新人教A版高考数学二轮复习专题六数列3等比数列综合篇课件

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3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与 b的等比中项,即③    G=±     (a,b同号).
考点二　等比数列的性质1.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则④    ak·al=am·an    .(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), ,{ },{an·bn}, 仍是等比数列.2.等比数列的前n项和的性质(1)当q≠-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.注意　当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列.
(2)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn, , ,…成等比数列.(3)若数列{an}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 =q;若项数为2n+1,则 =q.3.等比数列的单调性等比数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1(a1·q≠0),它的图象是分布在y= qx曲线(q>0)上的一群⑤　孤立    的点.当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递增数列;当a1<0,00,0当a1<0,q>1时,等比数列{an}是递减数列;当q<0时,等比数列{an}是摆动数列;当q=1时,等比数列{an}是常数列.
考法一　等比数列基本量运算的解题技巧
例1　(1)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= (　　)A.21　    B.42　    C.63　    D.84(2)设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1 +3,3a2,a3+4构成等差数列,则an=　　　    .(3)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.①求数列{an}的通项公式;②求a1+a3+…+a2n+1.
②a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,4为公比的等比数列,所以a3+a5+…+a2n+1= = .所以a1+a3+…+a2n+1=1+ = .
答案　(1)B　(2)2n-1
考法二　等比数列的判定与证明
例2    (2021届百校联盟普通高中教育教学质量监测,18)已知数列{an}满 足a2=2a1=4,且an+1-bn=2an,数列{bn}是公差为-1的等差数列.(1)证明:{an-n}是等比数列;(2)求使得a1+a2+…+an>2 200成立的最小正整数n的值.
解析　(1)证明:依题意,an+1=2an+bn,当n=1时,a2=2a1+b1,即4=4+b1,故b1=0,则bn=0+(n-1)·(-1)=-n+1,故an+1=2an-n+1,故 = = =2,而a1-1=1,故{an-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)可知,an-n=2n-1,故an=n+2n-1,记a1+a2+…+an=Sn,故Sn=(1+2+…+n)+(20+21+22+…+2n-1)= + = +2n-1,因为S11=2 113<2 200,S12=4 173>2 200,而{an}是递增数列,故满足a1+a2+…+an>2 200的最小正整数n的值为12.
方法总结　判断等比数列的方法1.定义法:若 =q(q为非零常数)或 =q(q为非零常数且n≥2),则{an}是等比数列.2.中项法:若数列{an}中,an≠0且 =an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列.3.通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈ N*),则{an}是等比数列.4.前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1), 则{an}是等比数列.其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择 题、填空题中的判定.
解析　(1)证明:∵an+1= ,∴ = = + ,∴ - =  ,又a1=1,∴ - = ,∴数列 是以 为首项, 为公比的等比数列.(2)由(1)知 - = · = ,即 = + ,∴bn= = + ,设Tn= + + +…+ ①,则 Tn= + +…+ + ②,由①-②得, Tn= + +…+ - = - =1- - ,∴Tn=2- - .又 ×(1+2+3+…+n)= ,∴数列{bn}的前n项和Sn=2- + .
例    (2019浙江台州期末,20)在数列{an}中,a1=1,a2=3,且对任意的n∈N*,都 有an+2=3an+1-2an.(1)证明数列{an+1-an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn= ,记数列{bn}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N*都有Sn≥ +m,求实数m的取值范围.