苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数课堂检测

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数课堂检测，共15页。试卷主要包含了求值，下列式子中叙述正确的为等内容，欢迎下载使用。
两角和与差的正切两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α+β)tan(α+β)=α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠1两角差的正切T(α-β)tan(α-β)=α,β,α-β≠kπ+ (k∈Z)且tan α·tan β≠-11．设角θ的终边过点(2，3)，则tan ＝(　　)A．    B．－    C．5    D．－5【解析】选A.由于角θ的终边过点(2，3)，因此tan θ＝，故tan ＝＝＝.2．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于(　　)A．    B．1    C．    D．【解析】选B.原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.3．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　)A．2    B．1    C．    D．4【解析】选C.因为tan (α＋β)＝＝4且tan α＋tan β＝2，所以＝4，解得tan αtan β＝.4．求值：tan ＝________．【解析】tan ＝－tan ＝－tan ＝－＝－＝－2＋.答案：－2＋5．已知tan α＝2，则tan ＝________．【解析】tan ＝＝＝－3.答案：－36.＝________．【解析】原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.答案：7．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，求tan 的值．【解析】因为α＋＝(α＋β)－，所以tan ＝tan ＝＝＝.一、单选题1．已知cos α＝－，且α∈，则tan 等于(　　)A．－    B．－7    C．    D．7【解析】选D.因为cos α＝－，且α∈，所以sin α＝，所以tan α＝＝－，所以tan ＝＝7.2．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选C.tan (α＋β)＝＝＝1，又因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.3.的值等于(　　)A．－1    B．1    C．    D．－【解析】选D.因为tan 60°＝tan (10°＋50°)＝，所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.所以原式＝＝－.二、填空题4．若tan ＝3，则tan α的值为________．【解析】tan α＝tan ＝＝＝＝＝.答案：5．tan  72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝________．【解析】原式＝tan (72°－42°)(1＋tan 72°·tan 42°)－tan 72°tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°＝tan 30°＝.答案：三、解答题6．已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(－π，0)，求2α－β的值．【解析】因为α＝(α－β)＋β，tan (α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(－π，0)，所以tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝.又2α－β＝α＋(α－β)，所以tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝1.而tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(－π，0)，则α∈，β∈，所以α－β∈(－π，0)，而tan (α－β)＝>0，则α－β∈，结合α∈，则有2α－β∈(－2π，－π)，所以2α－β＝－.一、选择题1．已知tan ＝，则tan α＝(　　)A．    B．－    C．5    D．－5【解析】选B.因为tan ＝＝＝，所以tan α＝－. 【加固训练】若＝，则tan ＝(　　)A．－2　　　B．2　　　C．－　　　D．【解析】选C.因为＝，所以＝，所以tan α＝－3.所以tan ＝＝＝－.2．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)A．1　　　B．　　　C．1或　　　D．1或10【解析】选C.因为α＋β＝，所以tan (α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg (10a)＋lg ＝1－lg (10a)lg ，1＝1－lg (10a)lg ，所以lg (10a)lg ＝0，lg (10a)＝0或lg ＝0.得a＝或a＝1.3．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)A．－       B．－C．－       D．－2【解析】选C.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝ ＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，所以tan 2α＝＝ －，因此，tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－.【加固训练】1.计算等于(　　)A．　　　B．　　　C．1　　　D．【解析】选A. ＝＝tan 30°＝.2.＝________．【解析】＝＝＝tan (15°－45°)＝tan (－30°)＝－.答案：－4．(多选)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则(　　)A．tan α＋tan β＝3     B．tan (α＋β)＝C．tan α·tan β＝4      D．α＋β＝－【解析】选BCD.由根与系数的关系得：tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，所以tan α<0，tan β<0，所以tan (α＋β)＝＝＝，又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，所以－π<α＋β<0，所以α＋β＝－.二、填空题5.＝________．【解析】原式＝＝＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝＝2－.答案：2－6．(1)tan (－75°)＝________；(2)＝________．【解析】(1)tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋，所以tan (－75°)＝－tan 75°＝－2－.(2)原式＝tan (74°＋76°)＝tan 150°＝－.答案：(1)－2－　(2)－三、解答题7．已知△ABC中tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．【解析】由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝＝－.而0°＜A＜180°，所以A＝120°.由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝＝＝，而0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°.所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．(60分钟　100分)一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．已知tan α＝2，则sin sin ＝(　　)A．－    B．    C．－    D．【解析】选B.sin sin ＝·＝＝×＝×＝×＝.2．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于P，则sin α的值为(　　)A．      B．C．       D．【解析】选D.因为锐角α绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于P，所以2＋y2＝1，y＝或－(舍去)，P，则sin ＝，cos ＝－，故sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.3．已知cos ＋sin α＝，则sin 的值为(　　)A．    B．    C．－    D．－【解析】选C.因为cos ＋sin α＝cos α＋ sin α＝，所以cos α＋sin α＝.所以sin ＝－sin ＝－＝－.4．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝(　　)A．－    B．　    C．－    D．【解析】选D.因为A＝，所以cos A＝sin A＝，又cos B＝，0＜B＜，所以sin B＝，又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.5．已知函数f(x)＝cos 2x·cos φ－sin (2x＋π)·sin φ在x＝处取得最小值，则函数f的一个单调递减区间为(　　)A．      B．C．      D．【解析】选D.因为f(x)＝cos 2x·cos φ－sin ·sin φ＝cos 2x·cos φ＋sin 2x·sin φ＝cos ，且f在x＝处有最小值，所以f＝cos ＝－1，所以－φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝－－2kπ，k∈Z，取φ的一个值为－所以f＝cos ，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令k＝0，所以此时单调递减区间为.6．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)A．钝角三角形      B．锐角三角形C．直角三角形      D．无法确定【解析】选A.因为tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tan A＋tan  B＝，tan A tan B＝，所以tan (A＋B)＝＝ ，所以0<A＋B<，得<C<π，所以△ABC是钝角三角形．7．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)A．3π和    B．3π和2C．6π和    D．6π和2【解析】选C.由f(x)＝sin ＋cos 可得f(x)＝sin ，故周期为T＝＝＝6π，最大值为.8．(多选)(2021·潍坊高一检测)若tan x1，tan x2是方程x2－kx＋2＝0 的两个不相等的正根，则下列结论正确的是(　　)A．tan x1＋tan x2＝－k      B．tan (x1＋x2)＝－kC．k>2         D．k>2或k<－2【解析】选BC.因为tan x1，tan x2是方程x2－kx＋2＝0的两个不相等的正根，所以tan x1＋tan x2＝k，tan x1·tan x2＝2，所以tan (x1＋x2)＝＝－k，所以tan x1＋tan x2≥2＝2，因为tan x1≠tan x2，所以k>2.9．(多选)下列式子中叙述正确的为(　　)A．tan ＝B．存在α、β，满足tan (α－β)＝tan α－tan βC．存在α、β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan βD．对任意α、β，tan (α＋β)＝tan α＋tan β【解析】选ABC.tan ＝，A正确．存在α＝β＝，满足tan (α－β)＝tan α－tan β，B正确．存在α＝0，β＝，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确．对任意α、β，tan (α＋β)＝，D不正确．二、填空题(每小题5分，共15分)10．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．【解析】＝＝－7.因为tan (α－β)＝＝－1，又0°<α<90°，90°<β<180°，所以－180°<α－β<0°，所以α－β＝－45°.答案：－7　－45°11．已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，cos ＝，且β∈，则sin β＝________．【解析】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，所以sin α＝，cos α＝，又<，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，因为β∈，所以2kπ<α＋β<2kπ＋，k∈Z，因为cos ＝，所以sin ＝，所以sin β＝sin ＝sin cos α－cos sin α＝×－×＝.答案：12．(2021·杭州高一检测)函数f＝2－的最小正周期为________，f的值域为________．【解析】首先由f＝2|sin x|－|cos x|两项的系数特征知，周期是π的正整数倍，而f(x＋π)＝2|sin (x＋π)|－|cos (x＋π)|＝2|sin x|－|cos x|＝f(x)，故最小正周期是π；最小正周期是π，故只研究x∈的值域即可．当x∈时，f＝2sin x－cos x＝sin ，，则x－φ∈⊆，f(x)递增，故x－φ＝－φ时，f(x)min＝sin ＝－×＝－1，当x－φ＝－φ时，f(x)max＝sin ＝×＝2，即值域为；当x∈时，f＝2sin x＋cos x＝sin ，，则x＋φ∈⊆，f(x)递减，故值域为，即，综上，f(x)值域为.答案：π　三、解答题(每小题10分，共40分)13．已知0<α<，－<β<0，且α，β满足sin α＝，cos β＝，求α－β.【解析】因为0<α<，－<β<0，且sin α＝，cos β＝，故cos α＝＝＝，sinβ＝－＝－＝－，由0<α<，－<β<0得，0<α－β<π，故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又cos (α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝.14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan (α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【解题指南】先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后求tan (α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan (α＋2β)，进而得到α＋2β的值．【解析】由条件得cos α＝，cos β＝，因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，所以tan α＝7，tan β＝.(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.(2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝－1，因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝.15．已知函数f＝2sin cos ＋2sin x cos x.(1)求f单调递增区间；(2)若f＝，且α∈，求sin α的值．【解析】(1)f＝sin ＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin ，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，则函数单调递增区间为.(2)由f＝得2sin ＝，即sin ＝，由α∈，α＋∈，可得cos ＝－，则sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ，所以sin α＝×＋×＝.16．如图，在某小区内有一形状为正三角形ABC的草地，该正三角形的边长为20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心，以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.(1)试用α表示该步行道MN的长度；(2)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值．【解析】(1)因为∠ACB＝，所以∠NCT＝－α，因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以CT⊥MN.在Rt△CMT中，因为CT＝10，所以MT＝10tan α，在Rt△CNT中，∠NCT＝－α，所以NT＝10tan (－α)，所以MN＝10tan α＋10tan ，其中0<α<.(2)因为0<α<，所以0<tan α<，MN＝10tan α＋10tan ＝10，令1＋tan α＝t，其中1<t<4，则MN＝10＝10＝≥，当且仅当t＝时即t＝2，α＝时MN的最小值为，故当α＝时步行道的长度有最小值.