九年级数学人教版上册同步讲义 第一讲 解一元二次方程

这是一份九年级数学人教版下册同步讲义 第一讲 解一元二次方程，共11页。
第一讲  解一元二次方程【知识梳理】1、一元二次方程概念定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．2、一元二次方程一般式    形如(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项。3、一元二次方程的解 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 应用：利用根的概念求代数式的值。4、解一元二次方程--直接开平方法形如对于，等形式均适用直接开方法5、解一元二次方程--配方法理论依据：完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。解法步骤：1、化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数；    2、移项：把常数项项移到方程的右边；    3、配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式；    4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程，否则无解。总结：6、解一元二次方程--因式分解法概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。因式分解的方法：提公因式法、运用公式法（完全平方公式，平方差公式）、分组分解法、十字相乘法。依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。 因式分解的一般步骤：（1）将方程化为一元二次方程的一般形式。 （2）把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。 （3）令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。 （4）解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。总结：形如，左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”7、一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式为．（1）△>0方程有两个不相等的实数根．（2）△＝0方程有两个相等的实数根．（3）△<0方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．8、解一元二次方程--公式法概念：我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；一般步骤:（1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.（2）找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。（3）计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，（4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。9、韦达定理（根与系数的关系）关于根与系数的关系（韦达定理）（1）方程的两根为、，则         （2）当二次项系数为1时，方程的两根为，则，（3）以、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 【经典例题】【例题1】下列方程，是一元二次方程的是（　   　）①3y2+x＝4，②2x2﹣3x+4＝0，③，④x2＝0A．①② B．①②④ C．①③④ D．②④【变式训练1】1、（2019春•平房区期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　  　）A．3x2﹣5y+4＝0 B．﹣2x﹣1＝0 C．2x3+3x2﹣7＝0 D．5x（x﹣3）＝92、（2019春•涡阳县期末）下列方程中，是一元二次方程的为（　   　）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3x＝0 C．+＝0 D．x2+2﹣x（x﹣1）＝0【例题2】1、（2019春•永康市期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　   　）A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝02、（2018秋•武陵区校级期末）一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　  　）A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，﹣3，2【变式训练2】1、方程的一次项系数是          ，一次项系数是          ，常数项是          。 2、将方程化成一元二次方程的一般形式，得           ；其中二次项系数是        ；一次项系数是          ；常数项是          .【例题3】1、（2019春•延庆区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则（　  　）A．a＝2 B．a＝1 C．a＝﹣2 D．a＝02、（2019春•温岭市期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣1，则a﹣b+c的值是（　   　）A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定【变式训练3】1、（2019春•历城区期末）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2019的值为（　   　）A．2022 B．2021 C．2020 D．20192、（2019春•北碚区校级期末）已知a是方程2x2﹣4x﹣2019＝0的一个解，则a2﹣2a＝（　   　）A．2019 B．4038 C． D．【例题4】用直接开方法解下列方程：        =0;          【变式训练4】用直接开方法解下列方程：（1） 　　　（2）　　　　　（3）   【例题5】用配方法解下列方程：（1）x2+8x=9       （2）3x2-5x=2．     【变式训练5】用配方法解下列方程：（1）x2+12x-15=0                  （2） x2-x-4=0   【例题6】1、将二次三项式x2-2x-5进行配方，其结果为___   ______．2、将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为___   ______．【变式训练】将下列各式配方：（1）2x2-7x+2；         （2）-3x2+5x+1     【例题7】用因式分解方法解下列方程：（1）4x2=11x            （2）（x-2）2=2x-4       【变式训练7】用因式分解方法解下列方程：(1)(2＋x)2－9＝0；     (2)x2－2x＝0；   【例题8】用公式法解下列一元二次方程：（1）x2+3x+1=0           （2）   （3）x2-2x=1    【例题9】(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．    【变式训练9】1、若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是(　　)A．k＞   B．k≥  C．k＞且k≠1    D．k≥且k≠12、已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．   【例题10】1、若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则想x1+x2=        ；x1·x2=         ；x12+x22=           ．2、已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是__   ______。【变式训练10】1、关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.（1）求m的取值范围；（2）若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．     2、(烟台中考)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　)A．－1或5       B．1   C．5           D．－1【课堂训练】一、选择题1.（2019春•南岸区校级期末）下方程中是一元二次方程的是（　　）A．x+1＝0 B．x+y＝2 C．＝2 D．x2＝12.（2019春•重庆期末）一元二次方程（x﹣5）（x+2）＝x+2的解为（　　）A．x＝﹣2 B．x＝5 C．x1＝﹣2，x2＝5 D．x1＝﹣2，x2＝63.（2019春•余杭区期末）已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个根是﹣2，则a的值为（　　）A．4 B．﹣4 C． D．4.（2019•红花岗区校级二模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则的值是（　　）A． B． C．﹣3 D．35.（2019•玉林）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　）A．4 B．2 C．1 D．﹣26.（2019•梧州二模）一元二次方程2x2﹣5x﹣4＝0根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定该方程根的情况7.（2019•河南模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．k≥﹣3 B．k≤3 C．k＞﹣3 D．k＜38.（2019•新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠19.（2019春•苍南县期末）将一元二次方程x2﹣4x+1＝0配方后，原方程可化为（　　）A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣4）2＝15二、选择题10.（2019春•香坊区校级期中）若关于x的一元二次方程mx2+（m﹣1）x﹣10＝0有一个根为2，则m的值是　　．11.（2019•青白江区模拟）若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m﹣2019的值为　    　　　．12.（2019•郫都区模拟）如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为　　　　　．13.（2019春•香坊区校级期中）解下列方程：（1）81（x﹣2）2＝16；    （2）4x2+12x+9＝81；（3）2x（x+3）＝6（x+3）；    （4）x（2x﹣5）＝5﹣8x．    14.（2019春•蚌埠期末）已知关于x的一元二次方程：x2+（k﹣5）x+4﹣k＝0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．    15.（2019春•宣城期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0（1）方程有实数根，求m的范围；（2）求方程两根的倒数和。      【课后练习】1、一元二次方程y2＝－6y的解是(　　)A．－6        B．0   C．6          D．0或－62、(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是(　　)A．5          B．7   C．5或7      D．103、（2019•长安区三模）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　）A．1 B．          C．5 D．64、(贵港中考)若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋2＝0有实数根，则整数a的最大值为(　　)A．－1    B．0   C．1     D．25、（2019•滨州模拟）关于x的方程﹣2x2+4x+1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12+x22是（　　）A．2    B．﹣2   C．3   D．56、用公式法解方程x2 = -8x-15，其中b2-4ac= _______，x1=_____，x2=________．7、(鞍山中考)对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2－ab，例如：1※3＝12－1×3.若x※4＝0，则x＝________．8、关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是________．9、关于x的一元二次方程(a-1)x2+a2-1=0有一根为0,则a=          10、(广安中考)方程x2－3x＋2＝0的根是______；[来源:11、已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为________．12、（2019春•济南期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k的值．    13、（2019春•涡阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根x1、x2与且x12+x22＝20，求k的值   14、用适当的方法解下列方程：(1)9(x－1)2＝25；                   (2)6x2＋2x＝0；    (3)x2－8x＋11＝0；                 (4)x2－1＝3x＋3；    (5)(x－3)2＋x2＝9.