人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算课堂检测

复数的四则运算

(30分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知a为实数，复数z＝(a－2)＋ai(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，若z为纯虚数，则1－＝(　　)

A．1－2i      B．1＋2i

C．2＋i       D．2－i

【解析】选B.因为z＝(a－2)＋ai为纯虚数，

所以a＝2，则z＝2i，所以＝－2i

则1－＝1＋2i.

2．(2021·金华高一检测)若a＋＝x＋yi(a，x，y∈R)，则(　　)

A．x＋y＝0        B．x－y＝0

C．x－ay＋1＝0      D．x－ay－1＝0

【解析】选B.因为a＋＝a＋＝＋i＝x＋yi，所以x＝，y＝，则x－y＝0.

3．已知复数z＝，其中i是虚数单位，则在复平面上对应的点在第几象限？(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

【解析】选A.由已知z＝＝＝1－i，＝1＋i，对应点坐标为(1，1)，在第一象限．

4．(多选题)已知复数z＝cos θ＋isin θ(－<θ<)(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)

A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B．|z|＝cos θ

C．z·＝1

D．z＋为实数

【解析】选CD.复数z＝cos θ＋isin θ(－<θ<)(其中i为虚数单位)，复数z在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A不正确；|z|＝＝1，所以B不正确；z·＝(cosθ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.所以C正确；z＋＝cos θ＋isin θ＋＝cos θ＋isin θ＋cos (－θ)＋isin(－θ)＝2cos θ为实数，所以D正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·天津高一检测)已知i是虚数单位，则＝________.

【解析】＝＝＝1＋4i.

答案：1＋4i

6．已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝________，b＝________．

【解析】把＋i代入方程，

得a＋b＋1＝0，

即＋i＝0，

所以，

即，

解得.

答案：1　－

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．设复数z＝.

(1)求z的共轭复数；

(2)设a∈R，|z＋ai|＝1，求a的值．

【解析】(1)因为z＝＝＝＝＝－－i，

所以＝－＋i；

(2)因为z＋ai＝－－i＋ai

＝－＋i，

所以|z＋ai|＝＝1解得a＝或a＝2.

8．已知z1，z2为虚数，且满足|z1|＝5，z2＝3＋4i.

(1)若z1z2是纯虚数，求z1；

(2)求证：为纯虚数．

【解析】(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

由|z1|＝5，得a2＋b2＝25，①

由z1z2＝(a＋bi)(3＋4i)＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i是纯虚数，得3a－4b＝0，且4a＋3b≠0，②

联立①②解得a＝4，b＝3或a＝－4，b＝－3.

所以z1＝4＋3i或z1＝－4－3i；

(2)＝＝＝＋i.

由a2＋b2＝25，b≠0，可知为纯虚数．