【解析版】福州市福清市2022年八年级下期中数学试卷

福建省福州市福清市2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）

1．（2分）下列计算正确的是（）

 A．  B．  C．  D． 

2．（2分）下列二次根式中能与合并的二次根式的是（）

 A．  B．  C．  D． 

3．（2分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）

 A． a=1.5，b=2，c=3 B． a=7，b=24，c=25

 C． a=6，b=8，c=10 D． a=5，b=12，c=13

4．（2分）若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（）

 A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2

5．（2分）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6、BC=8，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）

 A． 4 B． 5 C． 6 D． 10

6．（2分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（）

 A． 30° B． 45° C． 60° D． 75°

7．（2分）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）

 A． 四边形AEDF是平行四边形

 B． 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

 C． 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形

 D． 如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形

8．（2分）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）

 A．  B．  C．  D． 

9．（2分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）

 A． 1＜m＜11 B． 2＜m＜22 C． 10＜m＜12 D． 2＜m＜6

10．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）

 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）

11．（2分）化简：=．

12．（2分）等腰三角形的腰为13cm，底边长为10cm，则它的面积为．

13．（2分）是整数，则正整数n的最小值是．

14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=8，BE=4，则平行四边形ABCD的周长是．

15．（2分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB=60°，若BD=4，则AD=．

16．（2分）如图所示，平行四边形ABCD，AD=5，AB=9，点A的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为．

17．（2分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是．

18．（2分）观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来．

三、解答题

19．（12分）（1）﹣2（5﹣）；

（2）﹣÷+（3﹣）（3+）．

20．（8分）如图：已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别相交于E、F．求证：OE=OF．

21．（8分）已知，如图四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求：四边形ABCD的面积．

22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜边AB上的中点，AE=CE，BF∥AC，求证：四边形BCEF是矩形．

23．（8分）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

24．（9分）有一块直角三角形绿地，量得直角边分别为BC=6cm，AC=8cm，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC=8cm为直角边的直角三角形，请画出扩充后符合条件的所有等腰三角形（注明相等的边），并直接求出扩充后等腰三角形绿地的周长．

25．（11分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

福建省福州市福清市2022学年八年级下学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）

1．（2分）下列计算正确的是（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 二次根式的混合运算．

分析： 根先化简二次根式，再计算．==5，（2）2=12．

解答： 解：A、==5，故本选项错误；

B、2﹣=，故本选项错误；

C、（2）2=12，故本选项错误；

D、==，故本选项正确．

故选D．

点评： 本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．

2．（2分）下列二次根式中能与合并的二次根式的是（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 同类二次根式．

分析： 此题实际上是找出与是同类二次根式的选项．

解答： 解：=2，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

B、=，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

C、=，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

D、=3，与，是同类二次根式，能合并，故本选项正确；

故选：D．

点评： 本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．

3．（2分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）

 A． a=1.5，b=2，c=3 B． a=7，b=24，c=25

 C． a=6，b=8，c=10 D． a=5，b=12，c=13

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

解答： 解：A、1.52+22≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意；

B、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不合题意；

C、62+82=102，故是直角三角形，故此选项不合题意；

D、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不合题意．

故选A．

点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

4．（2分）若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（）

 A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2

考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．

分析： 根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后将代数式化简再代值计算．

解答： 解：∵（m﹣1）2+=0，

∴m﹣1=0，n+2=0；

∴m=1，n=﹣2，

∴m+n=1+（﹣2）=﹣1

故选：A．

点评： 题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

5．（2分）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6、BC=8，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）

 A． 4 B． 5 C． 6 D． 10

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 如图，首先运用翻折变换的性质证明BE=AE=AB；其次运用勾股定理求出AB的长度，即可解决问题．

解答： 解：如图，由翻折变换的性质得：

BE=AE=AB；

∵△ABC为直角三角形，且AC=6，BC=8，

∴AB2=62+82，

∴AB=10，BE=5，

故选B．

点评： 该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键．

6．（2分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（）

 A． 30° B． 45° C． 60° D． 75°

考点： 平行四边形的性质．

分析： 首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x=180，继而求得答案．

解答： 解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，

则x+3x=180，

解得：x=45°，

∴其中较小的内角是45°．

故选B．

点评： 此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．

7．（2分）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）

 A． 四边形AEDF是平行四边形

 B． 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

 C． 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形

 D． 如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形

考点： 矩形的判定；平行四边形的判定．

分析： 由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；

又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；

如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，

∴∠FAD=∠ADF，

∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；

如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．

故以上答案都正确．

解答： 解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；

又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；

如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，

∴∠FAD=∠ADF，

∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；

如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．

故选C．

点评： 本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

8．（2分）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 矩形的性质．

分析： 本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．

解答： 解：∵四边形为矩形，

∴OB=OD=OA=OC，

在△EBO与△FDO中，

∵，

∴△EBO≌△FDO（ASA），

∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，

∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，

∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABCD．

故选：B．

点评： 本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．

9．（2分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）

 A． 1＜m＜11 B． 2＜m＜22 C． 10＜m＜12 D． 2＜m＜6

考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系．

专题： 计算题．

分析： 根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OA﹣OB＜m＜OA+OB，代入求出即可．

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，

∴OA=OC=6，OD=OB=5，

在△OAB中，OA﹣OB＜m＜OA+OB，

∴6﹣5＜m＜6+5，

∴1＜m＜11．

故选A．

点评： 本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出OA、OB后得出OA﹣OB＜m＜OA+OB是解此题的关键．

10．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）

 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

专题： 压轴题；探究型．

分析： 先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．

解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，

∴AB==5，

作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，

∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，

∴E′在AD上，且E′是AD的中点，

∵AD=AB，

∴AE=AE′，

∵F是BC的中点，

∴E′F=AB=5．

故选C．

点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质是解答此题的关键．

二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）

11．（2分）化简：=1．

考点： 二次根式的混合运算；平方差公式．

专题： 计算题．

分析： 利用平方差公式的形式进行化简计算，即可得出答案．

解答： 解：原式=﹣12=1．

故答案为：1．

点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题关键是套用平方差公式，难度一般．

12．（2分）等腰三角形的腰为13cm，底边长为10cm，则它的面积为60cm2．

考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．

分析： 根据题意画出图形，过点A作AD⊥BC于点D，根据BC=10cm可知BD=5cm．由勾股定理求出AD的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．

解答： 解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB=AC=13cm，BC=10cm，

∴BD=5cm，

∴AD===12cm，

∴S△ABC=BC•AD=×10×12=60（cm2）．

故答案为：60cm2．

点评： 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

13．（2分）是整数，则正整数n的最小值是6．

考点： 二次根式的性质与化简．

专题： 常规题型．

分析： 先化简为2，使6n成平方的形式，才能使是整数，据此解答．

解答： 解：∵=2，是整数，

∴正整数n的最小值是6．

故答案为：6．

点评： 此题主要考查二次根式的性质和化简，灵活性较大．

14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=8，BE=4，则平行四边形ABCD的周长是24．

考点： 平行四边形的性质．

分析： 由在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，易证得△CDE是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，BC=AD=8，

∴∠ADE=∠DEC，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∴∠CDE=∠DEC，

∴CD=CE=BC﹣BE=8﹣4=4，

∴AB=CD=4，

∴平行四边形ABCD的周长是：AD+BC+CD+AB=24．

故答案为：24．

点评： 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CDE是等腰三角形是关键．

15．（2分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB=60°，若BD=4，则AD=．

考点： 矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析： 矩形的对角线相等且互相平分，一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

解答： 解：∵∠AOB=60°，OA=OB，

∴△AOB是等边三角形．

∴∠ABO=60°，

∴∠ADB=30°，

∴AB=2，

∴AD===2．

故答案为：2．

点评： 本题考查矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用．

16．（2分）如图所示，平行四边形ABCD，AD=5，AB=9，点A的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为（9，4）．

考点： 坐标与图形性质；平行四边形的性质．

分析： 先求OD，则点C纵坐标可知，再运用平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，即可求得点C的横坐标．

解答： 解：在直角三角形AOD中，AO=3，AD=5，由勾股定理得OD=4．

∵DC=AB=9，

∴C（9，4）．

点评： 本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，形数结合，将点的坐标转化为有关相等的长度是解题的关键．

17．（2分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是47．

考点： 勾股定理．

分析： 分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=32+52，y2=22+32，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为：z2．

解答： 解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：

x2=32+52=34；

y2=22+32=13；

z2=x2+y2=47；

即最大正方形E的边长为：，所以面积为：z2=47．

那么空白处应填：47．

点评： 本题采用了设“中间变量法”如题中所示：分别由勾股定理求出x2，y2，再由勾股定理求出大正方形边长的平方z2=x2+y2，主要考查运用勾股定理解决实际问题的能力．

18．（2分）观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来（n≥1）．

考点： 规律型：数字的变化类．

专题： 规律型．

分析： 观察分析可得：=（1+1）；=（2+1）；…则将此题规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来

解答： 解：∵=（1+1）；

=（2+1）；

∴=（n+1）（n≥1）．

故答案为：=（n+1）（n≥1）．

点评： 本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到=（n+1）（n≥1）．

三、解答题

19．（12分）（1）﹣2（5﹣）；

（2）﹣÷+（3﹣）（3+）．

考点： 二次根式的混合运算．

分析： （1）直接利用二次根式的性质化简进而合并同类二次根式求出即可；

（2）直接利用二次根式的性质化简进而合并同类二次根式求出即可．

解答： 解：（1）原式=4﹣2（5﹣3）

=4﹣4

=0；

（2）原式=4﹣+32﹣（）2

=4﹣3+9﹣3

=+6．

点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

20．（8分）如图：已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别相交于E、F．求证：OE=OF．

考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 证法一利用▭ABCD的性质得到AD∥BC，OA=OC，且∠FAC=∠ACB（或∠AFO=∠CEO），又∠AOF=∠COE，然后利用全等三角形的判定方法即可证明△AOF≌△COE，再利用全等三角形的性质即可证明结论；

证法二由▭ABCD可以得到AD∥BC，OA=OC，然后利用平行线分线段成比例即可证明结论．

解答： 证明：

证法一：∵▭ABCD

∴AD∥BC，OA=OC，

∴∠FAC=∠ACB（或∠AFO=∠CEO），

又∵∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE，

∴OE=OF；

证法二：∵▭ABCD

∴AD∥BC，OA=OC，

∴，

∴OE=OF．

点评： 此题把全等三角形放在平行四边形的背景中，利用平行四边形的性质来证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质解决问题．

21．（8分）已知，如图四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求：四边形ABCD的面积．

考点： 勾股定理的逆定理；三角形的面积．

专题： 计算题．

分析： 先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．

解答： 解：∵∠B=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵52+122=132，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD是直角三角形，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．

点评： 此题考查勾股定理及逆定理的应用，判断△ACD是直角三角形是关键．

22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜边AB上的中点，AE=CE，BF∥AC，求证：四边形BCEF是矩形．

考点： 矩形的判定．

专题： 几何图形问题．

分析： 根据题意易正明△AOE≌△BOF，得BF=AE，即可得出CE=BF，可证明四边形BCEF是平行四边形，根据∠C=90°，根据一个角为直角的平行四边形为矩形，即可得出四边形BCEF是矩形．

解答： 证明：∵O是AB中点，BF∥AC，

∴∠A=∠OBF，OA=OB，

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF，

∴BF=AE，

又∵AE=CE，

∴CE=BF，

又∵CE∥BF，

∴四边形BCEF是平行四边形，

又∵∠C=90°，

∴四边形BCEF是矩形．

点评： 本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定方法，掌握有一个角为直角的平行四边形为矩形是解题的关键．

23．（8分）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

专题： 计算题．

分析： 根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=（8﹣x）2，然后解方程即可．

解答： 解：∵四边形ABCD为矩形，

∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，

∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处

∴AF=AD=10，DE=EF，

在Rt△ABF中，BF===6，

∴FC=BC﹣BF=4，

设EC=x，则DE=8﹣x，EF=8﹣x，

在Rt△EFC中，

∵EC2+FC2=EF2，

∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，

∴EC的长为3cm．

点评： 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．

24．（9分）有一块直角三角形绿地，量得直角边分别为BC=6cm，AC=8cm，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC=8cm为直角边的直角三角形，请画出扩充后符合条件的所有等腰三角形（注明相等的边），并直接求出扩充后等腰三角形绿地的周长．

考点： 作图—应用与设计作图；等腰三角形的性质；勾股定理的应用．

分析： 根据题目要求扩充成AC为直角边的等腰直角三角形，即AC=BC，∠C=90°，然后由勾股定理求得AB的长，最后求出扩充后的等腰直角三角形的周长即可．

解答： 解：如图1，延长BC到D，使AB=AD，连接AD，则AB=AD=10时，可求CD=CB=6得△ABD的周长为32m；      

②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4，

由勾股定理得：AD=4得△ABD的周长为m．

③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x﹣6，由勾股定理得：x=得△ABD的周长为m． 

点评： 本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．

25．（11分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

考点： 菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

专题： 压轴题．

分析： （1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．

解答： （1）证明：连接AC，如下图所示，

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD为等边三角形，

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE=CF；

（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

则S△ABE=S△ACF，

故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H点，则BH=2，

S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=4，

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．

∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4﹣×2×=．

答：最大值是．

点评： 本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．