只有一个交点，满足题意，此时m=﹣2；若m+2≠0，由二次函数y=（m+2）x2+2x﹣1图象与x轴只有一个交点，得到△=4+4m+8=0，解得：m=﹣3，则m=﹣2或﹣3．故答案为：﹣2或﹣3．点评： 此题考查了抛物线与x轴的交点，注意考虑两种情况进行分类讨论是正确解答的关键．　17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为　　． 考点： 相似三角形的判定与性质．  分析： 根据三角函数求得AD=2，AC=AD+DC=4，由∠A=∠A，∠DEA=∠C=90°，得到△ABC∽△ADE，于是得到=代入数据即可求得结果．解答： 解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°∴∠A=30°∵CD=2，DE=1，∴AD=2，AC=AD+DC=4，由∠A=∠A，∠DEA=∠C=90°，得△ABC∽△ADE，∴=∴=∴BC=．故答案为：．点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．　18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为　0　． 考点： 二次函数图象与系数的关系．  分析： 根据抛物线的对称性可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），所以易求a﹣b+c的值．解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），∴当x=﹣1时，a﹣b+c=0．故答案是：0．点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．解题时，利用了抛物线关于对称轴对称的性质．　三、解答题（共60分）19．如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73） 考点： 解直角三角形的应用．  专题： 几何图形问题；数形结合．分析： 如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、BE的长度，然后根据图示知：AB=AE﹣BE=100，把相关线段的长度代入列出关于ED的方程﹣=100．通过解该方程求得ED的长度．解答： 解：如图，过点D作DE⊥AC于点E．∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°，∴tan60°=，∴AE=同理，在Rt△EBD中，得到EB=．又∵AB=100米，∴AE﹣EB=100米，即﹣=100．则ED=≈≈323（米）．答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．点评： 本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．　20．（10分）（2010•双鸭山）已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由． 考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．  分析： （1）已知了二次函数图象上的三点坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）将P点坐标代入二次函数的解析式中进行验证，即可得到P点是否在此函数图象上的结论；令抛物线解析式的y=0，即可求得抛物线与x轴交点A、B的坐标，也就得到了AB的长；以AB为底，P点纵坐标的绝对值为高即可求得△PAB的面积．解答： 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c；∵二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），则有：，解得；∴y=﹣x2﹣2x+3．（2）∵﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3，∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，∵﹣x2﹣2x+3=0，∴x1=﹣3，x2=1；∴与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0），∴S△PAB=×4×3=6．点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定及图形面积的求法．　21．（10分）（2014•抚顺）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 考点： 二次函数的应用．  专题： 销售问题．分析： （1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．解答： 解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）； （2）W=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x=18时，W最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元． （3）由150=﹣2x2+80x﹣600，解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．点评： 本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．　22．随着农业科技的不断发展，农田灌溉也开始采用喷灌的形式（如图甲）．在田间安装一个离开地面一定高度且垂直于地面的喷头，喷头可旋转360，喷出的水流呈抛物线形状．如图乙，用OA表示垂直于地面MN的喷头，OA=1米，水流在与OA的距离10米时达到最高点，这时最高点离地面5米．如果不计其它因素，当喷头环绕一周后，能喷灌的最大直径是多少米（结果精确到0.1，参考数据）？ 考点： 二次函数的应用．  分析： 先建立直角坐标系求出抛物线的解析式，进而求出OB的长度，便可求出喷头环绕一周后，能喷灌的最大直径．解答： 解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线与x轴正半轴交于点B．（1分）∵抛物线的顶点为（10，5），∴设抛物线表达式为y=a（x﹣10）2+5．（2分）∵抛物线经过点（0，1），∴1=a×102+5，∴．（4分）∴抛物线为．（5分）令y=0，则，解得，（8分）∵x2＜0，∴．（9分）∴喷灌的最大直径是（米）．（10分）点评： 本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．　23．（12分）（2014•路北区二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标． 考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．  专题： 压轴题．分析： （1）由于抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；（2）由于点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，把D的坐标代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用对称就可以求出关于直线BC对称的点的坐标．解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，∴，解之得：a=﹣1，b=3，∴y=﹣x2+3x+4； （2）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，∴把D的坐标代入（1）中的解析式得 m+1=﹣m2+3m+4，∴m=3或m=﹣1，∴m=3，∴D（3，4），∵y=﹣x2+3x+4=0，x=﹣1或x=4，∴B（4，0），∴OB=OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠CBA=45°设点D关于直线BC的对称点为点E∵C（0，4）∴CD∥AB，且CD=3∴∠ECB=∠DCB=45°∴E点在y轴上，且CE=CD=3∴OE=1∴E（0，1）即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；点评： 此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标　24．（12分）（2004•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似． 考点： 二次函数综合题．  专题： 综合题；压轴题．分析： （1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；（2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；（3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．解答： 解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．∴OQ=6﹣t．∴y=×OP×OQ=×t（6﹣t）=﹣t2+3t（0≤t≤6）； （2）∵y=﹣t2+3t，∴当y有最大值时，t=3∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形．∴点C的坐标为（3，3）．∵A（12，0），B（0，6），∴直线AB的解析式为y=﹣x+6当x=3时，y=≠3，∴点C不落在直线AB上；（3）①若△POQ∽△AOB时，，即，12﹣2t=t，∴t=4．②若△POQ∽△BOA时，，即，6﹣t=2t，∴t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．点评： 本题主要考查了直角三角形的性质、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识点．要注意（3）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论．