北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示第1课时课堂检测

集合的概念与表示

第1课时　集合的概念

中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议，于2020年10月26至29日在北京召开．

[问题]　参加十九届五中全会的代表能否构成一个集合？

知识点一　元素与集合的相关概念

1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．

2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．

3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复．

集合中元素的三个特性

(1)确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素必须是确定的．其作用为判断一组对象能否组成集合；

(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都不相同，相同的对象只能算一个元素；

(3)无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素的排列顺序无关．　　　　

1．用“book”中的字母组成的集合中元素个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选C　由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”3个元素．

2．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．

解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1.

答案：2

知识点二　元素与集合的关系

1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A．

2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A．

符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．　　　　

已知集合A由x＜1的数构成，则有(　　)

A．3∈A  B．1∈A

C．0∈A  D．－1∉A

答案：C

知识点三　常见的数集及符号表示

N与N＋(N*)有何区别？

提示：N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.

用“∈”或“∉”填空：

______N; －3______Z; ______Q; ______R.

答案：∉　∈　∉　∈

[例1]　(多选)下列各组对象能组成一个集合的是(　　)

A．某校高一年级成绩优秀的学生

B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点

C．不小于3的自然数

D．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者

[解析]　A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．

[答案]　BCD

判断一组对象能否组成集合的标准

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．　　　　

[跟踪训练]

(多选)下列各组对象能组成集合的是(　　)

A．大于6的所有整数

B．高中数学的所有难题

C．被3除余2的所有整数

D．函数y＝图象上所有的点

解析：选ACD　选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.

[例2]　(链接教科书第5页练习2题)(1)下列五个关系中，正确的个数为(　　)

①∈R；②∉Q；③π∈Q；④|－3|∉N；⑤－∈Z.

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

[解析]　(1)由于∈R，－∈Z，是无理数，故①②⑤正确，因为π是无理数，|－3|＝3是自然数，所以③④错误．故选C.

(2)由题意可得x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素为2，1，0.

[答案]　(1)C　(2)2，1，0

判断元素与集合关系的2种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；

(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．　　　　

[跟踪训练]

1．(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则(　　)

A．a∈A  B．a2∈A

C.∈A  D．a＋1∈A

解析：选ACD　a＝＋＜＋＝4＜5，所以a∈A.

a＋1＜＋＋1＝5，所以a＋1∈A，a2＝()2＋2×＋()2＝5＋2＞5，所以a2∉A，＝＝＝－＜5，所以∈A.

2．用∈，∉填空：

已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A.

解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，

令3k＋2＝17，得k＝5∈Z.所以17∈A.

令3k＋2＝－5，得k＝－∉Z.所以－5∉A.

答案：∈　∉

[例3]　已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．

[解]　因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－.

当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不满足集合元素的互异性，所以舍去a＝－1.

当a＝－时，经检验，符合题意．故a＝－.

[母题探究]

1．(变设问)本例集合A中含有三个元素，实数a的取值是否有限制？

解：有限制．

由元素的互异性可得

解得

所以实数a不能取四个值：14，，－4，－1.

2．(变设问)本例集合A中能否只有一个元素？

解：若该集合中只有一个元素，则有a－2＝2a2＋5a＝12.

由a－2＝12，解得a＝14，此时2a2＋5a＝2×142＋5×14＝462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素．

根据集合中元素的特性求参数取值的3个步骤

[跟踪训练]

1．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形   D．等腰三角形

解析：选D　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.

2．已知集合A中含有三个元素1，a，a－2，且3∈A，则实数a的值为(　　)

A．3   B．5

C．3或5   D．无解

解析：选B　因为3∈A，所以a－2＝3或a＝3.当a－2＝3，即a＝5时，满足题意；当a＝3时，a－2＝1，不满足集合中元素的互异性，故舍去．综上可得a的值为5，故选B.

1．(多选)下列对象可以组成集合的是(　　)

A．北师大附中的高一尖子生

B．π的近似数

C．大于1的实数

D．参加建党100周年表彰大会的代表

解析：选CD　任给一个实数，要么大于1，要么不大于1，具有确定性，故C中的对象可以组成集合，而A、B中的对象不具有确定性，不能构成集合．D中的对象满足确定性，能组成集合．

2．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)

A．矩形   B．平行四边形

C．菱形   D．梯形

解析：选D　由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.

3．(多选)下列结论中，正确的是(　　)

A．若a∈N，则∉N  B．若a∈Z，则a2∈Z

C．若a∈Q，则|a|∈Q  D．若a∈R，则∈R

解析：选BCD　A不正确．反例：a＝1∈N，＝1∈N.

4．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．

解析：若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.

答案：0或－1

5．方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合为集合A，若a＝1，则A中的元素为________；若a≠1，则A中的元素为________．

解析：原方程可化为(x－a)(x－1)＝0，解得x＝a或x＝1，若a＝1，则A中只有一个元素1；若a≠1，则A中的元素有a，1两个．

答案：1　1，a