高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第2课时同步练习题

第2课时　向量的减法

　向量的减法

(1)定义：若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b.求两个向量差的运算，叫作向量的减法．

(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．

1．已知非零向量a与b同向，则a－b(　　)

A．必定与a同向

B．必定与b同向

C．必定与a是平行向量

D．与b不可能是平行向量

【解析】选C.a－b必定与a是平行向量．

2．(2021·忻州高一检测)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是(　　)

A．＝

B．－＝

C．＋＝

D．＋＝0

【解析】选C.在平行四边形ABCD中，＝－，故A错误；由向量减法法则得－＝，故B错误；由向量加法的平行四边形法则知＋＝，即C正确；由于＋＝2，故D错误．

3．下列四式不能化简为的是(　　)

A．＋－

B．(＋)＋(＋)

C．(＋)＋

D．－＋

【解析】选A.对B，(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝，故B正确；

对C，(＋)＋＝＋＋＝，故C正确；

对D，－＋＝＋＝，故D正确．

4．已知＝a，＝b，若||＝7，||＝24，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．

【解析】如图，在矩形OACB中，－＝，

则|a－b|＝||＝＝＝25.

答案：25

5．如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.

【解析】如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.则a－b＝，c－d＝.

一、单选题

1．(2021·长沙高一检测)化简向量＋－－等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.＋－－＝＋＋－＝－＝.

2．(2021·安庆高一检测)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选D.如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，可得＝，＝，

则－＝－＝＝.

3．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)

A．a⊥b    B．|a|＝|b|

C．a∥b    D．|a|>|b|

【解析】选A.利用向量加法的平行四边形法则．

在▱ABCD中，设＝a，＝b，

由|a＋b|＝|a－b|知，如图所示．

从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.

二、填空题

4．(2021·襄阳高一检测)如图，在平行四边形ABCD 中，＝a，＝b，用向量a，b表示向量＝________．

【解析】由题意可得＝－＝－＝b－a.

答案：b－a

5．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________．

【解析】由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.

答案：a＋b　b－a

三、解答题

6．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积.

【解析】由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，

且＝a＋b，＝a－b，

由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，

所以△OAB为正三角形，

所以|a＋b|＝||＝2×＝2，S△OAB＝×2×＝.

一、选择题

1．(2021·盘锦高一检测)设非零向量＝a，＝b，＝a＋b满足，则四边形ABCD形状是(　　)

A．平行四边形     B．矩形

C．正方形      D．菱形

【解析】选C.因为＝a，＝b，所以＝a＋b，－＝＝a－b，

因为|a|＝|b|，所以||＝||，

根据平行四边形法则，所以四边形ABCD是菱形，

又因为|a＋b|＝|a－b|，

所以||＝||，所以四边形ABCD是正方形．

2．(2021·黄石高一检测)已知O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若点E为AC的中点，则＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.因为向量，，，满足等式＋＝＋，

所以－＝－，即＝，

则四边形ABCD为平行四边形，因为E为AC的中点，所以E为对角线AC与BD的交点，

则S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，

则＝.

3．(多选)(2021·南京高一检测)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论中真命题为(　　)

A．－＋＝0

B．＋＝－

C．＋－＝

D．＝

【解析】选BC.对于A：因为－＋＝＋＋＝＋＝，故A错误；对于B：因为∠AOC＝×2＝90°，则以OA，OC为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB平分∠AOC，

所以＋＝＝－，故B正确；

对于C：因为＋－＝＋＋＝＋，且＝，

所以＋－＝＋＝，故C正确，与方向不同，所以≠，所以D错误．

二、填空题

4．(2021·合肥高一检测)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________．

【解析】－－＋＋＝＋＋＝＋＋＝.

答案：

5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，＝1，则＝________．

【解析】如图所示，作出菱形ABCD，连接BD，AC，交于点O，

由题意知，在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，

所以△ABD为等边三角形，BD＝1.

所以|－|＝|－|＝||.

由四边形ABCD为菱形可知，O为BD，AC的中点．

又△ABD是边长为1的等边三角形，

所以||＝，

所以||＝2||＝.

所以|－|＝.

答案：

三、解答题

6．(2021·北京高一检测)如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示下列各式：

(1)－；(2)＋；(3)－.

【解析】(1)－＝－＝－＝d－b.

(2)＋＝＋＝b－a＋f－c＝b＋f－a－c.

(3)－＝－＝－＝c－e.