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【解析版】赣州市瑞金市2022年八年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】赣州市瑞金市2022年八年级上期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省赣州市瑞金市2022学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（）
A． ②③④ B． ①③④ C． ①②④ D． ①②③
2．（3分）下列各运算中，正确的是（）
A． 3a+2a=5a2 B． （﹣3a3）2=9a6 C． a4÷a2=a3 D． （a+2）2=a2+4
3．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是（）
A． 7 B． 4 C． 3 D． 3或7
4．（3分）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形
C． 等腰直角三角形 D． 等边三角形
5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
A． 11 B． 5.5 C． 7 D． 3.5
6．（3分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（）
A． （x+a）（x+a） B． x2+a2+2ax C． （x﹣a）（x﹣a） D． （x+a）a+（x+a）x
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）若分式的值为0，则a的值是．
8．（3分）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=．
9．（3分）点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标是．
10．（3分）已知，a2+a﹣2=3，且a≠0，则a﹣a﹣1=．
11．（3分）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为．
12．（3分）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=75°，则∠EGC的度数为．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PB+PE的最小值是．
14．（3分）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是540°，则原来多边形的边数是．
三、解答题（本题共4小题，第15、16小题各5分，第17、18小题各6分，共22分）
15．化简：．
16．解方程：．
17．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
四、解答题（本题共2小题，每小题0分，共16分）
19．先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足|a+b﹣4|+=0．
20．如图，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
（1）求证：AB∥CQ；
（2）当CQ⊥AQ时，求证：AP⊥BC．
五、解答题（本题共2小题，每小题0分，共18分）
21．为喜迎“平安夜”国光超市在批发市场购买苹果进行销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克12元出售，很快售完，由于苹果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，在“平安夜”当天晚上以每千克20元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的苹果．
（1）求第一次苹果的进价是每千克多少元？
（2）该超市在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
22．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
六、解答题（本题共2小题，第23小题10分，第24小题12分，共22分）
23．（10分）瑞金市政府在一项八一路排水工程超标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付家工程队工程款1.2万元，付乙工程队0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
（B）由乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多6天；
（C）由甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完工
（1）求规定的日期是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪种方案最节省工程款？请说明理由．
24．（12分）（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
江西省赣州市瑞金市2022学年八年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（）
A． ②③④ B． ①③④ C． ①②④ D． ①②③
考点： 轴对称图形．
分析： 利用轴对称图形性质，关于某条直线对称的图形叫轴对称图形得出即可．
解答： 解：只有第4个不是轴对称图形，其它3个都是轴对称图形．
故选：D．
点评： 此题主要考查了轴对称图形的性质，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．（3分）下列各运算中，正确的是（）
A． 3a+2a=5a2 B． （﹣3a3）2=9a6 C． a4÷a2=a3 D． （a+2）2=a2+4
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
分析： 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可．
解答： 解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误；
B、（﹣3a3）2=9a6，原式计算正确，故本选项正确；
C、a4÷a2=a2，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a+2）2=a2+4a+4，原式计算错误，故本选项错误；
故选B．
点评： 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．
3．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是（）
A． 7 B． 4 C． 3 D． 3或7
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 分7是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
解答： 解：①7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、3，
能组成三角形，
所以，第三边为7；
②7是底边时，三角形的三边分别为3、3、7，
∵3+3=6＜7，
∴不能组成三角形，
综上所述，第三边为7．
故选A．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．
4．（3分）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形
C． 等腰直角三角形 D． 等边三角形
考点： 等边三角形的判定．
分析： 根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．
解答： 解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，
即三角形任意一边上的高与中线重合，
∴这个三角形的三边都相等，
∴这个三角形必为等边三角形．
故选D．
点评： 本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
A． 11 B． 5.5 C． 7 D． 3.5
考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
解答： 解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，
S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．
故选B．
点评： 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
6．（3分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（）
A． （x+a）（x+a） B． x2+a2+2ax C． （x﹣a）（x﹣a） D． （x+a）a+（x+a）x
考点： 整式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除错误的表达式．
解答： 解：根据图可知，
S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2，
故选C．
点评： 本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方公式的掌握．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）若分式的值为0，则a的值是3．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 探究型．
分析： 根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
解答： 解：∵分式的值为0，
∴，
解得a=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
8．（3分）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=3（a﹣2b）2．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
解答： 解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．
故答案为：3（a﹣2b）2．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
9．（3分）点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，4）．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
解答： 解：∵点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则P点的坐标是（3，4）．
∴点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，4）
点评： 这一类题目是需要识记的基础题．能够结合平面直角坐标系和对称的性质进行记忆．
10．（3分）已知，a2+a﹣2=3，且a≠0，则a﹣a﹣1=±1．
考点： 负整数指数幂．
分析： 根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得完全平方公式，根据开方运算，可得答案．
解答： 解：由a2+a﹣2=3，得
（a﹣a﹣1）2=3﹣2=1，
开方，得a﹣a﹣1=±1，
故答案为：±1
点评： 本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂得出完全平方公式是解题关键．
11．（3分）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为﹣1．
考点： 因式分解的意义．
专题： 计算题．
分析： 将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
解答： 解：由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
∴k=﹣4，b=3，
则k+b=﹣4+3=﹣1．
故答案为：﹣1
点评： 此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
12．（3分）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=75°，则∠EGC的度数为75°．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 如图，由翻折变换的性质得到∠BDE=∠B′DE（设为α），∠BED=∠B′ED（设为β）；求出2α=105°，
2β=135°，借助三角形外角的性质，即可解决问题．
解答： 解：如图，由题意得：
∠BDE=∠B′DE（设为α），∠BED=∠B′ED（设为β）；
∵∠ADF=75°，
∴2α=180°﹣75°=105°；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，α+β=180°﹣60°=120°；
∴2β=240°﹣2α=135°；
∴∠EGC=2β﹣∠C=135°﹣60°=75°，
故答案为75°．
点评： 该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PB+PE的最小值是3．
考点： 轴对称-最短路线问题；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可．
解答： 解：∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处，
∴点C、E关于AD对称，
∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°﹣30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴AC=CD=，
BC=AC=×=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，翻折变换的性质，解直角三角形，难点在于判断出PB+PE取得最小值时点P与点D重合．
14．（3分）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是540°，则原来多边形的边数是4或5或6．
考点： 多边形内角与外角．
专题： 常规题型．
分析： 先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出新多边形的边数，再根据截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1三种情况解答．
解答： 解：设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°=540°，
解得n=5，
如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，
所以，5﹣1=4，
5+1=6，
所以原来多边形的边数为4或5或6．
故答案为：4或5或6．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式，要注意截去一个角后要分三种情况讨论．
三、解答题（本题共4小题，第15、16小题各5分，第17、18小题各6分，共22分）
15．化简：．
考点： 分式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 将括号中的两项通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，分母提取a分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分后即可得到结果．
解答： 解：（﹣1）÷
=÷
=•
=﹣•
=﹣1．
点评： 此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分．
16．解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 本题考查解分式方程的能力．观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1）．方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．结果需检验．
解答： 解：方程两边分别乘以（x+1）（x﹣1），
得x（x+1）﹣2（x﹣1）=x2﹣1，
x2+x﹣2x+2=x2﹣1，
解得x=3．
检验：当x=3时，（x+1）（x﹣1）≠0
∴x=3是原方程的根．
点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
17．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
考点： 因式分解的应用；整式的加减．
专题： 开放型．
分析： 本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
解答： 解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．
情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
情况三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地2015届中考的常考点．
熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： （1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
解答： 解：（1）①②；①③．
（2）选①③证明如下，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC=∠ACB．
四、解答题（本题共2小题，每小题0分，共16分）
19．先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足|a+b﹣4|+=0．
考点： 分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
解答： 解：原式=÷﹣=•﹣=﹣﹣=﹣=﹣，
∵|a+b﹣4|+=0，
∴，
解得：a=3，b=1，
则原式=﹣=﹣．
点评： 此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
（1）求证：AB∥CQ；
（2）当CQ⊥AQ时，求证：AP⊥BC．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： （1）先证明△ABP≌△ACQ，得出∠ACQ=∠B=60°，从而证出∠ACQ=∠BAC，得出AB∥CQ；
（2）根据CQ⊥AQ，∠AQC=90°，由AB∥CQ，证出∠PAB=30°，证出∠APB=90°即可．
解答： 解：（1）∵△ABC和△APQ是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，AB=AC，AP=AQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACQ=∠BAC，
∴AB∥CQ；
（2）∵CQ⊥AQ，
∴∠AQC=90°，
∵AB∥CQ，
∴∠BAQ+∠AQC=180°，
∴∠BAQ=90°，
∵∠PAQ=60°，
∴∠PAB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BPA=180°﹣（∠PAB+∠ABC）=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC．
点评： 本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；由三角形全等得出相等的角证出平行线，再根据平行线证出角的度数；证明三角形全等是关键．
五、解答题（本题共2小题，每小题0分，共18分）
21．为喜迎“平安夜”国光超市在批发市场购买苹果进行销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克12元出售，很快售完，由于苹果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，在“平安夜”当天晚上以每千克20元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的苹果．
（1）求第一次苹果的进价是每千克多少元？
（2）该超市在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
考点： 分式方程的应用．
分析： （1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果千克，第二次购水果千克，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计，就可以回答问题了．
解答： 解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得：﹣=20，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解；
（2）第一次购水果1200÷6=200（千克）．
第二次购水果200+20=220（千克）．
第一次赚钱为200×（12﹣6）=1200（元）．
第二次赚钱为100×+120×=1748（元）．
所以两次共赚钱1200+1748=2948（元）．
答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了2948元．
点评： 考查了分式方程的应用，本题具有一定的综合性，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
分析： （1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．
解答： 解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．
六、解答题（本题共2小题，第23小题10分，第24小题12分，共22分）
23．（10分）瑞金市政府在一项八一路排水工程超标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付家工程队工程款1.2万元，付乙工程队0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
（B）由乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多6天；
（C）由甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完工
（1）求规定的日期是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪种方案最节省工程款？请说明理由．
考点： 分式方程的应用．
分析： （1）设规定的日期是x天，利用甲乙合作3天的工作总量+乙做（规定天数﹣3）天的工作量=1，列出方程解答问题；
（2）根据已知算出各种方案的价钱之后，再根据题意进行选择．
解答： 解：（1）规定的日期是x天，则甲的工效为，乙的工效为，由题意得
3（+）+=1，
解得：x=6，
经检验x=6是原方程的解，且符合题意．
答：规定的日期是6天．
（2）方案（A）所需时间为6天，所需工程款为1.2×6=7.2（万元）；
方案（B）所需时间为12天，所需工程款为0.5×12=6（万元），延误工期，不可采取；
方案（C）所需时间为6天，所需工程款为1.2×3+0.5×6=6.6（万元）；
所以在不耽误工期的情况下，施工方案（C）最节省工程款．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．
24．（12分）（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为125°．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理．
分析： （1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；
（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；
（3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．
解答： 解：（1）∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．
故答案为125°；
（2）同意．
如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（3）由题意得出：
∠NMF=∠AMN=∠MNF，
∴MF=NF，由对称性可知，
MF=PF，
∴NF=PF，
而由题意得出：MP=MN，MF=MF，
在△MNF和△MPF中，
∵，
∴△MNF≌△MPF（SSS），
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，
即3∠MNF=180°，
∴∠MNF=60°，
点评： 此题的综合性较强，综合运用了折叠的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．
江西省赣州市瑞金市2022学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（）
A． ②③④ B． ①③④ C． ①②④ D． ①②③
2．（3分）下列各运算中，正确的是（）
A． 3a+2a=5a2 B． （﹣3a3）2=9a6 C． a4÷a2=a3 D． （a+2）2=a2+4
3．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是（）
A． 7 B． 4 C． 3 D． 3或7
4．（3分）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形
C． 等腰直角三角形 D． 等边三角形
5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
A． 11 B． 5.5 C． 7 D． 3.5
6．（3分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（）
A． （x+a）（x+a） B． x2+a2+2ax C． （x﹣a）（x﹣a） D． （x+a）a+（x+a）x
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）若分式的值为0，则a的值是．
8．（3分）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=．
9．（3分）点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标是．
10．（3分）已知，a2+a﹣2=3，且a≠0，则a﹣a﹣1=．
11．（3分）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为．
12．（3分）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=75°，则∠EGC的度数为．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PB+PE的最小值是．
14．（3分）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是540°，则原来多边形的边数是．
三、解答题（本题共4小题，第15、16小题各5分，第17、18小题各6分，共22分）
15．化简：．
16．解方程：．
17．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
四、解答题（本题共2小题，每小题0分，共16分）
19．先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足|a+b﹣4|+=0．
20．如图，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
（1）求证：AB∥CQ；
（2）当CQ⊥AQ时，求证：AP⊥BC．
五、解答题（本题共2小题，每小题0分，共18分）
21．为喜迎“平安夜”国光超市在批发市场购买苹果进行销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克12元出售，很快售完，由于苹果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，在“平安夜”当天晚上以每千克20元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的苹果．
（1）求第一次苹果的进价是每千克多少元？
（2）该超市在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
22．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
六、解答题（本题共2小题，第23小题10分，第24小题12分，共22分）
23．（10分）瑞金市政府在一项八一路排水工程超标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付家工程队工程款1.2万元，付乙工程队0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
（B）由乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多6天；
（C）由甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完工
（1）求规定的日期是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪种方案最节省工程款？请说明理由．
24．（12分）（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
江西省赣州市瑞金市2022学年八年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（）
A． ②③④ B． ①③④ C． ①②④ D． ①②③
考点： 轴对称图形．
分析： 利用轴对称图形性质，关于某条直线对称的图形叫轴对称图形得出即可．
解答： 解：只有第4个不是轴对称图形，其它3个都是轴对称图形．
故选：D．
点评： 此题主要考查了轴对称图形的性质，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．（3分）下列各运算中，正确的是（）
A． 3a+2a=5a2 B． （﹣3a3）2=9a6 C． a4÷a2=a3 D． （a+2）2=a2+4
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
分析： 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可．
解答： 解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误；
B、（﹣3a3）2=9a6，原式计算正确，故本选项正确；
C、a4÷a2=a2，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a+2）2=a2+4a+4，原式计算错误，故本选项错误；
故选B．
点评： 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．
3．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是（）
A． 7 B． 4 C． 3 D． 3或7
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 分7是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
解答： 解：①7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、3，
能组成三角形，
所以，第三边为7；
②7是底边时，三角形的三边分别为3、3、7，
∵3+3=6＜7，
∴不能组成三角形，
综上所述，第三边为7．
故选A．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．
4．（3分）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形
C． 等腰直角三角形 D． 等边三角形
考点： 等边三角形的判定．
分析： 根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．
解答： 解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，
即三角形任意一边上的高与中线重合，
∴这个三角形的三边都相等，
∴这个三角形必为等边三角形．
故选D．
点评： 本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
A． 11 B． 5.5 C． 7 D． 3.5
考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
解答： 解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，
S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．
故选B．
点评： 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
6．（3分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（）
A． （x+a）（x+a） B． x2+a2+2ax C． （x﹣a）（x﹣a） D． （x+a）a+（x+a）x
考点： 整式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除错误的表达式．
解答： 解：根据图可知，
S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2，
故选C．
点评： 本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方公式的掌握．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）若分式的值为0，则a的值是3．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 探究型．
分析： 根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
解答： 解：∵分式的值为0，
∴，
解得a=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
8．（3分）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=3（a﹣2b）2．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
解答： 解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．
故答案为：3（a﹣2b）2．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
9．（3分）点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，4）．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
解答： 解：∵点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则P点的坐标是（3，4）．
∴点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，4）
点评： 这一类题目是需要识记的基础题．能够结合平面直角坐标系和对称的性质进行记忆．
10．（3分）已知，a2+a﹣2=3，且a≠0，则a﹣a﹣1=±1．
考点： 负整数指数幂．
分析： 根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得完全平方公式，根据开方运算，可得答案．
解答： 解：由a2+a﹣2=3，得
（a﹣a﹣1）2=3﹣2=1，
开方，得a﹣a﹣1=±1，
故答案为：±1
点评： 本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂得出完全平方公式是解题关键．
11．（3分）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为﹣1．
考点： 因式分解的意义．
专题： 计算题．
分析： 将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
解答： 解：由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
∴k=﹣4，b=3，
则k+b=﹣4+3=﹣1．
故答案为：﹣1
点评： 此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
12．（3分）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=75°，则∠EGC的度数为75°．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 如图，由翻折变换的性质得到∠BDE=∠B′DE（设为α），∠BED=∠B′ED（设为β）；求出2α=105°，
2β=135°，借助三角形外角的性质，即可解决问题．
解答： 解：如图，由题意得：
∠BDE=∠B′DE（设为α），∠BED=∠B′ED（设为β）；
∵∠ADF=75°，
∴2α=180°﹣75°=105°；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，α+β=180°﹣60°=120°；
∴2β=240°﹣2α=135°；
∴∠EGC=2β﹣∠C=135°﹣60°=75°，
故答案为75°．
点评： 该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PB+PE的最小值是3．
考点： 轴对称-最短路线问题；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可．
解答： 解：∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处，
∴点C、E关于AD对称，
∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°﹣30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴AC=CD=，
BC=AC=×=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，翻折变换的性质，解直角三角形，难点在于判断出PB+PE取得最小值时点P与点D重合．
14．（3分）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是540°，则原来多边形的边数是4或5或6．
考点： 多边形内角与外角．
专题： 常规题型．
分析： 先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出新多边形的边数，再根据截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1三种情况解答．
解答： 解：设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°=540°，
解得n=5，
如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，
所以，5﹣1=4，
5+1=6，
所以原来多边形的边数为4或5或6．
故答案为：4或5或6．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式，要注意截去一个角后要分三种情况讨论．
三、解答题（本题共4小题，第15、16小题各5分，第17、18小题各6分，共22分）
15．化简：．
考点： 分式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 将括号中的两项通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，分母提取a分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分后即可得到结果．
解答： 解：（﹣1）÷
=÷
=•
=﹣•
=﹣1．
点评： 此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分．
16．解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 本题考查解分式方程的能力．观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1）．方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．结果需检验．
解答： 解：方程两边分别乘以（x+1）（x﹣1），
得x（x+1）﹣2（x﹣1）=x2﹣1，
x2+x﹣2x+2=x2﹣1，
解得x=3．
检验：当x=3时，（x+1）（x﹣1）≠0
∴x=3是原方程的根．
点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
17．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
考点： 因式分解的应用；整式的加减．
专题： 开放型．
分析： 本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
解答： 解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．
情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
情况三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地2015届中考的常考点．
熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： （1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
解答： 解：（1）①②；①③．
（2）选①③证明如下，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC=∠ACB．
四、解答题（本题共2小题，每小题0分，共16分）
19．先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足|a+b﹣4|+=0．
考点： 分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
解答： 解：原式=÷﹣=•﹣=﹣﹣=﹣=﹣，
∵|a+b﹣4|+=0，
∴，
解得：a=3，b=1，
则原式=﹣=﹣．
点评： 此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
（1）求证：AB∥CQ；
（2）当CQ⊥AQ时，求证：AP⊥BC．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： （1）先证明△ABP≌△ACQ，得出∠ACQ=∠B=60°，从而证出∠ACQ=∠BAC，得出AB∥CQ；
（2）根据CQ⊥AQ，∠AQC=90°，由AB∥CQ，证出∠PAB=30°，证出∠APB=90°即可．
解答： 解：（1）∵△ABC和△APQ是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，AB=AC，AP=AQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACQ=∠BAC，
∴AB∥CQ；
（2）∵CQ⊥AQ，
∴∠AQC=90°，
∵AB∥CQ，
∴∠BAQ+∠AQC=180°，
∴∠BAQ=90°，
∵∠PAQ=60°，
∴∠PAB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BPA=180°﹣（∠PAB+∠ABC）=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC．
点评： 本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；由三角形全等得出相等的角证出平行线，再根据平行线证出角的度数；证明三角形全等是关键．
五、解答题（本题共2小题，每小题0分，共18分）
21．为喜迎“平安夜”国光超市在批发市场购买苹果进行销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克12元出售，很快售完，由于苹果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，在“平安夜”当天晚上以每千克20元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的苹果．
（1）求第一次苹果的进价是每千克多少元？
（2）该超市在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
考点： 分式方程的应用．
分析： （1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果千克，第二次购水果千克，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计，就可以回答问题了．
解答： 解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得：﹣=20，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解；
（2）第一次购水果1200÷6=200（千克）．
第二次购水果200+20=220（千克）．
第一次赚钱为200×（12﹣6）=1200（元）．
第二次赚钱为100×+120×=1748（元）．
所以两次共赚钱1200+1748=2948（元）．
答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了2948元．
点评： 考查了分式方程的应用，本题具有一定的综合性，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
分析： （1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．
解答： 解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．
六、解答题（本题共2小题，第23小题10分，第24小题12分，共22分）
23．（10分）瑞金市政府在一项八一路排水工程超标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付家工程队工程款1.2万元，付乙工程队0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
（B）由乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多6天；
（C）由甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完工
（1）求规定的日期是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪种方案最节省工程款？请说明理由．
考点： 分式方程的应用．
分析： （1）设规定的日期是x天，利用甲乙合作3天的工作总量+乙做（规定天数﹣3）天的工作量=1，列出方程解答问题；
（2）根据已知算出各种方案的价钱之后，再根据题意进行选择．
解答： 解：（1）规定的日期是x天，则甲的工效为，乙的工效为，由题意得
3（+）+=1，
解得：x=6，
经检验x=6是原方程的解，且符合题意．
答：规定的日期是6天．
（2）方案（A）所需时间为6天，所需工程款为1.2×6=7.2（万元）；
方案（B）所需时间为12天，所需工程款为0.5×12=6（万元），延误工期，不可采取；
方案（C）所需时间为6天，所需工程款为1.2×3+0.5×6=6.6（万元）；
所以在不耽误工期的情况下，施工方案（C）最节省工程款．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．
24．（12分）（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为125°．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理．
分析： （1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；
（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；
（3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．
解答： 解：（1）∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．
故答案为125°；
（2）同意．
如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（3）由题意得出：
∠NMF=∠AMN=∠MNF，
∴MF=NF，由对称性可知，
MF=PF，
∴NF=PF，
而由题意得出：MP=MN，MF=MF，
在△MNF和△MPF中，
∵，
∴△MNF≌△MPF（SSS），
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，
即3∠MNF=180°，
∴∠MNF=60°，
点评： 此题的综合性较强，综合运用了折叠的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．
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