高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质第2课时一课一练

第2课时　对数函数图象及性质的应用(习题课)

[例1]　求下列函数的值域：

(1)y＝log(－x2＋2x＋1)；

(2)f(x)＝log2·log2(1≤x≤4)．

[解]　(1)设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.

∵y＝logt为减函数，且0<t≤2，y＝log2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞)．

(2)∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)

＝－，

又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，

∴当log2x＝，

即x＝2＝2时，f(x)取最小值－；

当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值为2，

∴函数f(x)的值域是.

求函数值域的方法

(1)求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；

(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化．　　　　

[跟踪训练]

1．已知函数f(x)＝3logx的定义域为[3，9]，则函数f(x)的值域是________．

解析：∵y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，

∴当3≤x≤9时，log9≤logx≤log3，

即－2≤logx≤－1，

∴－6≤3logx≤－3，

∴函数f(x)的值域是[－6，－3]．

答案：[－6，－3]

2．函数y＝2x－log(x＋1)在区间[0，1]上的最大值为________，最小值为________．

解析：因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝log(x＋1)在[0，1]上单调递减，所以y＝f(x)＝2x－log(x＋1)在[0，1]上单调递增，所以y的最大值为f(1)＝21－log2＝2－(－1)＝3，最小值为f(0)＝20－log1＝1－0＝1.

答案：3　1

[例2]　(链接教科书第124页C组2题)(1)已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)>0，则此函数的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－3)　　　　 B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(1，＋∞)

(2)已知函数f(x)＝lg(x2－2ax－a)在区间(－∞，－3)上是减函数，求实数a的取值范围．

（1）[解析]　∵f(2)＝loga5>0＝loga1，∴a>1.

由x2＋2x－3>0得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．

设u＝x2＋2x－3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．

又∵y＝logau(a>1)在(0，＋∞)上也为增函数，

∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.

[答案]　D

 [解]　设u(x)＝x2－2ax－a.

∵f(x)在(－∞，－3)上是减函数，

∴u(x)在(－∞，－3)上是减函数，

且u(x)>0在(－∞，－3)上恒成立．

又u(x)＝(x－a)2－a－a2在(－∞，a)上是减函数．

∴∴a≥－.

∴满足条件的实数a的取值范围是.

[母题探究]

1．(变条件)本例(1)中条件变为“f(x)＝lg(x2－2x)”，其他条件不变，试求函数f(x)的单调递增区间．

解：由已知，得x2－2x>0，解得x>2或x<0.因为u＝x2－2x在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，而y＝lg u在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg(x2－2x)的单调递增区间为(2，＋∞)．

2．(变条件)本例(2)中条件变为“f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数”，求a的取值范围．

解：若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数．

则解得1<a<3.

形如y＝logaf(x)的函数的单调性

首先要确保f(x)>0.

当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；

当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．

[提醒]　研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．　　　　

[跟踪训练]

1．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．

解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.

答案：(2，＋∞)

2．讨论函数y＝loga(3x－1)的单调性．

解：由3x－1>0，得函数的定义域为.

当a>1，x>时，

函数y＝f(x)＝loga(3x－1)为增函数；

当0<a<1，x>时，

函数y＝f(x)＝loga(3x－1)为减函数.

[例3]　某老师为加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：

①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1，1)；

②同学乙发现：函数f(x)是偶函数；

③同学丙发现：对于任意的x∈(－1，1)，都有f＝2f(x)；

④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝f；

⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0.

以上成果你认为都正确吗？写出正确成果的序号．

[解]　在①中，因为f(x)＝lg ，所以>0，解得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；在②中，f(x)＝lg ＝－lg ＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1，1)，有f＝lg ＝lg ＝lg ，又2f(x)＝2lg ＝lg ，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1，1)，有f(a)＋f(b)＝lg ＋lg ＝lg＝lg ，又f＝lg ＝lg ，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)＝lg ＝lg是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，正确研究成果的序号为①③④.

求解探究开放性问题的要点

[跟踪训练]

若函数f(x)的定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，则称f(x)为V型函数；若函数g(x)的定义域为R，满足对任意x∈R，g(x)>0恒成立，且对任意x1，x2∈R，有lg g(x1＋x2)≤lg g(x1)＋lg g(x2)，则称g(x)为对数V型函数．

(1)当函数f(x)＝x2时，判断f(x)是否为V型函数，并说明理由；

(2)你能否结合条件判断g(x)＝x2＋2是否为对数V型函数，并说明理由；

(3)若函数f(x)是V型函数，且满足对任意x∈R，有f(x)≥2，问f(x)是否为对数V型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由．

解：(1)∵f(x)＝x2，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x＋x)＝2x1x2.

当x1，x2同号时，不满足f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，

∴f(x)不是V型函数．

(2)g(x)是对数V型函数．

∵g(x)＝x2＋2>0恒成立，∴要证对任意x1，x2∈R，lg g(x1＋x2)≤lg g(x1)＋lg g(x2)，

即证对任意x1，x2∈R，lg[(x1＋x2)2＋2]≤lg(x＋2)＋lg(x＋2)，

即证对任意x1，x2∈R，(x1＋x2)2＋2≤(x＋2)(x＋2)．

∵(x＋2)(x＋2)－[(x1＋x2)2＋2]＝xx＋(x1－x2)2＋2≥0，

∴g(x)是对数V型函数．

(3)f(x)是对数V型函数．证明如下：

∵f(x)是V型函数，

∴对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，

又对任意x∈R，有f(x)≥2，

∴＋≤1，

∴0<f(x1)＋f(x2)≤f(x1)f(x2)，

∴f(x1＋x2)≤f(x1)f(x2)，

∴lg f(x1＋x2)≤lg[f(x1)f(x2)]＝lg f(x1)＋lg f(x2)，

∴f(x)是对数V型函数．

对数型函数的奇偶性问题

对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，得到的对数型复合函数就具有奇偶性了，如y＝log2|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断这类函数的奇偶性．

为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或利用定义的等价形式进行判断：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)．其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于对数型函数奇偶性的判断，＝±1多用于指数型函数奇偶性的判断．

[问题探究]

1．已知函数f(x)＝log2(＋x)，试判断其奇偶性．

提示：由f(x)知x∈R，

又f(－x)＋f(x)＝log2(－x)＋log2(＋x)

＝log21＝0.∴f(x)为奇函数．

2．探究1中函数若变为f(x)＝log2(－x)，f(x)还是奇函数吗？

提示：是．

3．若给出f(x)＝log2，其奇偶性怎样？

提示：由>0知－1<x<1，其定义域关于原点对称，又f(－x)＋f(x)＝log2 ＋log2 ＝log21＝0.

∴f(x)为奇函数．

4．探究3中函数若变为f(x)＝loga(a>0，且m≠0)，其奇偶性又怎样？

提示：奇函数．

[迁移应用]

1．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．

解析：∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，

∴f(a)＋f(－a)＝2.

∵f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.

答案：－2

2．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．

解析：法一：依据偶函数的定义列方程求解．

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，

∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，

∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.

法二：由于f(x)＝xln(x＋)为偶函数，又y＝x为奇函数，∴g(x)＝ln(x＋)为奇函数，

∴g(－x)＝－g(x)，即ln(－x＋)＝－ln(x＋)，

∴ln a＝0，即a＝1.

答案：1

1．函数f(x)＝lg 是(　　)

A．奇函数　　　　　　 B．偶函数

C．既奇又偶函数  D．非奇非偶函数

解析：选A　由f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝lg ＝lg 1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.

2．函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，0)  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．(0，＋∞)

解析：选A　函数f(x)＝lg x2，

可令t＝x2(x≠0)，则y＝lg t，

由t＝x2在(－∞，0)上递减，(0，＋∞)上递增，

y＝lg t在(0，＋∞)上递增，

可得函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是(－∞，0)．

3．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　)

A．[0，2)  B．(0，＋∞)

C．(0，2)  D．[0，＋∞)

解析：选B　f(x)＝log2(1＋2－x)，∵1＋2－x>1，

∴log2(1＋2－x)>0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.

4．(多选)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则f(x)(　　)

A．是奇函数  B．是偶函数

C．在(0，10)上单调递增  D．在(0，10)上单调递减

解析：选BD　由得x∈(－10，10)，故函数f(x)的定义域为(－10，10)，因为∀x∈(－10，10)都有－x∈(－10，10)，且f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．

f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0，10)上递减，y＝lg x递增，故函数f(x)在(0，10)上递减．

5．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．

解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.

答案：[1，2]