新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何6圆锥曲线的综合问题专题检测含解析

这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何6圆锥曲线的综合问题专题检测含解析，共18页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
圆锥曲线的综合问题
专题检测
1.(2020湖南长沙一中第二次月考,11)点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离之比为1∶2,则M的轨迹方程是(　　)
A.y2=8x　　B.y2=-8(x-4)
C.x24-y23=1　　D.x216+y212=1
答案　D　设M(x,y),由F(2,0),
得|MF|=(x-2)2+y2,
∵点M(x,y)到直线x=8的距离为|x-8|,
∴由题意得(x-2)2+y2|x-8|=12,化简得3x2+4y2=48,
即x216+y212=1,故选D.
2.(2020山西太原五中第二次诊断,12)已知A(0,3),若点P是抛物线x2=8y上任意一点,点Q是圆x2+(y-2)2=1上任意一点,则|PA|2|PQ|的最小值为 (　　)
A.43-4　　B.22-1　　C.23-2　　D.42+1
答案　A　抛物线x2=8y的准线l的方程为y=-2,焦点F的坐标为(0,2),过P作PB⊥l,垂足为B,由抛物线定义可得|PF|=|PB|.圆x2+(y-2)2=1的圆心为F(0,2),半径r=1,可得|PQ|的最大值为|PF|+r=|PF|+1,所以|PA|2|PQ|≥|PA|2|PF|+1,可令|PF|+1=t(t>1),则|PF|=t-1=|PB|=yP+2,即yP=t-3,所以xP2=8(t-3),
所以|PA|2|PF|+1=(t-3-3)2+8(t-3)t=t+12t-4≥2t·12t-4=43-4(当且仅当t=23时,等号成立).
所以|PA|2|PQ|的最小值为43-4,故选A.

名师点睛　①圆外一点到圆上一动点距离的最大值为该点到圆心的距离与半径之和.②基本不等式求最值,注意“一正、二定、三相等”.
3.(2020浙江台州五校联考,8)已知平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,CD⊥AD,且AB=1,AD=CD=2.四边形ADEF是正方形,在正方形ADEF内部有一点M,满足MB,MC与平面ADEF所成的角相等,则点M的轨迹长度为 (　　)
A.43　　B.163
C.49π　　D.83π
答案　C　本题考查直线与平面所成的角的求法、圆的方程及其应用;考查学生空间想象和运算求解的能力以及数形结合的思想;考查了数学运算和直观想象的核心素养.
由已知可得AB⊥平面ADEF,CD⊥平面ADEF,连接AM,DM,则MB,MC与平面ADEF所成的角分别为∠BMA,∠CMD,由于∠BMA=∠CMD,CD=2AB,所以MD=2MA,则点M的轨迹为阿波罗尼斯圆,以DA所在直线为x轴,AD的中点为原点建立直角坐标系,则D(-1,0),A(1,0),设M(x,y),则(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2,平方化简可得x-532+y2=169(-1≤x≤1,y≥0),所求轨迹为一段圆弧,令x=1,可得y=233,又圆的半径为43,故圆弧对应的扇形圆心角为π3,所求轨迹的长度为16×2π×43=4π9,故选C.
4.(2020山东夏季高考模拟,6)已知点A为曲线y=x+4x(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是 (　　)
A.3　　B.4　　C.32　　D.42
答案　A　本题主要考查两条曲线上,两动点间的最小距离问题,考查数学建模及数学运算的核心素养.
如图所示,设圆(x-2)2+y2=1的圆心为C,

由于|AC|≤|AB|+|BC|,所以|AB|≥|AC|-|BC|,
即|AB|≥|AC|-1,当且仅当A,B,C三点共线,且|AC|最小时,|AB|最小.
设Ax,x+4x,g(x)=|AC|2,则g(x)=(x-2)2+x+4x2=2x2+16x2-4x+12(x>0),
g'(x)=4x-32x3-4=4·x4-x3-8x3,
令g'(x)=0,得x=2,
当x∈(0,2)时,g'(x)