【解析版】2022年永州市蓝山一中九年级上期中数学试卷

这是一份【解析版】2022年永州市蓝山一中九年级上期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

2022学年湖南省永州市蓝山一中九年级（上）期中数学试卷
　
一、填空题：（每小题3分，共24分）
1．将方程2x2﹣5=7（x﹣1）化为一般形式为　　　　　　．
　
2．方程x（x﹣2）=x的根是　　　　　　．
　
3．若sin28°=cosα，且α是锐角，则α=　　　　　　．
　
4．若方程2x2﹣kx+6=0的一个根为1，则k=　　　　　　．
　
5．已知，且3x+4z﹣2y=40，求x+y+z=　　　　　　．
　
6．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB　　　　　　．

　
7．△ABC中，若，则△ABC是　　　　　　三角形．
　
8．在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为　　　　　　．

　
　
二、选择题：（每小题3分，共30分）
9．某市2010年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2012年平均房价达到每平方米5500元．设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
　 A． 5500（1+x）2=4000 B． 5500（1﹣x）2=4000
　 C． 4000（1﹣x）2=5500 D． 4000（1+x）2=5500
　
10．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则+的值是（　　）
　 A． ﹣2 B． 2 C． ﹣ D． 1
　
11．若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（　　）
　 A． m≤﹣1 B． m≤1 C． m≤4 D．
　
12．如图，上体育课，九年级三班的甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是（　　）

　 A． 4米 B． 5米 C． 6米 D． 7米
　
13．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　）

　 A． （）米 B． 12米 C． （）米 D． 10米
　
14．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）

　 A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． D．
　
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（　　）
　 A． 7sin35° B． C． 7cos35° D． 7tan35°
　
16．若关于x的方程x2+2ax+7a﹣10=0没有实根，那么，必有实根的方程是（　　）
　 A． x2+2ax+3a﹣2=0 B． x2+2ax+5a﹣6=0
　 C． x2+2ax+10a﹣21=0 D． x2+2ax+2a+3=0
　
　
三、解答题（8道题共52分）
17．①解方程：x2﹣2x﹣3=0
②计算：．
　
18．已知tanα=，α是锐角，求tan（9O°﹣α），sinα，cosα的值．
　
19．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．

　
20．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．

　
21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
　
22．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？

　
23．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
（1）求证：FD2=FB•FC；
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．

　
24．（10分）（2009•鸡西）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

　
　
四、附加题（每题10分）：
25．（10分）（2009•潍坊）已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．
（1）求的值；
（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．

　
26．（10分）（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥AB；
（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

　
　

2022学年湖南省永州市蓝山一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：（每小题3分，共24分）
1．将方程2x2﹣5=7（x﹣1）化为一般形式为　2x2﹣7x+2=0　．

考点： 一元二次方程的一般形式．
分析： 根据去括号，移项，合并同类项，可得答案．
解答： 解：去括号，得
2x2﹣5=7x﹣7，
移项、合并同类项，得
2x2﹣7x+2=0，
故答案为：2x2﹣7x+2=0．
点评： 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
　
2．方程x（x﹣2）=x的根是　x1=0，x2=3　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 压轴题．
分析： 观察原方程，可先移项，然后用因式分解法求解．
解答： 解：原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，
x（x﹣2﹣1）=0，
x=0或x﹣3=0，
解得：x1=0，x2=3．
点评： 只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
　
3．若sin28°=cosα，且α是锐角，则α=　62°　．

考点： 同角三角函数的关系．
分析： 利用锐角三角函数定义得出即可．
解答： 解：∵sin28°=cosα，且α是锐角，sinA=cos（90°﹣A），
∴α=90°﹣28°=62°．
故答案为：62°．
点评： 此题主要考查了锐角三角函数定义，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
　
4．若方程2x2﹣kx+6=0的一个根为1，则k=　8　．

考点： 一元二次方程的解．
分析： 把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
解答： 解：∵x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣kx+6=0的一个根，
∴2﹣k+6=0，
整理，得（a+1）（a+4）=0，
解得 k=8．
故答案是：8．
点评： 本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
　
5．已知，且3x+4z﹣2y=40，求x+y+z=　20　．

考点： 比例的性质．
分析： 根据比例性质，可得3x=2y，可得关于y的方程，根据解方程，可得y的值，再根据比的意义，可得x、z的值，根据有理数的加法，可得答案．
解答： 解：由=，得
3x=2y．
3x+4z﹣2y=40，
即4z=40，
解得z=10，
由，得
==2，
解得x=4，y=6，
x+y+z=4+6+10=20．
故答案为：20．
点评： 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出3x=2y是解题关键，又利用比的意义得出x、y的值．
　
6．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB　∠D=∠C或∠E=∠B或=　．


考点： 相似三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 由∠1=∠2可得∠DAE=∠CAB．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB．
解答： 解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．
当∠D=∠C或∠E=∠B或=时，△ADE∽△ACB．
点评： 此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单．但需注意对应关系．
　
7．△ABC中，若，则△ABC是　等边　三角形．

考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
分析： 先根据非负数的性质求出sinA及cosB的值，再由特殊角的三角函数值得出∠A及∠B的值，进而可判断出△ABC的形状．
解答： 解：∵△ABC中，，
∴sinA=，cosB=，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
　
8．在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为　3　．


考点： 锐角三角函数的定义．
分析： 由△ABC的面积为6可得ab=12，再由勾股定理可得a2+b2=62=36，再由tanA+tanB=+=求解．
解答： 解：∵△ABC的面积为6，
∴ab=12．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，
∴a2+b2=62=36，
∴tanA+tanB====3，
故答案为：3．
点评： 本题考查锐角三角函数的概念和勾股定理，关键是掌握正切定义．
　
二、选择题：（每小题3分，共30分）
9．某市2010年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2012年平均房价达到每平方米5500元．设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
　 A． 5500（1+x）2=4000 B． 5500（1﹣x）2=4000
　 C． 4000（1﹣x）2=5500 D． 4000（1+x）2=5500

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 2012年的房价5500=2010年的房价4000×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解答： 解：设这两年平均房价年平均增长率为x，则2011年的房价为4000×（1+x），
2012年的房价为4000×（1+x）（1+x）=4000×（1+x）2，
即所列的方程为4000（1+x）2=5500，
故选D．
点评： 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；得到2012年房价的等量关系是解决本题的关键．
　
10．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则+的值是（　　）
　 A． ﹣2 B． 2 C． ﹣ D． 1

考点： 根与系数的关系．
分析： 利用根与系数的关系可以求得m+n=，m•n=﹣代入代数式求解即可．
解答： 解：∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，
∴m+n=，m•n=﹣，
∴+===﹣，
故选C．
点评： 本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，此题难度不大．
　
11．若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（　　）
　 A． m≤﹣1 B． m≤1 C． m≤4 D．

考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
解答： 解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，
∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故选：B．
点评： 此题考查了一元二次方程解的判断方法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2﹣4ac有关，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．
　
12．如图，上体育课，九年级三班的甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是（　　）

　 A． 4米 B． 5米 C． 6米 D． 7米

考点： 相似三角形的应用．
分析： 利用相似三角形的判定与性质得出=，进而求出AD的长即可得出答案．
解答： 解：根据题意可得：
BC∥DE，故△AED∽△ABC，
则=，
故=，
解得：AD=5，
故甲的影长是：AC=1+5=6（m），
故选：C．
点评： 本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求出即可，体现了方程的思想．
　
13．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　）

　 A． （）米 B． 12米 C． （）米 D． 10米

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
解答： 解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CEF=30°，作CF⊥BD于F，
在Rt△CEF中，∠CEF=30°，CE=4m，
∴CF=2（米），EF=4cos30°=2（米），
在Rt△CFD中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
即CF=2（米），CF：DF=1：2，
∴DF=4（米），
∴BD=BE+EF+FD=12+2（米）
在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）米．
故选A．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
　
14．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）

　 A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． D．

考点： 相似三角形的判定．
分析： 由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答： 解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．
故选C．
点评： 此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
　
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（　　）
　 A． 7sin35° B． C． 7cos35° D． 7tan35°

考点： 解直角三角形．
分析： 在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出BC边的长．
解答： 解：在Rt△ABC中，cosB=，
∴BC=AB•cosB=7cos35°．
故选C．
点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
　
16．若关于x的方程x2+2ax+7a﹣10=0没有实根，那么，必有实根的方程是（　　）
　 A． x2+2ax+3a﹣2=0 B． x2+2ax+5a﹣6=0
　 C． x2+2ax+10a﹣21=0 D． x2+2ax+2a+3=0

考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 由方程x2+2ax+7a﹣10=0无实根，得到△=4a2﹣4×1×（7a﹣10）＜0，即a2﹣7a+10＜0，解得2＜a＜5；再分别计算四个选项中的方程的△，然后判断各方程根的情况．
解答： 解：∵方程x2+2ax+7a﹣10=0无实根，
∴判别式△=4a2﹣4×1×（7a﹣10）＜0，即a2﹣7a+10＜0，（a﹣2）（a﹣5）＜0，
∴2＜a＜5，
四个选项中的方程的△分别为：
A、△=4（a﹣1）（a﹣2），当2＜a＜5，△A＞0，故本选项正确；
B、△=4（a﹣2）（a﹣3），当a=2.5，△B＜0，故本选项错误；
C、△=4（a﹣3）（a﹣7），当a=4，△C＜0，故本选项错误；
D、△=4（a+1）（a﹣3），当a=2.5，△D=＜0，故本选项错误．
故选A．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解以及用它解不等式．
　
三、解答题（8道题共52分）
17．①解方程：x2﹣2x﹣3=0
②计算：．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．
分析： ①直接把方程左边进行因式分解，求出x的值即可；
②分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答： 解：①原方程可化为（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=﹣1，x2=3；

②原式=﹣1+×
=﹣1+
=1．
点评： 本题考查的是实数的运算，熟记0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
　
18．已知tanα=，α是锐角，求tan（9O°﹣α），sinα，cosα的值．

考点： 同角三角函数的关系．
分析： 根据题意表示出AC，BC，AB的长，再利用锐角三角函数定义得出即可．
解答： 解：∵如图所示：tanB=tanα=，
∴设AC=2x，BC=5x，则AB=x，
∴tan（9O°﹣α）==，
sinα===，
cosα===．

点评： 此题主要考查了锐角三角函数定义，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
　
19．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．


考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题．
分析： 设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
解答： 解：设正方形的边长为xmm，
则AI=AD﹣x=80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
即=，
解得x=48mm，
所以，这个正方形零件的边长是48mm．
点评： 本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．
　
20．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．


考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．
解答： 解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，
∴BC=
∵在直角三角形ADB中，
∴=tan26.6°=0.50
即：BD=2AB
∵BD﹣BC=CD=200
∴2AB﹣AB=200
解得：AB=300米，
答：小山岗的高度为300米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
　
21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： （1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
解答： （1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）=2240． …4分
化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分

（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6=54（元），． …9分
答：该店应按原售价的九折出售． …10分
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
　
22．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？


考点： 相似三角形的判定．
专题： 动点型．
分析： 分别利用当△ABC∽△PBQ时以及当△ABC∽△QBP时，分别得出符合题意的答案．
解答： 解：设t秒时，则BP=8﹣2t，BQ=4t，
当△ABC∽△PBQ时，
则=，
即=，
解得：t=2，
当△ABC∽△QBP时，
则=，
即=，
解得：t=0.8，
综上所述：经过2或0.8秒△PBQ与△ABC相似．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，熟练利用分类讨论得出是解题关键．
　
23．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
（1）求证：FD2=FB•FC；
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．


考点： 相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
专题： 综合题．
分析： （1）要求证：FD2=FB•FC，只要证明△FBD∽△FDC，从而转化为证明∠FDC=∠FBD；
（2）要证DG⊥EF，只要证明∠5+∠1=90°，转化为证明∠3=∠4即可．
解答： （1）证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴DE=EA，
∴∠A=∠2，（1分）
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A，（2分）
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，
∴∠FDC=∠FBD，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC．（4分）
∴．
∴FD2=FB•FC．（6分）

（2）GD⊥EF．（7分）
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC．
∴∠3=∠4．
由（1）得∵△FBD∽△FDC，
∴∠4=∠1，
∴∠3=∠1．（9分）
∵∠3+∠5=90°，
∴∠5+∠1=90°．
∴DG⊥EF．（10分）
点评： 证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似，证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角．
　
24．（10分）（2009•鸡西）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．


考点： 相似三角形的判定；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定．
专题： 压轴题．
分析： （1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值．
（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形．
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
解答： 解：（1）解x2﹣7x+12=0，得x1=4，x2=3．
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3．
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB==5，
∴sin∠ABC=．

（2）∵点E在x轴上，S△AOE=，即AO×OE=，
解得OE=．∴E（，0）或E（﹣，0）．
由已知可知D（6，4），设yDE=kx+b，
当E（，0）时有，
解得．
∴yDE=x﹣．
同理E（﹣，0）时，yDE=．
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=；
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；
∵，
∴△AOE∽△DAO．

（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（﹣3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=﹣x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），
L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（﹣，﹣），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=×=，
∴F（﹣，）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；
F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．

点评： 一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比；相似三角形对应边成比例；给定两个点作为菱形的顶点，那么这两个点可能是菱形的对角所在的顶点，也可能是邻角所在的顶点．
　
四、附加题（每题10分）：
25．（10分）（2009•潍坊）已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．
（1）求的值；
（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．


考点： 三角形中位线定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）过点F作FM∥AC，交BC于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE与FM之间的关系，得到它们的比值；
（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解．
解答： 解：（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M，
∵F为AB的中点，
∴M为BC的中点，FM=AC．
∵FM∥AC，
∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．
∴△FMD∽△ECD．
∴．
∴EC=FM=×AC=AC．
∴．

（2）∵AB=a，
∴FB=AB=a．
∵FB=EC，
∴EC=a．
∵EC=AC，
∴AC=3EC=a．

点评： 此类题要注意作平行线，能够根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边成比例即可求得线段的比．
　
26．（10分）（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥AB；
（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．


考点： 平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： （1）若要PE∥AB，则应有，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；
（2）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．由题意知，四边形CDEF是平行四边形，可证得△DEQ∽△BCD，得到，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到，求得PN的值，利用S△PEQ=EQ•PN得到y与t之间的函数关系式；
（3）利用S△PEQ=S△BCD建立方程，求得t的值；
（4）易得△PDE≌△FBP，故有S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD，即五边形的面积不变．
解答： 解：（1）当PE∥AB时，
∴．
而DE=t，DP=10﹣t，
∴，
∴，
∴当（s），PE∥AB．

（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，
∴EF平行且等于CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴．
．
∴．
过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=CD=2cm，
∴cm，
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFG，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10﹣2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴．
∴．
∴．
∴S△PEQ=EQ•PN=××．

（3）S△BCD=CD•BM=×4×4=8，
若S△PEQ=S△BCD，
则有﹣t2+t=×8，
解得t1=1，t2=4．

（4）在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10﹣t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=8．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

点评： 本题利用了平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．