苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数12.2 复数的运算第1课时同步练习题

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第1课时　复数的加减运算【概念认知】　复数加、减法的运算法则及加法运算律(1)加、减法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．即：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).【自我小测】1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)A．1    B．2    C．－2    D．－1【解析】选A.z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，所以所以x＝y＝1.所以xy＝1.2．已知i是虚数单位，那么(3＋i)＋(1＋2i)＝(　　)A．2＋3i     B．4＋iC．4＋2i     D．4＋3i【解析】选D.(3＋i)＋(1＋2i)＝4＋3i.3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)A．－1＋i　　　    B．1－i    C．i    D．－i【解析】选A.(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i. 4．若复数z满足z＋＝1，则z的虚部是(　　)A．－2     B．4     C．－3     D．3【解析】选B.因为z＋＝1，所以z＝－2＋4i，所以z的虚部是4.5．下面四个说法：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，它们的虚部互为相反数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误说法的序号是________．【解析】①实数与虚数不能比较大小，故错误；②两个复数当且仅当其和为实数时，它们的虚部互为相反数，正确；③当y＝－i，x＝i时，x＋yi＝1＋i，所以x＋yi＝1＋i时，不一定x＝y＝1，故错误；④若z＝bi为纯虚数，则z2＝－b2<0，故正确．答案：①③6．计算：(1)＋(2－i)－；(2)(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i).【解析】(1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.(2)(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)－(5＋1＋4)i＝－10i.【基础全面练】一、单选题1．(2＋i)＋(3＋i)＝(　　)A．5＋2i    B．5＋5i    C．6＋i    D．6＋5i【解析】选A.(2＋i)＋(3＋i)＝5＋2i.2．已知z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)A．1＋i       B．1＋3iC．－1－i      D．－1－3i【解析】选B.因为z＋3－2i＝4＋i，所以z＝4＋i－3(3－2i)＝1＋3i.3．复数z1＝－i，z2＝5＋3i，若z1－z＝z2，则复数z＝(　　)A．－5－4i    B．5＋2iC．－5＋4i    D．i【解析】选A.因为z1－z＝z2，所以z＝z1－z2＝－i－(5＋3i)＝－5－4i.4．已知复数z为纯虚数，且z－4i＋1＝m－3i，则z为(　　)A．i    B．3i    C．i    D．－2i【解析】选A.由z－4i＋1＝m－3i，得z＝m－1＋i，所以z＝i.5．定义运算＝ad－bc，则(i是虚数单位)为(　　)A．3　    B．－3　    C．i2－1　    D．i2＋2【解析】选B.因为运算＝ad－bc，所以＝i2－1×2＝－1－2＝－3.二、填空题6．复数z＝(5＋2i)－i2，则z＋(－1＋4i)＝________；z的虚部为________．【解析】z＝5＋2i－(－1)＝6＋2i，所以z＋(－1＋4i)＝6＋2i－1＋4i＝5＋6i.答案：5＋6i　27．若复数z1＝＋5i，且z1－z∈R，则复数z1的虚部为________；若z是纯虚数，则z＝________．【解析】z1的虚部为5，因为z是纯虚数，且z1－z∈R，所以z＝5i.答案：5　5i8．计算(－3＋2i)－＋(i＋i2)＝________．【解析】原式＝＋(2＋1＋1)i＝－＋4i.答案：－＋4i9．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x2＋y2的最大值是________．【解析】因为x＋yi＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)，所以x2＋y2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos (θ＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.所以(x2＋y2)max＝50＋50＝100.答案：100三、解答题10．化简下列复数：(1)＋；(2)＋－.【解析】(1)＋，＝＋i＝9－3i.(2)＋－，＝＋i＝－11i.11．已知z1＝2a＋i，z2＝4－3i，z3＝a－ai，a∈R，若z1－z2－z3为实数，求a值．【解析】因为z1－z2－z3＝(a－4)＋(4＋a)i∈R，所以a＋4＝0，所以a＝－4.【综合突破练】一、选择题1．设z1＝2－i2，z2＝－5＋2i，则z1＋z2＝(　　)A．－2＋i     B．－3＋2iC．－3＋i     D．－2＋2i【解析】选D.因为z1＝2＋1＝3，z2＝－5＋2i，所以z1＋z2＝－2＋2i.2．设复数z1＝4＋2i，z2＝1－3i，则复数z2－的虚部是(　　)A．4i     B．－4i     C．4     D．－4【解析】选D.z2－＝(1－3i)－＝－1－4i，则其虚部是－4.3．(多选)若z1＝2a＋i，z2＝－2＋ai(a∈R)，且复数z1＋z2的实部或虚部为零，则a的值可能为(　　)A．3    B．2    C．1    D．－1【解析】选CD.z1＋z2＝2a＋i－2＋ai＝(2a－2)＋(1＋a)i.所以2a－2＝0或1＋a＝0，所以a＝1或a＝－1.【光速解题】选CD.求出z1＋z2后，把四个选项逐项代入，验证可立即得到答案．二、填空题4．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.答案：35．若f(z)＝z＋(5－3i)，则f＝________．【解析】f＝－i＝－i.答案：－i6．若(a＋1)＋2i＝2＋(b－1)i(a·b∈R)，则(a＋bi)－(4－i)＝________．【解析】由题意所以所以(1＋3i)－(4－i)＝－3＋4i.答案：－3＋4i7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________．【解析】z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，所以解得所以z1＝5－9i，z2＝－8－7i.答案：5－9i　－8－7i三、解答题8．证明复数的加法满足交换律、结合律．【证明】复数的加法满足交换律．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，因为a＋c＝c＋a，b＋d＝d＋b，所以z1＋z2＝z2＋z1.即复数的加法满足交换律．复数的加法满足结合律．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)有＋z3＝[(a＋bi)＋(c＋di)]＋(e＋fi)＝[(a＋c)＋(b＋d)i]＋(e＋fi)＝(a＋c＋e)＋(b＋d＋f)i，z1＋＝(a＋bi)＋[(c＋di)＋(e＋fi)]＝(a＋bi)＋[(c＋e)＋(d＋f)i]＝(a＋c＋e)＋(b＋d＋f)i所以＋z3＝z1＋，即复数的加法满足结合律．9．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R).(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？【解析】(1)由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.若复数z1－z2＋z3是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则即a＝1.