数学必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质当堂检测题

简单幂函数的图象和性质

我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝.

[问题]　(1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？

(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？

知识点一　幂函数的概念

一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．

幂函数的特征

(1)xα的系数为1；

(2)xα的底数是自变量x，指数α为常数；

(3)项数只有一项．　　　　

1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．

解析：函数y＝＝x－4为幂函数；

函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；

函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α为常数)的形式，所以它不是幂函数；

函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．

答案：1

2．已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，则m＝________．

解析：∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，

∴m＋1＝1，即m＝0.

答案：0

知识点二　五个幂函数的图象与性质

1．五个常见幂函数的图象

2．五个常见幂函数的性质

观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面的第一象限在直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0，1)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”．

1．已知幂函数的图象过点(2，4)，则其解析式为(　　)

A．y＝x＋2　 B．y＝x2　　

C．y＝　　 D．y＝x3

解析：选B　设幂函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2.

2．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是(　　)

解析：选D　函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是减函数．

3．当x∈(0，1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)

答案：>

[例1]　(1)在函数y＝x－2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．

[解析]　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.

(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.

[答案]　(1)B　(2)5或－1

判断一个函数是否为幂函数的方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.　　　　

[跟踪训练]

(多选)下列函数中是幂函数的是(　　)

A．y＝  B．y＝2x2

C．y＝2x＋1  D．y＝x

解析：选AD　幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.

[例2]　(链接教科书第66页思考交流)如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是(　　)

A．y＝x2  B．y＝

C．y＝x  D．y＝x－2

[解析]　∵函数y＝xα的图象过④⑧部分，∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，∴α<0.又易知x＝2时，y>，∴只有B选项符合题意．故选B.

[答案]　B

解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；

(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．　　　　

[跟踪训练]

点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：

(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．

解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.

∵()α＝2，(－2)β＝－，

∴α＝2，β＝－1，

∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，

(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；

(3)当x∈(0，1)时，f(x)<g(x).

[例3]　(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试求f(x)的解析式，作出图象，写出定义域及单调区间．

(2)比较下列各组数的大小：

①2.3，2.4；

②()，()；

③(－0.31)，0.35.

[解]　(1)因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．

(2)①∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，

∴2.3<2.4.

②∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且<，

∴()>().

③∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31)＝0.31.

又函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35，

∴0.31<0.35，即(－0.31)<0.35.

[母题探究]

1．(变设问)本例(1)条件不变，试判断f(x)的奇偶性．

解：由f(x)＝x－2，

则f(－x)＝(－x)－2＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

2．(变条件)本例(1)中点P变为，其他条件不变．

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)判断函数f(x)的单调性．

解：∵f(x)的图象过点P，

∴8α＝，即23α＝2－1，

∴3α＝－1，即α＝－，

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x (x≠0)．

(1)∵f(－x)＝(－x) ＝＝－＝－f(x)，

又f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，

∴f(x)是奇函数．

(2)∵－<0，∴f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数．

由(1)知f(x)是奇函数，

∴f(x)＝x在(－∞，0)上也是减函数．

∴f(x)＝x在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数．

1．幂函数的常用性质

(1)幂函数y＝xα奇偶性的判断方法：

①若p，q同为奇数，则y＝xα为奇函数；

②若p为奇数，q为偶数，则y＝xα为偶函数；

③若p为偶数，则y＝xα为非奇非偶函数．

(2)幂函数单调性判断：幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．

2．比较幂值大小的2种方法

[跟踪训练]

1．已知a＝3，b＝4，c＝25，则(　　)

A．b<a<c  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

解析：选C　因为a＝3＝9，b＝4，c＝25＝5，由幂函数y＝x的单调性，所以b<c<a.

2．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．

解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.

所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)

函数y＝x＋的图象与性质的探究

学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图．

[问题探究]

参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．

提示：(1)定义域：∵x≠0，

∴函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}；

(2)函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；

(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，

∴函数f(x)＝x＋为奇函数；

(4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图象可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1，0)，(0，1)上为减函数．

[迁移应用]

试探究函数f(x)＝x＋(a<0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图．

解：(1)定义域：{x|x≠0}；

(2)值域：R；

(3)奇偶性：奇函数；

(4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．

证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－

＝(x1－x2)，

因为0<x1<x2，所以x1－x2<0，

又a<0，所以1－>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；

同理可证，函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数．

其简图如图所示．

1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)

A．y＝x－2　　　　　　　 B．y＝x－1

C．y＝x2  D．y＝x

解析：选A　所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上是增函数，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上是减函数，符合题意．故选A.

2．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是(　　)

A．(0，1)  B．(－∞，1)

C．(0，＋∞)  D．(－∞，0)

解析：选B　当x>1时，恒有f(x)<x，即x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象(图略)．由图象可知α<1时满足题意，故选B.

3．若a＝(－1.2)，b＝1.1，c＝0.9，它们的大小关系是(　　)

A．c<a<b  B．a<c<b

C．b<a<c  D．c<b<a

解析：选D　a＝(－1.2)＝1.2，

∵当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上递增，∴1.2>1.1>1，

即a>b>1.而c<1，∴a>b>c.

4．已知幂函数y＝(m2＋m－5)x，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，则实数m的值为________．

解析：∵y＝(m2＋m－5)x是幂函数，

∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.

当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；

当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．

∴实数m的值为2.

答案：2