【解析版】巴州蒙古族中学2022年九年级上期末数学试卷(1)

这是一份【解析版】巴州蒙古族中学2022年九年级上期末数学试卷(1)，共17页。试卷主要包含了单选题，四象限，故A选项错误；等内容，欢迎下载使用。

2022学年新疆巴州蒙古族中学九年级（上）期末数学试卷（1）
　
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．
　
2．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（　　）
　 A． 11 B． 13 C． 11或13 D． 11和13
　
3．用配方法把代数式x2﹣4x+5变形，所得结果是（　　）
　 A． （x﹣2）2+1 B． （x﹣2）2﹣9 C． （x+2）2﹣1 D． （x+2）2﹣5
　
4．如图，在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）
　 A． B． C． D．
　
5．如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）

　 A． 30° B． 40° C． 46° D． 60°
　
6．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于（　　）

　 A． 30° B． 60° C． 90° D． 45°
　
7．函数y=﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（　　）
　 A． （2，﹣1） B． （﹣2，1） C． （﹣2，﹣1） D． 2，1）
　
8．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（　　）
　 A． 8cm B． 4cm C． 8cm D． 4cm
　
9．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　）

　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
　
10．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（　　）
　 A． B． C． D．
　
　
二．填空题：（每空2分，共18分．）
11．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　．
　
12．某商店10月份的利润为600元，12月份的利润达到864元，则平均每月利润增长的百分率是　　　　　　．
　
13．已知m是方程3x2﹣6x﹣2=0的一根，则m2﹣2m=　　　　　　．
　
14．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是　　　　　　m．

　
15．点A（3，n）关于原点对称的点的坐标是（m，2），那么m=　　　　　　，n=　　　　　　．
　
16．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开图所得的扇形的圆心角为120°，那么该圆锥的全面积为　　　　　　．
　
17．如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=　　　　　　度．

　
18．在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n=　　　　　　．
　
　
三.解答题（共52分）用指定的方法解下列方程：
19．x2+2x﹣35=0（配方法解）
　
20．解方程：4x2+12x+9=0．
　
21．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（4，4 ）、B（1，2 ）、C（3，2 ），请解答下列问题．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3．
并写出点A3的坐标：A3（　　　　　　，　　　　　　 ）．

　
22．下图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽16cm，水最深4cm．
（1）求输水管的半径．
（2）当∠AOB=120°时，求阴影部分的面积．

　
23．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
　
24．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2，求⊙O的半径．

　
25．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．
（1）求售价与利润的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
　
　

2022学年新疆巴州蒙古族中学九年级（上）期末数学试卷（1）
参考答案与试题解析
　
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形．
专题： 常规题型．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
　
2．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（　　）
　 A． 11 B． 13 C． 11或13 D． 11和13

考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
专题： 计算题．
分析： 利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．
解答： 解：方程x2﹣6x+8=0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，
可得x﹣2=0或x﹣4=0，
解得：x1=2，x2=4，
当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；
当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．
故选B．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
　
3．用配方法把代数式x2﹣4x+5变形，所得结果是（　　）
　 A． （x﹣2）2+1 B． （x﹣2）2﹣9 C． （x+2）2﹣1 D． （x+2）2﹣5

考点： 配方法的应用．
专题： 配方法．
分析： 根据二次项与一次项x2﹣4x再加上4即构成完全平方式，因而把二次三项式x2﹣4x+5变形为二次三项式x2﹣4x+4﹣4+5即可．
解答： 解：原式=x2﹣4x+4﹣4+5=（x﹣2）2+1，
故选A．
点评： 本题主要考查了配方法的应用，难度适中．
　
4．如图，在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
解答： 解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故D选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
综上所述B选项正确．
故选：B．
点评： 考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
　
5．如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）

　 A． 30° B． 40° C． 46° D． 60°

考点： 旋转的性质．
分析： 由旋转的性质可得：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=70°，然后由等腰三角形的性质，求得∠AC′C的度数，继而求得答案．
解答： 解：∵根据题意得：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=70°，
∴∠AC′C=∠C=70°，
∴∠AC′B=180°﹣∠AC′C=110°，
∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=40°．
故选B．
点评： 此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
　
6．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于（　　）

　 A． 30° B． 60° C． 90° D． 45°

考点： 圆周角定理；等边三角形的性质．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 由等边三角形的性质知，∠A=60°，即弧BC的度数为60°，可求∠BPC=60°．
解答： 解：∵△ABC正三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BPC=60°．
故选B．
点评： 本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．和等边三角形的性质求解．
　
7．函数y=﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（　　）
　 A． （2，﹣1） B． （﹣2，1） C． （﹣2，﹣1） D． 2，1）

考点： 二次函数的性质．
分析： 将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；
解答： 解：∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x2+4x+4﹣4+3）=﹣（x+2）2+1
∴顶点坐标为（﹣2，1）；
故选B．
点评： 主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．
　
8．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（　　）
　 A． 8cm B． 4cm C． 8cm D． 4cm

考点： 正多边形和圆．
分析： 欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．
解答： 解：如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB=×8=4（cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8cm．
故它的内接正三角形的边长为8cm．
故选：A．

点评： 本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出，∠OBD=30°是解题关键．
　
9．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　）

　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
解答： 解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
点评： 本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
　
10．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 概率公式．
分析： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答： 解；袋子中球的总数为：2+3=5，
取到黄球的概率为：．
故选：B．
点评： 此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
　
二．填空题：（每空2分，共18分．）
11．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1且k≠0　．

考点： 根的判别式．
分析： 由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0
∴k≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　
12．某商店10月份的利润为600元，12月份的利润达到864元，则平均每月利润增长的百分率是　20%　．

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 应用题．
分析： 设该商店平均每月利润增长的百分率是x，那么11月份的利润为600（1+x），12月份的利润为600（1+x）（1+x），然后根据12月份的利润达到864元即可列出方程，解方程即可．
解答： 解：设该商店平均每月利润增长的百分率是x，
依题意得：600（1+x）2=864，
∴1+x=±1.2，
∴x=0.2=20%或x=﹣2.2（负值舍去）．
即该商店平均每月利润增长的百分率是20%．
故答案为：20%．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的知识，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用﹣，难度一般．
　
13．已知m是方程3x2﹣6x﹣2=0的一根，则m2﹣2m=　　．

考点： 一元二次方程的解．
分析： 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即可对这个数代替未知数所得式子变形，即可求解．
解答： 解：把x=m代入方程得：3m2﹣6m﹣2=0
即3m2﹣6m=2，3（m2﹣2m）=2
∴m2﹣2m=
故答案是：．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
　
14．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是　10　m．


考点： 二次函数的应用．
分析： 成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．
解答： 解：当y=0时，﹣x2+x+=0，
解之得x1=10，x2=﹣2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
点评： 此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
　
15．点A（3，n）关于原点对称的点的坐标是（m，2），那么m=　﹣3　，n=　﹣2　．

考点： 关于原点对称的点的坐标．
分析： 已知点A（3，n）关于原点对称的点的坐标是（m，2），根据两点关于原点的对称，横纵坐标均变号，即可得出m，n的值．
解答： 解：根据两点关于原点的对称，横纵坐标均变号，
∴m=﹣3，n=﹣2．
故答案为：﹣3；﹣2．
点评： 本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点的特点，比较简单．
　
16．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开图所得的扇形的圆心角为120°，那么该圆锥的全面积为　400π　．

考点： 圆锥的计算．
分析： 利用圆锥底面周长可得到圆锥的底面半径；圆锥侧面展开图的弧长=底面周长得到圆锥的母线长，圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．
解答： 解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr=20π，∴r=10，=20π，
∴底面面积=100π，R=30，侧面面积=300π，
∴全面积=300π+100π=400π．
点评： 本题利用了圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
　
17．如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=　23　度．


考点： 切线的性质．
专题： 计算题．
分析： 由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP﹣∠PAB即可求出∠BAC的度数．
解答： 解：∵PA，PB是⊙O是切线，
∴PA=PB，又∠P=46°，
∴∠PAB=∠PBA==67°，
又PA是⊙O是切线，AO为半径，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=23°．
故答案为：23
点评： 此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
　
18．在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n=　4　．

考点： 概率公式．
分析： 根据口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，故球的总个数为6+2+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可．
解答： 解：∵口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，
∴球的总个数为6+2+n，
∵搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，
=，
解得，n=4．
故答案为：4．
点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
　
三.解答题（共52分）用指定的方法解下列方程：
19．x2+2x﹣35=0（配方法解）

考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 移项得出x2+2x=35，配方得到（x+1）2=36，开方得出方程x+1=6，x+1=﹣6，求出方程的解即可．
解答： 解：移项得：x2+2x=35，
配方得：x2+2x+1=35+1，
即（x+1）2=36，
开方得：x+1=6，x+1=﹣6，
解得：x1=5，x2=﹣7．
点评： 本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较典型，难度适中．
　
20．解方程：4x2+12x+9=0．

考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 方程思想．
分析： 配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答： 解：移项，得
4x2+12x=﹣9，
化二次项的系数化为1，得
x2+3x=﹣，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得
（x+）2=0，
解得，x1=x2=﹣．
点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
　
21．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（4，4 ）、B（1，2 ）、C（3，2 ），请解答下列问题．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3．
并写出点A3的坐标：A3（　﹣4　，　4　 ）．


考点： 作图-旋转变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．
专题： 网格型．
分析： （1）分别作出点A、B、C向下平移5个单位长度的点，然后顺次连接即可；
（2）分别作出点A1、B1、C1关于y轴对称的，然后顺次连接即可；
（3）分别作出点A、B、C绕点O逆时针旋转后得到的点，然后顺次连接，并写出点A3的坐标．
解答： 解：（1）（2）（3）所作图形如图所示：
，
点A3的坐标为（﹣4，4），
故答案为：﹣4，4．
点评： 本题考查了根据平移变换、轴对称变换、旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构找出对应的位置．
　
22．下图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽16cm，水最深4cm．
（1）求输水管的半径．
（2）当∠AOB=120°时，求阴影部分的面积．


考点： 垂径定理的应用；勾股定理；扇形面积的计算．
分析： （1）设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，由垂径定理可求出BD的长，再根据最深地方的高度是4cm得出OD的长，根据勾股定理即可求出OB的长．
（2）先求得AB、OD，然后根据S阴影=S扇形﹣S△AOB即可求得．
解答： 解：（1）设圆形切面的半径，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，
则AD=BD=AB=×16=8cm，
∵最深地方的高度是4cm，
∴OD=r=4，
在Rt△OBD中，
OB2=BD2+OD2，即r2=82+（r﹣4）2，
解得r=10（cm）．
（2）∵∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OD=OA=5cm，AD=OA=5cm，
∴AB=10cm，
∴S阴影=S扇形﹣S△AOB=﹣×10×5=（cm）2．

点评： 本题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用垂径定理及勾股定理进行解答．
　
23．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．

考点： 列表法与树状图法．
专题： 常规题型．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：（1）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；

（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：=．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
24．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2，求⊙O的半径．


考点： 切线的判定；三角形三边关系；圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为4．
解答： （1）证明：连结OC，如图，
∵=，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵==，
∴∠BOC=×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2，
∴AC=2CD=4，
在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，
∴AB=2BC=8，
∴⊙O的半径为4．

点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
　
25．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．
（1）求售价与利润的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据题意可知y与x的函数关系式．
（2）根据题意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．
解答： 解：（1）由题意得：y=（210﹣10x）（50+x﹣40）=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；

（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．
∵a=﹣10＜0，
∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），
当x=6时，50+x=56，y=2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．