【解析版】北京市西城区2022学年八年级下期末数学试卷

这是一份【解析版】北京市西城区2022学年八年级下期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市西城区2022学年八年级（下）期末数学试卷　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． （2015春•西城区期末）下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形．
故选B．
点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
　
2． （2015春•西城区期末）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
　 A． 2，2，3 B． 3，4，5 C． 5，12，13 D． 1，，

考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 欲判断是否能构成直角三角形，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
解答： 解：A、22+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、32+42=52，能构成直角三角形，此选项不合题意；
C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，此选项不合题意．
故选：A．
点评： 此题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
　
3． （2013•黔西南州）已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（　　）
　 A． 100° B． 160° C． 80° D． 60°

考点： 平行四边形的性质．
分析： 由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∴∠B=180°﹣∠A=80°．
故选C．

点评： 此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．
　
4． （2015春•西城区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（　　）

　 A． 4 B． C． 3 D． 5

考点： 矩形的性质．
分析： 先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD=4，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=4；
故选：A．
点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
　
5． （2012•铜仁地区）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（　　）

　 A． 2 B． ﹣2 C． 4 D． ﹣4

考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 数形结合．
分析： 根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积即可解答．
解答： 解：因为图象在第二象限，
所以k＜0，
根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|=2×2=4，
所以k=﹣4．
故选D．
点评： 本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．
　
6． （2015春•西城区期末）某篮球兴趣小组有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示．这15名同学进球数的众数和中位数分别是（　　）

　 A． 10，7 B． 7，7 C． 9，9 D． 9，7

考点： 众数；条形统计图；中位数．
分析： 根据众数与中位数的定义分别进行解答即可．
解答： 解：由条形统计图给出的数据可得：9出现了6次，出现的次数最多，则众数是9；
把这组数据从小到达排列，最中间的数是7，则中位数是7．
故选D．
点评： 此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
　
7． （2014•绵阳）下列命题中正确的是（　　）
　 A． 对角线相等的四边形是矩形
　 B． 对角线互相垂直的四边形是菱形
　 C． 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
　 D． 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

考点： 命题与定理．
分析： 根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
解答： 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
　
8． （2015春•西城区期末）某小区2014年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2016年屋顶绿化面积要达到2880平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x，则依题意所列方程正确的是（　　）
　 A． 2000（1+x）2=2880 B． 2000（1﹣x）2=2880
　 C． 2000（1+2x）=2880 D． 2000x2=2880

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
解答： 解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：
2000（1+x）2=2880．
故选A．
点评： 此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1﹣x）2=b（a＞b）．
　
9． （2015春•西城区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（　　）
　 A． 10 B． C． 10或 D． 14

考点： 勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解答： 解：设第三边为x，
①当8是斜边，则62+82=x2解得x=10，
②当8是直角边，则62+x2=82，
解得x=2 ．
∴第三边长为10或2．
故选C．
点评： 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
　
10． （2015春•西城区期末）如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB=90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAB的大小是（　　）

　 A． 75° B． 45° C． 30° D． 15°

考点： 点与圆的位置关系；圆周角定理．
分析： 利用圆周角定理结合点到直线的距离得出C′在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，进而得出答案．
解答： 解：如图所示：
∵AB长一定，
∴只有C点距离AB距离最大，则CD的长度最大，
∴只有C点在C′位置，即C′在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，
故此时AC′=BC′，
∴∠C′AB的大小是45°．
故选：B．

点评： 此题主要考查了圆周角定理以及点到直线的距离，得出C点位置是解题关键．
　
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11． （2015春•西城区期末）若x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为　﹣11　．

考点： 一元二次方程的解．
分析： 先把x=2代入方程，可得关于m的一元一次方程，解即可．
解答： 解：把x=2代入方程，得
4+6+m+1=0，
解得m=﹣11．
故答案是：﹣11．
点评： 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入并正确的计算，难度不大．
　
12． （2014•成都）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是　64　m．


考点： 三角形中位线定理．
专题： 应用题．
分析： 根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
解答： 解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，
∴MN=AB，
∴AB=2MN=2×32=64（m）．
故答案为：64．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．
　
13． （2015春•西城区期末）2015年8月22日，世界田径锦标赛将在北京举行，甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备．在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.6秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.07，0.03，0.05，0.02．则当天这四位运动员中“110米跨栏”的训练成绩最稳定运动员的是　丁　．

考点： 方差．
分析： 首先根据题意，分别出甲、乙、丙、丁的成绩的方差的大小关系，然后根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出当天这四位运动员中“110米跨栏”的训练成绩最稳定运动员的是谁即可．
解答： 解：因为0.02＜0.03＜0.05＜0.07，
所以甲、乙、丙、丁的成绩的方差最小的是丁，
所以当天这四位运动员中“110米跨栏”的训练成绩最稳定运动员的是丁．
故答案为：丁．
点评： 此题主要考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
　
14． （2015春•西城区期末）双曲线y=经过点A（2，y1）和点B（3，y2），则y1　＞　 y2．（填“＞”、“＜”或“=”）

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 直接利用反比例函数的增减性得出y1，y2的大小关系．
解答： 解：∵双曲线y=经过点A（2，y1）和点B（3，y2），k=2＞0，
∴每个象限内y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．
　
15． （2015春•绿园区期末）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD=　10　．


考点： 平行四边形的性质．
分析： 利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
解答： 解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO==5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
点评： 本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
　
16． （2015春•西城区期末）将一元二次方程x2+8x+3=0化成（x+a）2=b的形式，则a+b的值为　17　．

考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： 方程移项变形后，利用完全平方公式配方得到结果，求出a与b的值，即可求出a+b的值．
解答： 解：方程x2+8x+3=0，
移项得：x2+8x=﹣3，
配方得：x2+8x+16=13，即（x+4）2=13，
可得a=4，b=13，
则a+b=13+4=17．
故答案为：17．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
　
17． （2015春•西城区期末）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转30°得到▱AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，则∠DAB′=　75　°．


考点： 旋转的性质；平行四边形的性质．
分析： 根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出答案即可．
解答： 解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）÷2=75°，
∴∠DAB′=75°．
故答案为：75．
点评： 此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题关键．
　
18． （2015春•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，OA=1，∠AOC=60°．当菱形OABC开始以每秒转动60度的速度绕点O逆时针旋转时，动点P同时从点O出发，以每秒1个单位的速度沿菱形OABC的边逆时针运动．当运动时间为1秒时，点P的坐标是　（0，﹣1）　；当运动时间为2015秒时，点P的坐标是　（0，0）　．


考点： 坐标与图形变化-旋转；菱形的性质．
专题： 规律型．
分析： 根据旋转的性质得出每5秒一个循环，利用点P的坐标的规律进行解答即可．
解答： 解：当运动时间为1秒时，菱形边OA在y的负半轴上，此时点P运动到A点，
所以点P的坐标是（0，﹣1）；
因为第2秒点P运动到B处，此时点P的坐标为（0，﹣）；
第3秒点P运动到C处，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；
第4秒点P运动到D处，此时点P的坐标为（﹣，）；
第5秒点P运动到O处，此时点P的坐标为（0，0）；
第6秒点P运动到A处，此时点P的坐标为（0，﹣1）；
所以2015÷5=403，
所以点P的坐标为（0，0），
故答案为：（0，﹣1）；（0，0）
点评： 此题考查旋转与坐标，关键是根据旋转的性质得出旋转的规律．
　
三、解答题（本题共20分，第19题10分，其余每小题10分）
19．（10分）（2015春•西城区期末）解方程：
（1）（x﹣5）2﹣9=0；
（2）x2+2x﹣6=0．

考点： 解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．
专题： 计算题．
分析： （1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
解答： 解：（1）方程整理得：（x﹣5）2=9，
开方得：x﹣5=±3，即x﹣5=3，或x﹣5=﹣3，
解得：x1=8，x2=2；
（2）这里a=1，b=2，c=﹣6，
∵△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣6）=28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
则x=﹣1±．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
　
20．（5分）（2015春•西城区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）连接AF，CE，若∠AFE=∠CFE，求证：四边形AFCE是菱形．


考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法（AAS），得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而求出四边形AFCE是平行四边形．，再利用菱形的判定方法得出答案．
解答： 证明：（1）如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠1=∠2，
∵AE∥CF，
∴∠3=∠4，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（AAS）；

（2）∵△AEB≌△CFD，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵∠5=∠4，∠3=∠4，
∴∠5=∠3．
∴AF=AE．
∴四边形AFCE是菱形．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
　
21．（5分）（2015春•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）BC与B1C1的位置关系是　平行　，AA1的长为　2　；
（3）若点P（a，b）是△ABC 一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为　（﹣a，﹣b）　．


考点： 作图-旋转变换．
专题： 作图题．
分析： （1）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1即可；
（2）利用中心对称的性质得到BC与B1C1的位置关系，利用两点间的距离公式求出AA1的长即可；
（3）利用中心对称图形的性质确定出P1的坐标即可．
解答： 解：（1）根据题意画出△A1B1C1，如图所示；
（2）由题意得：BC∥B1C1，AA1==2；
（3）利用中心对称图形性质得：点P经过上述变换后的对应点P1的坐标为（﹣a，﹣b）．
故答案为：（2）平行，2；（2）（﹣a，﹣b）

点评： 此题考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．
　
四、解答题（本题共12分，每小题6分）
22．（6分）（2015春•西城区期末）“中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字工作委员会联合主办的节目，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注对汉字文化的学习．某校也开展了一次“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写40个汉字．比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数x绘制成了以下不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）本次共随机抽取了　50　名学生进行调查，听写正确的汉字个数x在　21≤x＜31　范围的人数最多；
（2）补全频数分布直方图；
（3）各组的组中值如下表所示．若用各组的组中值代表各组每位学生听写正确的汉字个数，求被调查学生听写正确的汉字个数的平均数；
听写正确的汉字个数x 组中值
1≤x＜11 6
11≤x＜21 16
21≤x＜31 26
31≤x＜41 36
（4）该校共有1350名学生，如果听写正确的汉字个数不少于21个定为良好，请你估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数．

考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数．
分析： （1）根据31≤x＜41一组的人数是10，所占的百分比是20%即可求得调查的总人数，根据扇形统计图中每个扇形的圆心角的大小即可判断哪个范围的人数最多；
（2）根据被百分比的意义即可求得11≤x＜21一组的人数，进而求得21≤x＜31一组的人数，从而补全直方图；
（3）利用加权平均数公式即可求解；
（4）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
解答： 解：（1）抽取的学生总数是10÷20%=50（人），听写正确的汉字个数21≤x＜31范围内的人数最多，
故答案是：50，21≤x＜31；
（2）11≤x＜21一组的人数是：50×30%=15（人），
21≤x＜31一组的人数是：50﹣5﹣15﹣10=20．
；
（3）
=23（个）．
答：被调查学生听写正确的汉字个数的平均数是23个．
（4）（人）．
答：估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数约为810人．
点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
　
23．（6分）（2015春•西城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．

考点： 根的判别式．
分析： （1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）找出m范围中的正整数解确定出m的值，经检验即可得到满足题意m的值．
解答： 解：（1）∵一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（2m+2）2﹣4×1×（m2﹣4）=8m+20＞0，
∴；

（2）∵m为负整数，
∴m=﹣1或﹣2，
当m=﹣1时，方程x2﹣3=0的根为：，（不是整数，不符合题意，舍去），
当m=﹣2时，方程x2﹣2x=0的根为x1=0，x2=2都是整数，符合题意．
综上所述 m=﹣2．
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．
　
五、解答题（本题共14分，每小题7分）
24．（7分）（2015春•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣）在直线y=﹣上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y=经过点B．
（1）求a的值及双曲线y=的解析式；
（2）经过点B的直线与双曲线y=的另一个交点为点C，且△ABC的面积为．
①求直线BC的解析式；
②过点B作BD∥x轴交直线y=﹣于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．


考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得到﹣a﹣=，解得a=2，则A（2，﹣），再确定点B的坐标为（2，1），然后把B点坐标代入y=中求出m的值即可得到反比例函数的解析式；
（2）①设C（t，），根据三角形面积公式得到×（2﹣t）×（1+）=，解得t=﹣1，则点C的坐标为（﹣1，﹣2），再利用待定系数法求直线BC的解析式；
②先确定D（﹣1，1），根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD∥x轴，于是得到∠DBC=45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P（，﹣）；若∠BDP=90°，利用PD∥y轴，易得此时P（﹣1，﹣2）．
解答： 解：（1）∵点A（a，）在直线y=﹣上，
∴﹣a﹣=，解得a=2，
则A（2，﹣），
∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，
∴点B的坐标为（2，1）．
∵双曲线y=经过点B（2，1），
∴m=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）①设C（t，），
∵A（2，﹣），B（2，1），
∴×（2﹣t）×（1+）=，
解得t=﹣1，
∴点C的坐标为（﹣1，﹣2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（2，1），C（﹣1，﹣2）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣1；
②当y=1时，﹣=1，解得x=﹣1，则D（﹣1，1），
∵直线BCy=x﹣1为直线y=x向下平移1个单位得到，
∴直线BC与x轴的夹角为45°，
而BD∥x轴，
∴∠DBC=45°，
当△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，
若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为，当x=时，y=x﹣1=﹣，此时P（，﹣），
若∠BDP=90°，则PD∥y轴，P点的横坐标为﹣1，当x=﹣1时，y=x﹣1=﹣2，此时P（﹣1，﹣2），
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣2）或（，）．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．
　
25．（7分）（2015春•西城区期末）已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．

（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是　ME=MC　，∠EMC=　120　°；
（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论；
②求∠EMC的度数．

考点： 四边形综合题．
分析： （1）首先根据∠BEF=90°，可得∠DEF=90°，再根据点M是DF的中点，可得ME=MD，同理，可得MC=MD，据此推得ME=MC即可；然后判断出∠EMF=2∠MDE，∠CMF=2∠MDC，即可判断出∠EMC=∠EMF+∠CMF=2∠BDC，再根据∠DBC=30°，求出∠BDC的度数，即可求出∠EMC的度数是多少．
（2）①首先根据全等三角形判定的方法，判断出△FEM≌△DGM，即可判断出EM=GM；然后在Rt△GEC中，CM=EG=EM，据此判断出ME=MC即可．
②首先分别延长FE，DB交于点H，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△FEB≌△HEB，即可判断出FE=HE；再根据FM=MD，可得EM∥HD，据此求出∠7的度数是多少；最后根据ME=MC，求出∠EMC的度数是多少即可．
解答： 解：（1）如图1，
，
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵点M是DF的中点，
∴ME=MD，
∵∠BCD=90°，点M是DF的中点，
∴MC=MD，
∴ME=MC；
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∴∠EMF=∠MDE+∠MED=2∠MDE，
∵MC=MD，
∴∠MDC=∠MCD，
∴∠CMF=∠MDC+∠MCD=2∠MDC，
∴∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，
又∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°﹣30°=60°，
∴∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°．

（2）①ME=MC仍然成立．
证明：如图2，分别延长EM，CD交于点G，
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°．
∵∠BEF=90°，
∴∠FEB+∠DCB=180°．
∵点E在CB的延长线上，
∴FE∥DC．
∴∠1=∠G．
∵M是DF的中点，
∴FM=DM．
在△FEM和△DGM中，
，
∴△FEM≌△DGM，
∴ME=GM，
∴在Rt△GEC中，
MC=EG=ME，
∴ME=MC．
②如图3，分别延长FE，DB交于点H，
，
∵∠4=∠5，∠4=∠6，
∴∠5=∠6．
∵点E在直线FH上，∠FEB=90°，
∴∠HEB=∠FEB=90°．
在△FEB和△HEB中，
，
∴△FEB≌△HEB．
∴FE=HE．
∵FM=MD，
∴EM∥HD，
∴∠7=∠4=30°，
∵ME=MC，
∴∠7=∠8=30°，
∴∠EMC=180°﹣∠7﹣∠8=180°﹣30°﹣30°=120°．
故答案为：ME=MC，120．
点评： （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．
（2）此题还考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
　
一、填空题（本题6分）
26．（6分）（2015春•西城区期末）若一个三角形的三条边满足：一边等于其他两边的平均数，我们称这个三角形为“平均数三角形”．
（1）下列各组数分别是三角形的三条边长：
①5，7，5； ②3，3，3； ③6，8，4； ④1，，2．
其中能构成“平均数三角形”的是　②③　；（填写序号）
（2）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．若△ABC既是“平均数三角形”，又是直角三角形，则的值为　　．

考点： 勾股定理．
专题： 新定义．
分析： （1）根据平均数三角形的定义验证即可得问题答案；
（2）由△ABC是“平均数三角形”，可得b=，又是直角三角形由勾股定理可得：a2+b2=c2，进而可求出的值．
解答： 解：（1）由“平均数三角形”的概念可知②中3=满足条件；③中6=满足条件；其他不符合题意，
故答案为：②③
（2）∵△ABC是“平均数三角形”，且a＜b＜c，
∴b=①，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2=c2②，
由①②可知：=，
故答案为：．
点评： 本题考查了勾股定理的运用以及对新定义题目的解答，是中考常见题型，此类题目难度不大，解题的关键是正确理解题目给出的：“新定义”．
　
二、解答题（本题共14分，每小题7分）
27．（7分）（2015春•西城区期末）阅读下列材料：
某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x，点A（1，t）在反比例函数（x＞0）的图象上，求点A到直线l的距离．
如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离．
请回答：
图1中，AD=　4　，点A到直线l的距离=　2　．
参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x，点M（a，b）是反比例函数（x＞0）的图象上的一个动点，且点M在第一象限，设点M到直线l的距离为d．

（1）如图2，若a=1，d=，则k=　9　；
（2）如图3，当k=8时，
①若d=，则a=　2或4　；
②在点M运动的过程中，d的最小值为　4　．

考点： 反比例函数综合题．
专题： 综合题．
分析： 把x=1代入反比例解析式求出t的值，确定出A的坐标，进而确定出AC的长，把x=1代入y=﹣x求出y的值，确定出CD的长，由AC+CD求出AD的长；利用等腰直角三角形的性质求出点A到直线l的距离即可；
（1）根据题意得到三角形BMD为等腰直角三角形，由MB与BD的长求出MD的长，把x=1代入y=﹣x求出CD的长，由MD﹣CD求出MC的长，即可确定出k的值；
（2）①把M坐标代入反比例解析式得到ab=8（i）；同理表示出MD=a+b=6（ii），联立即可求出a与b的值；②把M坐标代入反比例解析式得到ab=8，根据①得到MD=a+b，利用基本不等式求出MD的最小值，即可确定出BM的最小值，即为d的最小值．
解答： 解：图1中，把x=1代入反比例解析式得：t=3，即A（1，3），即AC=3，
把x=1代入y=﹣x得：y=﹣1，即CD=1，
∴AD=AC+CD=3+1=4，点A到直线l的距离AB=×4=2；
（1）由题意得：△MBD为等腰直角三角形，
∴MB=BD=MD=5，即MD=10，
把x=1代入y=﹣x得：y=﹣1，即CD=1，
∴MC=9，
则k=1×9=9；
（2）①由k=8，得到ab=8（i），
如图2所示，得到BM=BD=AD=3，即AD=6，
把x=a代入y=﹣x得：b=﹣a，即MD=MC+CD=b+a=6（ii），
联立（i）（ii）得：a=2，b=4或a=4，b=2，
则a=2或4；
②由题意得：ab=8，
∵a+b≥2=4，
∴MD的最小值为4，
则BM的最小值为4，即d的最小值为4．
故答案为：4；2；（1）9；（2）①2或4；②4

点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
　
28．（7分）（2015春•西城区期末）已知：四边形ABCD是正方形，E是AB边上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF．

（1）如图1，求证：DE=DF；
（2）若点D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交直线AB于点P．
①在图2中依题意补全图形；
②求证：E为AP的中点；
（3）如图3，连接AC交EF于点M，求的值．

考点： 四边形综合题．
分析： （1）根据正方形的性质和DF⊥DE，证明△DAE≌△DCF，得到DE=DF．
（2）①根据题意补全图形；
②连接HE，HF，由点H与点D关于直线EF对称，所以EH=ED，FH=FD．因为DE=DF，所以EH=FH=ED=FD．即四边形DEHF是菱形．由∠EDF=90°，得到四边形DEHF是正方形，利用正方形的性质证明△HPE≌△HCF，得到PE=CF，所以AE=PE，得到点E是AP的中点．
（3）过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，利用正方形的性质证明△AEM≌△GFM，得到AM=GM，所以AG=2AM，利用勾股定理在Rt△ABC中，得到AB，同理，在Rt△CFG中，，所以，所以，即可解答．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAE=∠ADC=∠DCB=90°．
∴∠DCF=180°﹣90°=90°．
∴∠DAE=∠DCF．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∵∠ADE+∠CDE=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△DAE和△DCF中，

∴△DAE≌△DCF．
∴DE=DF．
（2）①所画图形如图2所示．

②连接HE，HF，如图3．

∵点H与点D关于直线EF对称，
∴EH=ED，FH=FD．
∵DE=DF，
∴EH=FH=ED=FD．
∴四边形DEHF是菱形．
∵∠EDF=90°，
∴四边形DEHF是正方形．
∴∠DEH=∠EHF=∠HFD=90°．
∴∠AED+∠PEH=90°，∠HFC+∠DFC=90°．
∵△DAE≌△DCF，
∴∠AED=∠DFC，AE=CF．
∴∠PEH=∠HFC．
∵PH⊥CH，
∴∠PHC=90°．
∵∠PHE+∠EHC=90°，∠EHC+∠FHC=90°，
∴∠PHE=∠PHC．
在△HPE和△HCF中，
，
∴△HPE≌△HCF．
∴PE=CF．
∴AE=PE．
∴点E是AP的中点．
（3）过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，如图4．

则∠GFC=90°．
∵正方形ABCD中，∠B=90°，
∴∠GFC=∠B．
∴AB∥GF．
∴∠BAC=∠G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=90°=45°．
∴∠BAC=∠BCA=∠FCG=∠G=45°．
∴FC=FG．
∵△DAE≌△DCF，
∴AE=CF．
∴AE=FG．
在△AEM和△GFM中，
，
∴△AEM≌△GFM．
∴AM=GM．
∴AG=2AM，
在Rt△ABC中，．
同理，在Rt△CFG中，．
∴．
∴．
∴．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，勾股定理的应用，对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．