人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形课后作业题

基本立体图形　立体图形的直观图

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1. (2021·朝阳高一检测)连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α(0°＜α＜360°)，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内．则这个八面体的旋转轴共有(　　)

A．7条    B．9条    C．13条    D．14条

【解析】选C.由对称性结合题意可知，过EF，AC，BD的直线为旋转轴，此时旋转角α最小为90°；

过正方形ABCD，AECF，BEDF对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角α最小为180°；

过八面体相对面中心的连线为旋转轴，共4条，此时旋转角α最小为120°.

综上，这个八面体的旋转轴共有13条．

2．(2021·白城高一检测)已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为(　　)

A．6        B．8

C．2＋3      D．2＋2

【解析】选B.由斜二测画法的规则知，与x′轴平行的线段其长度不变以及与x轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为，所以在平面图中一条对角线在y轴上，且其长度变为原来的2倍，是2，其原来的图形如图所示

所以原图形的周长是：

2(OA＋AB)＝2×(1＋)＝8.

【加固训练】

 (2021·诸暨高一检测)若边长为2的正△A1B1C1是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是(　　)

A．    B．    C．2    D．2

【解析】选D.由于原几何图形的面积：直观图的面积＝2∶1.

又因为正△A1B1C1的边长为2，

所以S直观图＝×2×2×sin 60°＝.

原图形的面积S＝2×＝2.

3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的三角形ABC的直观图，其中D′是A′C′的中点，且A′，B′，C′，D′与A，B，C，D分别对应，则在原三角形ABC中，与线段BD的长相等的线段至少有(　　)

A．0条    B．1条    C．2条    D．3条

【解析】选C.先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形A′B′C′还原后为直角三角形，且D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.

4．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC在边AB上的高为(　　)

A．6    B．3    C．3    D．3

【解析】选A.如图，过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′，则2C′D′是△ABC在边AB上的高．

由于△B′C′D′是等腰直角三角形，

则C′D′＝B′C′＝3.

所以△ABC在边AB上的高等于2×3＝6.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是________．(填序号)

①AB＝BC＝AC；②AD⊥BC；③AC>AD>AB>BC；④AC>AD>AB＝BC.

【解析】由直观图画出△ABC如图所示，

其中AB＝2BC，①错误；∠ABC＝90°，②错误；

AC>AD>AB>BC，③正确，④错误．

答案：③

6．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长为________．

【解析】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r，4r，过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

所以＝，所以＝＝.

解得l＝9(cm)，

即圆台的母线长为9 cm.

答案：9 cm

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．

【解析】四边形ABCD的真实图形如图所示，

因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，

所以在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，

因为DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，

所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.

8．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l<R)并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．

【解析】轴截面如图．

被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x.

因为OA＝AB＝R，

所以△OAB是等腰直角三角形．

又CD∥OA，则CD＝BC.故x＝l.

所以截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)(l<R).

9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

【解析】(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).

由已知可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，

又因为腰长为12 cm，

所以高AM＝＝3(cm).

(2)延长BA，OO1，CD交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO可得＝，

解得l＝20(cm)，

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.