高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念第2课时练习

第2课时　指数函数及其性质的应用(习题课)

[例1]　(链接教科书第86页例3)比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5和1.53.2；

(2)与；

(3)1.50.3和0.81.2.

[解]　(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，

∴1.52.5＜1.53.2.

(2)指数函数y＝与y＝的图象(如图)，

由图知>.

(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，

而0.81.2＜0.80＝1，

∴1.50.3＞0.81.2.

比较指数式大小的3种类型及处理方法

[跟踪训练]

比较下列各题中两个值的大小：

(1)0.8－0.1，1.250.2；

(2)1.70.3，0.93.1；

(3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1)．

解：(1)∵0＜0.8＜1，

∴y＝0.8x在R上是减函数．

∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，

而0.8－0.2＝＝1.250.2，

即0.8－0.1＜1.250.2.

(2)∵1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，

∴1.70.3＞0.93.1.

(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．

当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数．∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6.当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6.综上所述，当0<a<1时，a0.5>a0.6；当a>1时，a0.5<a0.6.

[例2]　(链接教科书第83页例2)求解下列不等式：

(1)已知3x≥，求实数x的取值范围；

(2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．

[解]　(1)因为＝30.5，所以由3x≥可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.

(2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－.

②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.

综上，当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－.

1．指数型不等式的解法

(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：

当a＞1时，f(x)＞g(x)；

当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．

(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝(a＞0，且a≠1)等．

2．指数方程的求解方法

(1)同底法：形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程，化为f(x)＝g(x)求解；

(2)换元法：形如a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且a≠1)的方程，用换元法求解，求解时应特别注意ax>0.　　　　

[跟踪训练]

1．方程81×32x＝的解为________．

解析：∵81×32x＝，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，∴2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2.

答案：－2

2．设0<a<1，则关于x的不等式a2x2－7x＋3>1的解集为________．

解析：因为0<a<1，不等式a2x2－7x＋3>1＝a0变为2x2－7x＋3<0，解得<x<3.

答案：

[例3]　判断f(x)＝的单调性，并求其值域．

[解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，

∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

∴y＝，u∈[－1，＋∞)，

∴0＜≤＝3，

∴原函数的值域为(0，3]．

[母题探究]

1．(变条件，变设问)若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．

解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变．如图，得到y＝|2x－1|的图象，由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m∈(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

2．(变条件)把本例的函数变为“f(x)＝2”，求其单调区间．

解：函数y＝2的定义域为R.

令u＝－x2＋2x，则y＝2u.

当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，

所以函数y＝2在(－∞，1]上是增函数．

当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在[1，＋∞)上是减函数．

综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．

函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成；

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．　　　　

[跟踪训练]

1．画出函数y＝2－|x|的图象，并根据图象求函数的单调区间．

解：y＝2－|x|＝的图象如图所示．

由图象可得函数y＝2－|x|的单调递增区间为(－ ∞，0]，单调递减区间为(0，＋∞)．

2．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．

解：①若a>1，则f(x)在[1，2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a.

所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．

②若0<a<1，则f(x)在[1，2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2.

所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)．

综上所述，a的值为或.

[例4]　已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数．

(1)求a的值；

(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．

[解]　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，

∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.

(2)由(1)知f(x)＝－＋，

故f(x)在R上为减函数．

(3)∵f(x)为奇函数，

∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)<f(k－2t2)．

由(2)知f(x)在R上单调递减，

∴t2－2t>k－2t2，

即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，

∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，

∴k的取值范围是.

解决指数函数性质的综合问题的注意点

(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧；

(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行；

(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．　　　　

[跟踪训练]

已知函数f(x)＝·x3.

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)证明：f(x)>0.

解：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，

∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．

令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，

则f(x)＝g(x)·φ(x)．

∵g(－x)＝＝＝－g(x)，

φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，

∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，

∴f(x)＝·x3为偶函数．

(3)证明：当x>0时，2x>1，

∴2x－1>0，∴＋>0.

∵x3>0，∴f(x)>0.

由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.

1．下列判断正确的是(　　)

A．2.52.5＞2.53　　　　 B．0.82＜0.83

C．π2＜π  D．0.90.3＞0.90.5

解析：选D　∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，

∴0.90.3＞0.90.5.

2．函数y＝的单调增区间为(　　)

A．(－∞，＋∞)  B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)  D．(0，1)

解析：选A　由已知得，f(x)的定义域为R.

设u＝1－x，则y＝.

因为u＝1－x在R上为减函数，

又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，

所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，故选A.

3．若函数f(x)＝3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．

C.∪(1，＋∞)  D.

解析：选A　由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A.

4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．

解析：设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x>0时，1－2－x∈(0，1)，所以不等式f(x)<－不成立，即当x>0时，无解；当x<0时，2x－1<－，解得x<－1.

答案：x<－1

5．不等式52>5x＋1的解集是________．

解析：由52>5x＋1得2x2>x＋1，

解得x<－或x>1.

答案：