苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步13.2 基本图形位置关系第2课时习题

第2课时　直线与平面平行的性质

【概念认知】

直线与平面平行的性质定理

【自我小测】

1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)

A．平行    B．相交

C．异面    D．不确定

【解析】选A.因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，

所以EH∥平面BCD.

因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

所以EH∥BD.

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

【解析】因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，

所以AC＝2.

又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，

所以EF∥AC，所以F为DC的中点，

所以EF＝AC＝.

答案：

3．如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．

【解析】在三棱柱ABC­A′B′C′中，A′B′∥AB，AB⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，

所以A′B′∥平面ABC.

又A′B′⊂平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，

所以A′B′∥a.

答案：平行

4．已知(如图)A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．

【解析】平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四边形EFHG是平行四边形．

答案：平行四边形

5．如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

【解析】如图，连接BD交AC于O1，连接OM，

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，

所以OM∥PC，

所以＝，

在菱形ABCD中，

因为E，F分别是边BC，CD的中点，

所以＝.

又AO1＝CO1，

所以＝＝，

故PM∶MA＝1∶3.

【基础全面练】

一、单选题

1．已知直线a，b和平面α，下列命题中正确的是(　　)

A．若a∥α，b⊂α，则a∥b

B．若a∥α，b∥α，则a∥b

C．若a∥b，b⊂α，则a∥α

D．若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α

【解析】选D.对于A，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面；所以A错；

对于B，若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面；所以B错；

对于C，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；所以C错；

对于D，因为a∥α，所以在α内存在直线c使得a∥c，因为a∥b，所以b∥c，因为c⊂α，所以b⊂α或b⊄α，当b⊄α时，因为c⊂α，b∥c，所以b∥α，故D正确．

2．(2020·南京高一检测)有一木块如图所示，点P在平面A′B′C′D′内，棱BC平行平面A′B′C′D′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为(　　)

A.0种    B．1种

C．2种    D．无数种

【解析】选B.因为BC∥平面A′B′C′D′，所以BC∥B′C′，

所以在平面A′B′C′D′上过P作EF∥B′C′，如图：

则EF∥BC，所以过EF，BC所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定．所以只有一种方法．

3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为(　　)

A.    B．

C．1    D．与AB的长有关

【解析】选B.连接BD与AE交于点M，连接BP与AB1交于点N，连接NM，

因为DP∥平面B1AE，且平面B1AE∩平面BPD＝MN，DP⊂平面BPD，

所以DP∥MN，则＝，

由于△ABM与△EDM相似，且E为CD的中点，则＝＝2，

所以＝2，

又由△BB1N与△PAN相似，则＝＝2，

所以P为AA1的中点，所以AP＝.

4．(2020·乐山高一检测)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝3，点M是线段D1C1的中点，点N在线段B1C1上，MN∥BD，则长方体ABCD­A1B1C1D1被平面AMN所截得的截面面积为(　　)

A.5    B．7    C．8    D．10

【解析】选B.长方体ABCDA1B1C1D1中，BD∥B1D1，

因为MN∥BD，所以MN∥B1D1，

因为点M是线段D1C1的中点，所以点N是线段B1C1的中点，

因为MN∥BD，BD⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，

所以MN∥平面ABCD，

因为平面ABCD与平面AMN有一个公共点A，所以它们有一条过点A的交线，

且该直线与MN平行，所以与BD平行，

设此直线分别交直线BC，CD于点H，G，连接NH交BB1于点F，连接GM交DD1于点E，连接AF，AE，

则五边形AEMNF是长方体ABCDA1B1C1D1被平面AMN所截得的截面，

因为底面ABCD是正方形，则B，D分别为CH，CG的中点，

所以△HBF∽△NB1F，所以＝＝2，所以BF＝2，FB1＝1，

同理DE＝2，ED1＝1，

所以E，F分别是DD1，BB1的三等分点，所以AE＝AF＝2，

EM＝FN＝，MN＝2，EF＝4，

等腰△AEF中，EF边上的高h＝＝＝2，

所以△AEF的面积为：×EF·h＝×4×2＝4，

梯形MNFE为等腰梯形，如图：

梯形的高为＝＝，

所以梯形MNFE的面积为(2＋4)×＝3，

所以截面面积为4＋3＝7.

二、填空题

5．如图所示，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是________.

【解析】因为⇒AB∥CD，

同理可证AB∥EF，所以EF∥CD.

答案：平行

6．(2021·杭州高一检测)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，C，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝a，BD＝b，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.(用a，b表示)

【解析】因为AC∥平面EFGH，AC，EF在平面ABC内，

所以AC∥EF，所以△BEF∽△BAC，

所以＝，同理，得＝，

又因为EF＝HG，所以＝，

所以EH∥BD，所以△AEH∽△ABD，

所以＝，①

同理得＝，②

又因为EH＝EF，所以，得：＝，

所以AE∶EB＝a∶b.

答案：a∶b

三、解答题

7．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D.

【证明】如图，连接AB1与BA1交于点O，连接OD，

因为PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，

平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以OD∥PB1，

又AO＝B1O，所以AD＝PD，

又AC∥C1P，所以CD＝C1D.

8．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么该直线与相交平面的交线平行．

【解析】已知a，l是直线，α，β是平面，a∥α，α∥β，且α∩β＝l，

求证：a∥l.

证明：如图，在平面α内任取一点A，且使A∉l.

因为a∥α，所以A∉a.

故点A和直线a确定一个平面γ，

设γ∩α＝m.

同理，在平面β内任取一点B，且使B∉l，则点B和直线a确定平面δ，设δ∩β＝n，

因为a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m，

所以a∥m，同理a∥n，则m∥n，

又m⊄β，n⊂β，所以m∥β.

因为m⊂α，α∩β＝l.所以m∥l.又a∥m，所以a∥l.

【综合突破练】

一、选择题

1．如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　)

A.2＋    B．3＋

C．3＋2    D．2＋2

【解析】选C.由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，

即AB∥平面DCFE，

因为平面SAB∩平面DCFE＝EF，所以AB∥EF，

因为E是SA的中点，所以EF＝1，DE＝CF＝，

所以四边形DEFC的周长为3＋2.

2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，若所得交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(　　)

A．平行或交于同一点

B．相交于同一点

C．相交但交于不同的点

D．平行

【解析】选A.当直线l与平面α平行时，可得l∥a，l∥b，l∥c，…，则a∥b∥c…，

当直线l与平面α相交时，设l∩α＝O，

则直线a，b，c…是过O点的直线，

所以这些交线的位置关系为都平行或都相交于同一点．

3．(多选)如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a，点P是△ACD的中心．劳动课上，需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD，则下列关于截面的说法中正确的是(　　)

A.截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABD

B．截面是一个三角形

C．截面是一个四边形

D．截面的面积为

【解析】选AC.因为正四面体的四个面都是等边三角形，

点P是△ACD的中心，所以P位于CD中线的处，

分别取BC，AC，BD，AD的三等分点E，M(靠近C点)，F，N(靠近D点)，

则EM∥AB，EF∥CD，且截面EMNF经过点P，满足题意，

因为EM∥FN且EM＝FN，所以四边形EMNF是平行四边形，

平面EMNF∩平面ABC＝EM，EM∥FN，NF⊂平面ABD，

所以EM∥平面ABD，所以选项A正确；

截面是一个四边形，故选项B不正确；选项C正确；

四边形EMNF是边长为的菱形，只知菱形边长，无法求得其面积，故选项D不正确．

二、填空题

4．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为________.

【解析】过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．

答案：1

5．设m，n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：

①m∥n；②m∥α；③n∥α.

以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)

【解析】设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α.

答案：①②⇒③(或①③⇒②)

6．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面BEF时，＝________.

【解析】如图，连接AC交BE于点G，连接FG，

因为PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，

所以PA∥FG，所以＝，

因为AD∥BC，E为AD的中点，

所以＝＝，即＝.

答案：

7．如图，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，则＝________．

【解析】过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.

因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.

又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，

所以四边形BFNM是平行四边形，

所以MN∥BF，MN＝BF＝1.

而EC∥FB，EC＝2FB＝2，

所以MN∥EC，MN＝EC＝1，故MN是△ACE的中位线．所以M是AC的中点，

即MB∥平面AEF时，＝1.

答案：1

三、解答题

8．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.

【证明】如图，连接AC交BD于点O，连接MO.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以O是AC的中点．

又M是PC的中点，

所以AP∥OM.AP⊄平面DMB，MO⊂平面DMB，

根据直线与平面平行的判定定理，

则有PA∥平面BMD.

因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，

根据直线与平面平行的性质定理，所以PA∥GH.

9．如图，直线l是过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线．

求证：B1D1∥l.

【证明】连接BD，因为BB1綊DD1，

所以四边形BDD1B1是平行四边形，

所以B1D1∥BD.

因为B1D1⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以B1D1∥平面ABCD.

因为平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1⊂平面AB1D1，所以B1D1∥l.