高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值第1课时习题

函数的单调性和最值

第1课时　函数的单调性

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：

以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．

[问题]　当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？

知识点一　增函数、减函数的概念

设函数y＝f(x)的定义域是D：

(1)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．

(2)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．

1．对区间D的要求

函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．

2．x1，x2的三个特征

(1)同区间性，即x1，x2∈D；

(2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代替x1，x2；

(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2.

3．自变量的大小与函数值的大小关系

(1)单调递增：x1<x2⇔f(x1)<f(x2)；

(2)单调递减：x1<x2⇔f(x1)>f(x2)．　　　　

下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)的是________(填序号)．

①f(x)＝x2；②f(x)＝；

③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.

答案：②

知识点二　函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间．

1．函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．　　　　

2．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

1．区间A一定是函数的定义域吗？

提示：不一定，可能是定义域的一部分．

2．函数y＝在定义域上是减函数吗？

提示：y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．

1．下列函数中，在R上是增函数的是(　　)

A．y＝|x|　　　　　　　 B．y＝x

C．y＝x2  D．y＝

解析：选B　根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|＝在R上不是增函数，不符合题意；对于B，y＝x是正比例函数，在R上是增函数，符合题意；对于C，y＝x2是二次函数，在R上不是增函数，不符合题意；对于D，y＝是反比例函数，在R上不是增函数，不符合题意．

2．如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数．

解析：观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5]．

答案：[－2，1]和[3，5]　[－5，－2]和[1，3]

3．若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________．

答案：(0，＋∞)

[例1]　判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．

[解]　函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数．

证明如下：

任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝＝.

∵x1<x2，∴x2－x1>0，

又x1，x2∈(1，＋∞)，

∴x2＋x1>0，x－1>0，x－1>0.

∴>0，

即f(x1)>f(x2)．

∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．

利用定义证明函数单调性的步骤

[跟踪训练]

1．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)

A．y＝|x|＋1　　　　　 B．y＝

C．y＝－  D．y＝x＋

解析：选CD　y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.

2．利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为－1<x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0，

所以>0，即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．

所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数.

[例2]　(链接教科书第63页B组2题)已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.

(1)画出函数的图象；

(2)根据图象写出它的单调区间．

[解]　(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝

图象如图所示：

(2)由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－2，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2]，[0，2]．

求函数单调区间的2种方法

(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；

(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．　　　　

[跟踪训练]

求函数f(x)＝的单调减区间．

解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，

设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).

[例3]　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；

(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．

[解析]　(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．

(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

且f(2x－3)>f(5x－6)，

∴2x－3>5x－6，即x<1.

∴实数x的取值范围为(－∞，1)．

[答案]　(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)

[母题探究]

1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．

解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.

所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．

2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．

解：由题意可知，解得x>.

∴x的取值范围为.

1．利用单调性比较大小或解不等式的方法

(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；

(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法

(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；

(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　　　　

[跟踪训练]

1．若函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　)

A．f<f(－1)<f(－2)

B．f(－1)<f<f(－2)

C．f(－2)<f(－1)<f

D．f(－2)<f<f(－1)

解析：选D　∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，

且－2<－<－1，

∴f(－2)<f<f(－1)．故选D.

2．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________．

解析：依题意，得不等式组

解得<x≤4.

答案：

复合函数y＝f(g(x))的单调性

[典例]　已知函数f(x)＝，x∈[2，6]．

(1)试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；

(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．

提示：(1)函数f(x)＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1.

因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减．

(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．

[结论]　复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”.

[迁移应用]

求函数f(x)＝的单调区间．

解：由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，

∴函数f(x)的定义域为[－4，2]．

设y＝，u＝8－2x－x2.

二次函数u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．

∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2]．

1．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)

A．f(3)<f(5)　　　　　　 B．f(3)≤f(5)

C．f(3)>f(5)  D．f(3)≥f(5)

解析：选C　因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．

2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)

A．(－∞，1)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，2)  D．(2，＋∞)

解析：选B　易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的抛物线，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．

3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)

A．单调递增  B．单调递减

C．先增后减  D．先减后增

解析：选A　由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，故a>0，b>0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－<0，故函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递增．

4．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　)

A.>0

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0

C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)

D．f(x1)≠f(x2)

解析：选ABD　由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B正确；对于C，若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，故C不正确；对于D，因为f(x)在区间[a，b]上单调，且x1≠x2，所以f(x1)≠f(x2)，故D正确．

5．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[－1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是________．

解析：根据题意，知函数y＝－x2＋4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x＝2a，

若其在区间[－1，2]上单调递减，则2a≤－1，

所以a≤－，即a的取值范围为.

答案：