【解析版】2022年资阳市简阳中学九年级上期中数学试卷

这是一份【解析版】2022年资阳市简阳中学九年级上期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了仔细填一填，认真算一算，动脑筋做一做等内容，欢迎下载使用。

2022学年四川省资阳市简阳中学九年级（上）期中数学试卷
　
一、仔细填一填（本题共10题，每空2分，共20分）
1．当x　　　　　　时，根式有意义．
　
2．已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=3cm，c=6cm，则线段d=　　　　　　．
　
3．若x：y=1：2，则=　　　　　　．
　
4．请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式求解的方程，并写出方程的解　　　　　　．
　
5．设x1，x2是方程x（x﹣1）+3（x﹣1）=0的两根，则x12+x22=　　　　　　．
　
6．等腰梯形的周长是36cm，腰长是7cm，则它的中位线长为　　　　　　cm．
　
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2，AB=3，则CD为　　　　　　．

　
8．在平面直角坐标系中，将线段AB平移到A′B′，若点A、B、A′的坐标为（﹣2，0）、（0，3）、（2，1），则点B′的坐标是　　　　　　．
　
9．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　　　　　　．
　
10．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是　　　　　　（只填序号）．

　
　
二．精心选一选（本题共8题，每题3分，共24分）
11．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
　 A． ax2﹣bx=0 B． 2x2+﹣2=0
　 C． （x﹣2）（3x+1）=0 D． 3x2﹣2x=3（x+1）（x﹣2）
　
12．下列运算正确的是（　　）
　 A． 2a+a=3a2 B． =× C． （3a2）3=9a6 D． +=3
　
13．如果2是一元二次方程x2=x+c的一个根，那么常数c是（　　）
　 A． 2 B． ﹣2 C． 4 D． ﹣4
　
14．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的周长为80m．设游泳池的长为xm，则可列方程（　　）
　 A． x（80﹣x）=375 B． x（80+x）=375 C． x（40﹣x）=375 D． x（40+x）=375
　
15．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=（　　）

　 A． B． C． D．
　
16．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（　　）
　 A． 5.3米 B． 4.8米 C． 4.0米 D． 2.7米
　
17．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是DC、BC边上的点，且∠AEF=90°则下列结论正确的是（　　）

　 A． △ABF∽△AEF B． △ABF∽△CEF C． △CEF∽△DAE D． △DAE∽△BAF
　
18．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）

　 A． 3秒或4.8秒 B． 3秒 C． 4.5秒 D． 4.5秒或4.8秒
　
　
三、认真算一算：（每题6分，共12分）
19．（1）﹣+1
（2）+|7|+（）0+（）﹣1．
　
20．（1）x（x﹣3）=15﹣5x；
（2）x2﹣2x﹣4=0．
　
　
四、动脑筋做一做：
21．若x=0是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的一个解，求实数m的值和另一个根．
　
22．已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b（x2﹣1）﹣2ax+c（x2+1）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
　
23．如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为　　　　　　；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似为1：2．

　
24．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．

　
25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．
　
26．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
　
27．如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2．
求证：FD2=FG•FE．

　
28．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

　
　

2022学年四川省资阳市简阳中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、仔细填一填（本题共10题，每空2分，共20分）
1．当x　≥2　时，根式有意义．

考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式有意义的条件为：a≥0，得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
解答： 解：∵根式有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2，
∴当x≥2时，根式有意义．
故答案为≥2．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件为：a≥0．也考查了解不等式．
　
2．已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=3cm，c=6cm，则线段d=　3.6cm　．

考点： 比例线段．
分析： 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
解答： 解；已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad=cb，
代入a=5cm，b=3cm，c=6cm，
解得：d=3.6，
则d=3.6cm．
故答案为：3.6cm．
点评： 本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面，别漏解．
　
3．若x：y=1：2，则=　　．

考点： 比例的性质；分式的值．
专题： 计算题．
分析： 根据题意，设x=k，y=2k．直接代入即可求得的值．
解答： 解：设x=k，y=2k，
∴==﹣．
点评： 此类题目常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
　
4．请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式求解的方程，并写出方程的解　（答案不唯一，例如3x2﹣12=0，x1=﹣2，x2=2）　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 开放型．
分析： 本题答案不唯一，依题意解答即可．
解答： 解：答案不唯一，如：3x2﹣12=0；
原方程可化为：3（x2﹣4）=0，
（x+2）（x﹣2）=0，
解得：x1=﹣2，x2=2．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解的几种方法是解答此题的关键．
　
5．设x1，x2是方程x（x﹣1）+3（x﹣1）=0的两根，则x12+x22=　10　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；代数式求值．
专题： 方程思想．
分析： 用提公因式法进行因式分解，求出方程的两个根，再把两个根代入代数式可以求出代数式的值．
解答： 解：x（x﹣1）+3（x﹣1）=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x﹣1=0或x+3=0，
∴x1=1，x2=﹣3．
∴x12+x22=1+9=10．
故答案是10．
点评： 本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用提公因式法进行因式分解，把方程的左边化成两个一次因式的积，右边是0，得到两个一次方程，求出方程的根，再把根代入代数式求出代数式的值．
　
6．等腰梯形的周长是36cm，腰长是7cm，则它的中位线长为　11　cm．

考点： 梯形中位线定理；等腰梯形的性质．
分析： 等腰梯形的周长等于四边之和，那么据此可求上下底之和，而梯形中位线等于上下底和的一半，又可求中位线．
解答： 解：∵上底+下底+两腰=周长，
∴（上底+下底）+2×7=36，
∴上底+下底=22，
∴中位线=×22=11．
点评： 本题利用了梯形的周长公式以及梯形中位线定理．
　
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2，AB=3，则CD为　2　．


考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理就可求得AB的长，再根据△ABC的面积=•AC•BC=•AB•CD，即可求得．
解答： 解：根据题意得：BC===．
∵△ABC的面积=•AC•BC=•AB•CD
∴CD===2．
点评： 本题主要考查了勾股定理，根据三角形的面积是解决本题的关键．
　
8．在平面直角坐标系中，将线段AB平移到A′B′，若点A、B、A′的坐标为（﹣2，0）、（0，3）、（2，1），则点B′的坐标是　（4，4）　．

考点： 坐标与图形变化-平移．
分析： 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．由点A平移到A′的规律可知，此题规律是（x+4，y+1），照此规律计算可知点B′的坐标是（4，4）．
解答： 解：由点A平移到A′的规律可知，此题规律是（x+4，y+1），照此规律计算可知点B′的坐标是（4，4）．
故答案填：（4，4）．
点评： 本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
　
9．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　20%　．

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解答： 解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
点评： 本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
　
10．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是　①，②，③　（只填序号）．


考点： 相似三角形的判定．
专题： 压轴题．
分析： 本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
解答： 解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．
故相似的条件是①，②，③．
点评： 考查对相似三角形的判定方法的掌握情况．
　
二．精心选一选（本题共8题，每题3分，共24分）
11．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
　 A． ax2﹣bx=0 B． 2x2+﹣2=0
　 C． （x﹣2）（3x+1）=0 D． 3x2﹣2x=3（x+1）（x﹣2）

考点： 一元二次方程的定义．
分析： 本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足三个条件：
（1）是整式方程；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0．
由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解答： 解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；
B、是分式方程，错误；
C、原式可化为：3x2﹣5x﹣2=0，符合一元二次方程的定义，正确；
D、原式可化为：x+6=0，是一元一次方程，错误．
故选C．
点评： 判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．
　
12．下列运算正确的是（　　）
　 A． 2a+a=3a2 B． =× C． （3a2）3=9a6 D． +=3

考点： 二次根式的乘除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法．
分析： 根据合并同类项的法则以及二次根式的乘法法则即可求解．
解答： 解：A、2a+a=3a，选项错误；
B、和没有意义，则选项错误；
C、（3a2）3=27a6，选项错误；
D、+=2+=3，选项正确．
故选D．
点评： 本题主要考查了二次根式乘法运算，以及合并同类项法则，二次根式的化简求值，正确理解运算法则是关键．
　
13．如果2是一元二次方程x2=x+c的一个根，那么常数c是（　　）
　 A． 2 B． ﹣2 C． 4 D． ﹣4

考点： 一元二次方程的解．
分析： 把x=2代入已知方程，列出关于c的新方程，通过解新方程可以求得c的值．
解答： 解：∵x=2是关于x的一元二次方程x2=x+c的一个根，
∴22=2+c，
解得 c=2．
故选A．
点评： 本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
　
14．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的周长为80m．设游泳池的长为xm，则可列方程（　　）
　 A． x（80﹣x）=375 B． x（80+x）=375 C． x（40﹣x）=375 D． x（40+x）=375

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据矩形的周长公式及矩形的长为x，可得矩形的宽，根据矩形的面积为375mm2可得所求方程．
解答： 解：∵游泳池的周长为80m．游泳池的长为xm，
∴宽为（40﹣x）m，
∵矩形游泳池为375m2，
∴可列方程为x（40﹣x）=375．
故选C．
点评： 本题考查用一元二次方程解决图形问题；用到的知识点为：矩形的一边长=周长的一半﹣另一边长．
　
15．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析： 由平行四边形的性质易证两三角形相似，根据相似三角形的性质可解．
解答： 解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴△BFE∽△DFA
∴BE：AD=BF：FD=1：3
∴BE：EC=BE：（BC﹣BE）=BE：（AD﹣BE）=1：（3﹣1）
∴BE：EC=1：2
故选A．
点评： 本题考查了相似三角形的性质；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
　
16．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（　　）
　 A． 5.3米 B． 4.8米 C． 4.0米 D． 2.7米

考点： 相似三角形的应用．
分析： 在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高和其影子的比值等于树的高与其影子长的比值．
解答： 解：设这棵树的高度为x．
∵在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．
∴
∴x==4.8
∴这棵树的高度为4.8米．
故选B．
点评： 解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．
　
17．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是DC、BC边上的点，且∠AEF=90°则下列结论正确的是（　　）

　 A． △ABF∽△AEF B． △ABF∽△CEF C． △CEF∽△DAE D． △DAE∽△BAF

考点： 相似三角形的判定．
分析： 利用等角的余角相等可得∠DAE=∠CEF，加上∠D=∠C=90°，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△CEF∽△DAE．
解答： 解：∵∠AEF=90°，
∴∠ADE+∠CEF=90°，
而∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
而∠D=∠C=90°，
∴△CEF∽△DAE．
故选C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质．
　
18．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）

　 A． 3秒或4.8秒 B． 3秒 C． 4.5秒 D． 4.5秒或4.8秒

考点： 相似三角形的性质．
专题： 压轴题；动点型；分类讨论．
分析： 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
解答： 解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则，
∴，
解得：x=3；
②若△ADE∽△ACB，则，
∴，
解得：x=4.8．
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选A．
点评： 此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．
　
三、认真算一算：（每题6分，共12分）
19．（1）﹣+1
（2）+|7|+（）0+（）﹣1．

考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+7+1+2，然后合并即可．
解答： 解：（1）原式=2﹣（2+）+1
=2﹣2﹣+1
=﹣1；
（2）原式=3+7+1+2
=3+10．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．
　
20．（1）x（x﹣3）=15﹣5x；
（2）x2﹣2x﹣4=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题；因式分解．
分析： （1）先把方程化为一般式，再运用因式分解法求解；
（2）观察原方程的系数特点，用公式法求解．
解答： 解：（1）x（x﹣3）=﹣5（x﹣3）（1分）
（x﹣3）（x+5）=0（2分）
x1=3，x2=﹣5（3分）；

（2）△=20（4分）
x==1±，
，．（6分）
点评： 解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，学生都要一一掌握．
　
四、动脑筋做一做：
21．若x=0是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的一个解，求实数m的值和另一个根．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的定义；一元二次方程的解．
分析： 把x=0代入方程即可求出m的值，再把m的值代入方程即可求出方程的另一个根．
解答： 解：m2+2m﹣8=0，
m1=﹣4，m2=2，（1分）
∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣4，（2分）
把m=﹣4代入原方程得另一个根为0.5．（4分）
点评： 此题比较简单，只要把已知方程的根代入原方程即可求解．
　
22．已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b（x2﹣1）﹣2ax+c（x2+1）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据方程b（x2﹣1）﹣2ax+c（x2+1）=0有两个相等的实数根可知△=0，把对应的值代入△=0中整理即可得到a，b，c之间的关系式，从而可判断三角形的形状．
解答： 解：原方程化为：（b+c）x2﹣2ax﹣b+c=0，
∵方程b（x2﹣1）﹣2ax+c（x2+1）=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2a）2﹣4（b+c）•（﹣b+c）=4a2﹣4c2+4b2=0
∴a2+b2=c2，即为直角三角形．
点评： 主要考查了一元二次方程的根的判别式的具体运用．一般情况下，知道方程的根的情况后，△经常作为相等或不等关系进行解题．
　
23．如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为　1：2　；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似为1：2．


考点： 作图-位似变换．
分析： （1）连接对应点，交点即为位似中心；
（2）求出对应线段长的比即为位似比；
（3）对应线段长为1：2作图即可．
解答： 解：（1）如图：
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为AO：A′O=6：12=1：2．
故答案为1：2．
（3）如图：

点评： 本题考查了作图﹣﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
　
24．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．


考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据矩形的性质和DF⊥AE，可得∠ABE=∠AFD=90°，∠AEB=∠DAF，即可证明△ABE∽△DFA．
（2）利用△ABE∽△ADF，得=，再利用勾股定理，求出AE的长，然后将已知数值代入即可求出DF的长．
解答： 解：（1）△ABE与△ADF相似．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠ABE=∠AFD=90°，
∠AEB=∠DAF，
∴△ABE∽△DFA．

（2）∵△ABE∽△ADF
∴=，
∵在Rt△ABE中，AB=6，BE=8，
∴AE=10
∴DF===7.2．
答：DF的长为7.2．

点评： 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、勾股定理和矩形的性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
　
25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 设该产品的质量档次为x，每件利润为10+2（x﹣1），销售量为76﹣4（x﹣1），根据：每件利润×销售量=总利润，建立方程求解，根据销售量为76﹣4（x﹣1）≥0，即x≤10进行检验．
解答： 解：设该产品的质量档次为x
[10+2（x﹣1）][76﹣4（x﹣1）]=1080
整理得：x2﹣16x+55=0
解得：x1=5，x2=11
∵x≤10，∴x=5
答：第5档次．
点评： 当产品档次提高时，每件利润增加，同时会带来产量的下降；列方程时，要注意“一升一降”．
　
26．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．

考点： 二次函数的最值．
分析： 先把代数式化为完全平方的形式，再根据所给推理确定其最值即可．
解答： 解：原式=3（y﹣1）2+8，
∵（y﹣1）2≥0，
∴3（y﹣1）2+8≥8，
∴有最小值，最小值为8．
点评： 此题是规律性题目，解答此题的关键是把原式化为完全平方式，再求其最值．
　
27．如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2．
求证：FD2=FG•FE．


考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据BE∥AC，BE=AD，可得ABED为平行四边形，FD=FB．欲证FD2=FG•FE，则证FB2=FG•FE，即证FB：FG=FE：FB．易证它们所在的三角形相似．
解答： 证明：∵BE∥AC，
∴∠1=∠E． （2分）
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E． （4分）
又∵∠BFG=∠EFB，
∴△BFG∽△EFB． （5分）
∴，
∴BF2=FG•EF． （6分）
∵BE∥AC，BE=AD，
∴ABED为平行四边形，FD=FB．
∴FD2=FG•FE． （10分）
点评： 此题考查了相似三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质进行线段转换，有一定难度．证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似．
　
28．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．


考点： 等腰梯形的性质；解分式方程；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；
（2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值；
（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点．
解答： （1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE；

（2）解：过A作AF⊥BC于F；
∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，
∴BF=，
∵Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；
∴AB=4cm；

（3）解：存在这样的点P．
理由是：∵
解之得EC=cm．
设BP=x，则PC=7﹣x
由△ABP∽△PCE可得
=，
∵AB=4，PC=7﹣x，
∴=
解之得x1=1，x2=6，
经检验都符合题意，
即BP=1cm或BP=6cm．

点评： 此题主要考查了等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质．