【解析版】费县梁邱一中2022年九年级上期中数学试卷
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这是一份【解析版】费县梁邱一中2022年九年级上期中数学试卷,共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022学年山东省临沂市费县梁邱一中九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下面有4个汽车标志图案,其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列函数中,不是二次函数的是( )
A.y=1﹣x2 B.y=2(x﹣1)2+4 C.y=(x﹣1)(x+4) D.y=(x﹣2)2﹣x2
3.下列方程中是一元二次方程的是( )
A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0
4.对抛物线:y=﹣x2+2x﹣3而言,下列结论正确的是( )
A.与x轴有两个交点 B.开口向上
C.与y轴的交点坐标是(0,3) D.顶点坐标是(1,﹣2)
5.若点A(n,2)与B(﹣3,m)关于原点对称,则n﹣m等于( )
A.﹣1 B.﹣5 C.1 D.5
6.将一元二次方程(3x﹣2)(x+1)=x(2x﹣1)化成一般形式后,它的一次项系数是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.﹣1
7.方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况是( )
A.有两个不等实数根 B.有两个相等实数根
C.无实数根 D.无法判定
8.⊙O的半径r=5cm,圆心到直线l的距离OM=4cm,在直线l上有一点P,且PM=3cm,则点P( )
A.在⊙O内 B.在⊙O上
C.在⊙O外 D.可能在⊙O上或在⊙O内
9.(3分)(2013•衡阳)如图,在⊙O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于( )
A.50° B.80° C.90° D.100°
10.在同一坐标系内,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每题3分,共30分)
11.方程(x+5)(x+7)=﹣26,化为一般形式为 .
12.如图,将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC.现给出下列命题:
①四边形ABCD是菱形;
②四边形ABCD是中心对称图形;
③四边形ABCD是轴对称图形;
④AC=BD.
其中正确的是 (写上正确的序号).
13.设一元二次方程x2﹣6x+4=0的两实根分别为x1和x2,则x1+x2= ,x1•x2= .
14.点A(﹣2,b)与点B(a,4)关于y轴对称,则a+b= .
15.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作⊙O的切线,切点为C,若∠A=25°,则∠D= 度.
16.如图,⊙O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∠DOE=120°,∠EOF=110°,则∠A= ,∠B= ,∠C= .
17.关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0,则m= .
18.△ABC内接于⊙O,∠ACB=36°,那么∠AOB的度数为
.
19.已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数图象的关系式是 .
20.如图,Rt△ABC分别绕直角边AB,BC旋转一周,旋转后得到的两个圆锥的母线长分别为 .
三、解答题(共60分)
21.解下列方程:
(1)x2+4x﹣1=0(用配方法);
(2)x(x+4)=﹣3(x+4)
22.已知:如图,AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AD平行于OC.求证:DC是⊙O的切线.
23.如图所示,要把破残的圆片复制完整.已知弧上的三点A、B、C.
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=8cm,腰AB=5cm.求圆片的半径R.
24.如图,在⊙O中,弦AB与DC相交于E,且AE=EC,求证:AD=BC.
25.已知平面直角坐标系中三点的坐标分别为:A(4、4),B(﹣2,2),C(3,0)
(1)画出它的以原点O为对称中心的△AˊBˊCˊ;
(2)写出 Aˊ,Bˊ,Cˊ三点的坐标.
26.如图所示,在一块长为32米,宽为15米的矩形草地上,在中间要设计﹣横二竖的等宽的、供居民散步的小路,要使小路的面积是草地总面积的八分之一,请问小路的宽应是多少米?
27.如图,已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求△APC的面积.
2022学年山东省临沂市费县梁邱一中九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下面有4个汽车标志图案,其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
考点: 中心对称图形.
专题: 常规题型.
分析: 根据中心对称图形的概念:把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,由此结合各图形的特点求解.
解答: 解:根据中心对称的定义可得:A、B、C都不符合中心对称的定义.
故选D.
点评: 本题考查中心对称的定义,属于基础题,注意掌握基本概念.
2.下列函数中,不是二次函数的是( )
A.y=1﹣x2 B.y=2(x﹣1)2+4 C.y=(x﹣1)(x+4) D.y=(x﹣2)2﹣x2
考点: 二次函数的定义.
分析: 利用二次函数的定义,整理成一般形式就可以解答.
解答: 解:A、y=1﹣x2=﹣x2+1,是二次函数,正确;
B、y=2(x﹣1)2+4=2x2﹣4x+6,是二次函数,正确;
C、y=(x﹣1)(x+4)=x2+x﹣2,是二次函数,正确;
D、y=(x﹣2)2﹣x2=﹣4x+4,是一次函数,错误.
故选D.
点评: 本题考查二次函数的定义.
3.下列方程中是一元二次方程的是( )
A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0
考点: 一元二次方程的定义.
专题: 推理填空题.
分析: 根据一元二次方程的定义:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数是2次得整式方程,即可判断答案.
解答: 解:根据一元二次方程的定义:A、是二元二次方程,故本选项错误;
B、是分式方程,不是整式方程,故本选项错误;
C、是一元二次方程,故本选项正确;
D、当a b c是常数,a≠0时,方程才是一元二次方程,故本选项错误;
故选C.
点评: 本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解,关键是知道一元二次方程含有3个条件:①整式方程,②含有一个未知数,③所含未知数的项的次数是1次.
4.对抛物线:y=﹣x2+2x﹣3而言,下列结论正确的是( )
A.与x轴有两个交点 B.开口向上
C.与y轴的交点坐标是(0,3) D.顶点坐标是(1,﹣2)
考点: 二次函数的性质;抛物线与x轴的交点.
专题: 计算题.
分析: 根据△的符号,可判断图象与x轴的交点情况,根据二次项系数可判断开口方向,令函数式中x=0,可求图象与y轴的交点坐标,利用配方法可求图象的顶点坐标.
解答: 解:A、∵△=22﹣4×(﹣1)×(﹣3)=﹣8<0,抛物线与x轴无交点,本选项错误;
B、∵二次项系数﹣1<0,抛物线开口向下,本选项错误;
C、当x=0时,y=﹣3,抛物线与y轴交点坐标为(0,﹣3),本选项错误;
D、∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣(x﹣1)2﹣2,∴抛物线顶点坐标为(1,﹣2),本选项正确.
故选D.
点评: 本题考查了抛物线的性质与解析式的关系.关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系.
5.若点A(n,2)与B(﹣3,m)关于原点对称,则n﹣m等于( )
A.﹣1 B.﹣5 C.1 D.5
考点: 关于原点对称的点的坐标.
专题: 计算题.
分析: 本题比较容易,考查平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数.根据点A和点B关于原点对称就可以求出n,m的值.
解答:解:∵点A(n,2)与B(﹣3,m)关于原点对称,
∴n=3,m=﹣2,
∴n﹣m=3﹣(﹣2)=5.
故选D.
点评: 这一类题目是需要识记的基础题,解决的关键是对知识点的正确记忆.
6.将一元二次方程(3x﹣2)(x+1)=x(2x﹣1)化成一般形式后,它的一次项系数是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.﹣1
考点: 一元二次方程的一般形式.
专题: 计算题.
分析: 先去括号,再移项合并得到x2+2x﹣2=0,然后根据一元二次方程的一般式有关定义进行判断.
解答: 解:去括号得3x2+3x﹣2x﹣2=2x2﹣x,
移项得3x2+3x﹣2x﹣2﹣2x2+x=0,
合并得x2+2x﹣2=0,
所以一元二次方程的一次项系数为2.
故选B.
点评: 本题考查了一元二次方程的一般式:一元二次方程的一般式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,且a≠0),其中a叫二次项系数,b叫一次项系数,c为常数项.
7.方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况是( )
A.有两个不等实数根 B.有两个相等实数根
C.无实数根 D.无法判定
考点: 根的判别式.
专题: 计算题.
分析: 把a=1,b=﹣2,c=﹣1代入△=b2﹣4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.
解答: 解:∵a=1,b=﹣2,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
故选A.
点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根.
8.⊙O的半径r=5cm,圆心到直线l的距离OM=4cm,在直线l上有一点P,且PM=3cm,则点P( )
A.在⊙O内 B.在⊙O上
C.在⊙O外 D.可能在⊙O上或在⊙O内
考点: 点与圆的位置关系.
分析: 由条件计算出OP的长度与半径比较大小即可.
解答: 解:由题意可知△OPM为直角三角形,且PM=3,OM=4,
由勾股定理可求得OP=5=r,
故点P在⊙O上,
故选B.
点评: 本题主要考查点和圆的位置关系的判定,只要计算出P点到圆心的距离再与半径比较大小即可.
9.(3分)(2013•衡阳)如图,在⊙O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于( )
A.50° B.80° C.90° D.100°
考点: 圆周角定理.
分析: 因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍,即∠AOC=2∠ABC=100°.
解答: 解:∵∠ABC=50°,
∴∠AOC=2∠ABC=100°.
故选D.
点评: 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
10.在同一坐标系内,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是( )
A. B. C. D.
考点: 二次函数的图象;一次函数的图象.
分析: 令x=0,求出两个函数图象在y轴上相交于同一点,再根据抛物线开口方向向上确定出a>0,然后确定出一次函数图象经过第一三象限,从而得解.
解答: 解:x=0时,两个函数的函数值y=b,
所以,两个函数图象与y轴相交于同一点,故B、D选项错误;
由A、C选项可知,抛物线开口方向向上,
所以,a>0,
所以,一次函数y=ax+b经过第一三象限,
所以,A选项错误,C选项正确.
故选C.
点评: 本题考查了二次函数图象,一次函数的图象,应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.
二、填空题(每题3分,共30分)
11.方程(x+5)(x+7)=﹣26,化为一般形式为 x2﹣2x﹣9=0 .
考点: 一元二次方程的一般形式.
分析: 一元二次方程的一般式:ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数).把方程(x+5)(x﹣7)=﹣26先去括号,再移项,最后合并即可.
解答: 解:去括号,移项得,x2﹣7x+5x﹣35+26=0,
合并得,x2﹣2x﹣9=0.
所以方程(x+5)(x﹣7)=﹣26的一般形式为:x2﹣2x﹣9=0.
故答案为:x2﹣2x﹣9=0.
点评: 本题考查了一元二次方程的一般式:ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数).ax2叫二次项,a叫二次项系数;bx叫一次项,b叫一次项系数;c叫常数项.
12.如图,将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC.现给出下列命题:
①四边形ABCD是菱形;
②四边形ABCD是中心对称图形;
③四边形ABCD是轴对称图形;
④AC=BD.
其中正确的是 ①②③ (写上正确的序号).
考点: 旋转的性质.
分析: 根据等边三角形、旋转的性质及菱形的判定与性质即可作答.
解答: 解:∵△ABD是等边三角形,
∴AB=BD=AD,
∵将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC,
∴AB=CD,AD=BC,
∴AB=AD=CD=BC,
∴四边形ABCD是菱形;故命题①正确;
∵菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形,
∴命题②、③正确;
∵AC=BD,
∴命题④错误.
故答案为①②③.
点评: 本题考查了旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等.同时考查了等边三角形及菱形的判定与性质.
13.设一元二次方程x2﹣6x+4=0的两实根分别为x1和x2,则x1+x2= 6 ,x1•x2= 4 .
考点: 根与系数的关系.
分析: 根据一元二次方程根与系数的关系求则可.设x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的两个实数根,则x1+x2=,x1x2=.
解答: 解:根据题意a=1,b=﹣6,c=4,
∴x1+x2==6,x1x2==4,
点评: 本题考查了一元二次方程根与系数的关系,比较简单.
14.点A(﹣2,b)与点B(a,4)关于y轴对称,则a+b= 6 .
考点:关于x轴、y轴对称的点的坐标.
分析: 利用关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点:关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数.
解答: 解:∵点A(﹣2,b)与点B(a,4)关于y轴对称,
∴a=2,b=4,
∴a+b=6.
故答案为:6.
点评: 此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标性质,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
15.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作⊙O的切线,切点为C,若∠A=25°,则∠D= 40 度.
考点: 切线的性质.
专题: 压轴题.
分析: 连接OC,先根据圆周角定理得∠DOC=2∠A=40°,再根据切线的性质定理得∠OCD=90°,则此题易解.
解答: 解:连接OC,
∵∠A=25°,
∴∠DOC=2∠A=50°,
又∠OCD=90°,
∴∠D=40°.
点评: 此题综合运用了切线的性质定理、圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余的性质.
16.如图,⊙O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∠DOE=120°,∠EOF=110°,则∠A= 50° ,∠B= 60° ,∠C= 70° .
考点: 三角形的内切圆与内心.
分析: 利用切线的性质得出∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°,进而利用四边形内角和定理以及三角形内角和定理得出答案.
解答: 解:∵⊙O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,
∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°,
又∵∠DOE=120°,∠EOF=110°,
∴∠B=360°﹣120﹣90°﹣90°=60°,
∠C=360°﹣110°﹣90°﹣90°=70°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°.
故答案为:50°,60°,70°.
点评: 此题主要考查了切线的性质以及四边形内角和定理以及三角形内角和定理,熟练应用切线的性质定理是解题关键.
17.关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0,则m= ﹣2 .
考点: 一元二次方程的解.
分析: 一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.将x=0代入方程式即得.
解答: 解:把x=0代入一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0,得m2﹣4=0,即m=±2.又m﹣2≠0,m≠2,取m=﹣2.
故答案为:m=﹣2.
点评: 此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零.
18.△ABC内接于⊙O,∠ACB=36°,那么∠AOB的度数为
72° .
考点: 圆周角定理.
专题: 推理填空题.
分析: 根据圆周角定理直接解答即可.
解答: 解:∵△ABC内接于⊙O,
∴∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角,
∴∠AOB=2∠ACB=2×36°=72°.
故答案为:72°.
点评: 本题考查的是圆周角定理,即同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半.
19.已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数图象的关系式是 y=x2﹣3x+2 .
考点: 待定系数法求二次函数解析式.
分析: 求函数的解析式的方法是待定系数法,可以设函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(1,0),(2,0)和(0,2)三点的坐标代入就得到一个关于a、b、c的方程组,就可以求出函数的解析式.
解答: 解:设:函数的解析式是:y=ax2+bx+c,
把(1,0),(2,0)和(0,2)三点的坐标代入得到:,
解得:,
因而函数的解析式是:y=x2﹣3x+2.
点评: 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,同时还考查了方程组的解法等知识,难度不大.
20.如图,Rt△ABC分别绕直角边AB,BC旋转一周,旋转后得到的两个圆锥的母线长分别为 2、2 .
考点: 圆锥的计算;点、线、面、体.
分析: 母线的长等于三角形ABC的斜边的长,利用勾股定理求得即可.
解答: 解:由勾股定理得:AC==2,
故两次旋转的母线长均为2,
故答案为:2,2.
点评: 本题考查了圆锥的计算,牢记圆锥的母线的定义是解答本题的关键.
三、解答题(共60分)
21.解下列方程:
(1)x2+4x﹣1=0(用配方法);
(2)x(x+4)=﹣3(x+4)
考点: 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
专题: 计算题.
分析: (1)方程变形后,利用配方法求出解即可;
(2)方程变形后,利用因式分解法求出解即可.
解答: 解:(1)方程变形得:x2+4x=1,
配方得:x2+4x+4=5,即(x+2)2=5,
开方得:x+2=±,
解得:x1=﹣2+,x2=﹣2﹣;
(2)方程变形得:x(x+4)+3(x+4)=0,
分解因式得:(x+3)(x+4)=0,
解得:x1=﹣3,x2=﹣4.
点评: 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解法是解本题的关键.
22.已知:如图,AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AD平行于OC.求证:DC是⊙O的切线.
考点: 切线的判定.
专题: 证明题.
分析: 连接OD,要证明DC是⊙O的切线,只要证明∠ODC=90°即可.根据题意,可证△OCD≌△OCB,即可得∠CDO=∠CBO=90°,由此可证DC是⊙O的切线.
解答: 证明:连接OD;
∵AD平行于OC,
∴∠COD=∠ODA,∠COB=∠A;
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠A,
∴∠COD=∠COB,OC=OC,OD=OB,
∴△OCD≌△OCB,
∴∠CDO=∠CBO=90°.即OD⊥CD,
∵OD是⊙O的半径,
∴DC是⊙O的切线.
点评: 本题考查的是切线的判定及全等三角形的判定与性质.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
23.如图所示,要把破残的圆片复制完整.已知弧上的三点A、B、C.
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=8cm,腰AB=5cm.求圆片的半径R.
考点: 垂径定理;等腰三角形的性质;勾股定理;作图—复杂作图.
分析: (1)作图思路:可根据AB,AC的垂直平分线来确定圆心.
(2)本题可通过构建直角三角形来求解.连接AO交BC于E.先求出AE的值,然后在直角三角形OBE中,用半径表示出OE,OB,然后根据勾股定理求出半径的值.
解答: 解:(1)分别作AB、AC的垂直平分线,设交点为O
则O为所求圆的圆心
(2)连接AO交BC于E,连接OB.
∵AB=AC
∴AE⊥BC,BE=BC=4
在Rt△ABE中,AE=
=
设⊙O的半径为R,在Rt△BEO中
OB2=BE2+OE2,即R2=42+(R﹣3)2
∴R2=16+R2﹣6R+9
∴R=(cm)
所以所求圆的半径为cm.
点评: 本题综合考查了垂径定理,勾股定理等知识点,要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据的.
24.如图,在⊙O中,弦AB与DC相交于E,且AE=EC,求证:AD=BC.
考点: 全等三角形的判定与性质;圆周角定理.
专题: 证明题.
分析: 由圆周角定理很快确定∠A=∠C,∠B=∠D,进而得出△AED≌△CEB,问题就迎刃而解了.
解答: 证明:在△AED和△CEB中,
,(3分)
∴△AED≌△CEB(ASA).(4分)
∴AD=BC.(5分)
点评: 三角形全等运用很广泛,与圆结合,更是题型纷呈,本题只是一基础题.
25.已知平面直角坐标系中三点的坐标分别为:A(4、4),B(﹣2,2),C(3,0)
(1)画出它的以原点O为对称中心的△AˊBˊCˊ;
(2)写出 Aˊ,Bˊ,Cˊ三点的坐标.
考点: 作图-旋转变换.
分析: (1)根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可.
解答: 解:(1)△A′B′C′如图所示;
(2)A′(﹣4,﹣4),B′(2,﹣2),C′(﹣3,0).
点评: 本题考查了利用旋转变换作图,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
26.如图所示,在一块长为32米,宽为15米的矩形草地上,在中间要设计﹣横二竖的等宽的、供居民散步的小路,要使小路的面积是草地总面积的八分之一,请问小路的宽应是多少米?
考点: 一元二次方程的应用.
专题: 几何图形问题.
分析: 本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”,把小路移到一起正好构成一个矩形,矩形的长和宽分别是(32﹣2x)和(15﹣x),列方程即可求解.
解答: 解:设小路的宽应是x米,则剩下草总长为(32﹣2x)米,总宽为(15﹣x)米,
由题意得(32﹣2x)(15﹣x)=32×15×(1﹣)
即x2﹣31x+30=0
解得x1=30 x2=1
∵路宽不超过15米
∴x=30不合题意舍去
答:小路的宽应是1米.
点评: 找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.
27.如图,已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求△APC的面积.
考点: 抛物线与x轴的交点.
分析:(1)先令y=0求出x的值即可得出A、B两点的坐标;再令x=0,求出y的值即可得出C点坐标;
(2)根据B、C两点的坐标用待定系数法求出直线BC的解析式,再根据AP∥CB,A(﹣1,0)可得出直线AP的解析式,故可得出点P的坐标,由勾股定理可求出AP,AC的长,进而得出结论.
解答: 解:(1)当y=0,则0=x2﹣1,
解得:x1=﹣1,x2=1,
故A(﹣1,0),B(1,0),
当x=0,则y=﹣1,
故C(0,﹣1);
(2)设过B、C两点的直线解析式为y=kx+b(k≠0),
∵B(1,0),C(0,﹣1),
∴,
解得:,
∴直线BC的解析式为y=x﹣1,
∵AP∥CB,A(﹣1,0),
∴直线AP的解析式为:y=x+1,
∴,
解得或,
∴P(2,3),
∴AP==3,AC=,
∵OB=OC=OA,∠BOC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,即AC⊥BC,AC⊥AP,
∴S△ACP=AP×AC=×3×=3.
点评: 本题考查的是二次函数综合题,涉及到抛物线与坐标轴的交点、用待定系数法求一次函数的解析式等相关知识,难度适中.