北京市昌平区一中教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

北京市昌平区一中教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

第I卷（选择题）

1．清代袁牧的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（       ）

A． B． C． D．

2．2021年3月，华为在深圳发布《华为创新和知识产权白皮书2020》，华为对遵循5G标准的单台手机专利许可费不高于美元，则下面表示专利许可费的不等关系正确的是（       ）

A． B． C． D．

3．在数轴上表示不等式3x+1≤-5的解集，正确的是（     ）

A． B．

C． D．

4．下列运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

5．方程 的正整数解的个数是(     )

A．1个 B．2 个 C．3 个 D．无数个

6．长方形的面积是，如果它的一边长为，则它的周长是（     ）

A． B． C． D．

7．已知满足方程组，则无论m取何值，恒有关系式是（       ）

A． B． C． D．

8．观察下列各式及其展开式：

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

…

请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）

A．36 B．45 C．55 D．66

第II卷（非选择题）

9．如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，请你用“>”或“<”填空：x-3______2．

10．方程中，用含x的式子表示y，则y=___________．

11．若关于x的方程(k﹣2)x|k|﹣1-7y＝8是二元一次方程，则k＝________

12．已知是二元一次方程的一个解，那么的值是___________．

13．已知，是常数，且，关于的不等式：

（1）当__________时，不等式的解集是．

（2）当__________时，不等式的解集是．

14．（       ）是个完全平方式，那么括号内应该填的数是_____________．

15．已知的解是，则方程组的解是________．

16．对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如，给出如下结论：

，，，．以上结论中，你认为正确的有___________填序号

17．计算： ．

18．解不等式，并在数轴上表示出它的解集．

19．解方程组：

20．解不等式组，并写出它的所有整数解．

21．已知方程组的解、满足，求m的取值范围．

22．化简：

(1)；

(2)．

23．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．

(1) ______ ；

(2)若，求的值；

24．先化简，再求值：，其中．

25．某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．

（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件；

（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案．

26．小明同学遇到下面的问题：解方程组，他发现，如果直接用代入消元法或加减消元法求解运算量比较大， 也容易出错，如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：

令，这时原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，所以，原方程组的解为：

请你参考小明同学的做法解决下面的问题：

解方程组：

27．请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．

方法1：　   　

方法2：　   　

（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　   　

（3）利用（2）中结论解决下面的问题：

如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分的面积．

28．【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．

【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．

【解决问题】解：，．

，，．

，，

同理，得．

由，得，

的取值范围是．

【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围；

（2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

直接利用科学记数法的形式表示即可．

【详解】

解：0.0000084＝ ，

故选：B

【点睛】

本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，表示绝对值小于1的数科学记数法的形式为：，这里的，且不等于0，为负整数．

2．C

【解析】

【分析】

根据题干中“不高于美元”即可确定不等式．

【详解】

∵单台手机专利许可费不高于美元，

∴表示专利许可费的不等关系正确的是，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查不等式，理解题意是关键．

3．D

【解析】

【分析】

先解一元一次不等式不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表述出来即可得得出答案．

【详解】

解：解不等式3x+1≤-5，

解得x≤-2．

所以不等式的解集在数轴上表示为：

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键．

4．B

【解析】

【分析】

根据幂的运算法则即可依次判断．

【详解】

A.不能计算，故错误；       

B.，正确；

C.，故错误；       

D.，故错误；

故选B．

【点睛】

此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的运用．

5．A

【解析】

【分析】

将y看做已知数，表示出x，令y=1，2，3，…，分别求出x的值，即可得到方程的正整数解．

【详解】

由2x+3y=10得：   

令y=2，得到x=2

则方程2x+3y=10的正整数解个数是1个．

故选A

【点睛】

任何一个二元一次方程都有无数组解，但是满足二元一次方程的正整数解，即该方程中的两个未知数的值都是正整数．

6．B

【解析】

【分析】

根据，求出长方形的另一边长，然后求周长即可．

【详解】

解：由题意知，长方形的另一边长为，

∴长方形的周长为，

故选：B．

【点睛】

本题考查了整式的乘除，整式的加减运算．解题的关键在于熟练掌握平方差公式．

7．C

【解析】

【分析】

由方程组消去m，得到一个关于x，y的方程，化简这个方程即可．

【详解】

解：由方程组，

①+②得：x+y+m-5=4+m，

即x+y=9，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．

8．B

【解析】

【分析】

归纳总结得到展开式中第三项系数即可．

【详解】

解：（a+b）2=a2+2ab+b2；

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；

（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；

第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；

第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；

第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，

则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．

故选B．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的规律，根据给的式子得出规律是解题的关键.

9．＜

【解析】

【分析】

根据不等式的性质解答即可．

【详解】

解：由题意得：

x＜5，

∴x-3<5-3，即x-3<2，

故答案为：＜．

【点睛】

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

10．-+x

【解析】

【分析】

移项、系数化为1，据此用含x的式子表示y即可．

【详解】

解：移项，可得：-4y=5-2x，

系数化为1，可得：y=-+x．

故答案为：-+x．

【点睛】

此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．

11．-2

【解析】

【分析】

根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，求解即可.

【详解】

解：根据题意得：，

解得：k=-2．

故答案为-2．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的概念，解题的关键是掌握二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．

12．3

【解析】

【分析】

由题意知，将代入中，计算求解即可．

【详解】

解：由题意知，将代入得，，

解得，

故答案为：3 ．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解的定义．解题的关键在于熟练掌握二元一次方程的解的定义．

13．         

【解析】

【分析】

根据不等式的性质进行求解即可．

【详解】

解：，

两边同时减去得，，

当时，两边同时除以得，；

当时，两边同时除以得，；

故答案为：；．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质．解题的关键在于明确不等式两边同时除以一个大于0的数，不等号方向不变；不等式两边同时除以一个小于0的数，不等号方向要改变．

14．25

【解析】

【分析】

根据完全平方式的结构特征填写即可．

【详解】

解：∵是完全平方式，

又∵（       ）是个完全平方式，

∴括号内应该填的数是25

故答案为：25．

【点睛】

本题考查了是完全平方式；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

15．

【解析】

【详解】

由方程组可得方程组，

对比方程组的解是，可得：3x-3=3，4y+12=4，

所以，

故答案为.

16．①③##③①

【解析】

【分析】

根据题目中的新定义可以判断出各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．

【详解】

解：由题意可得，

[-3]=-3，故①正确；

[-2.9]=-3，故②错误；

[0.9]=0，故③正确；

当x为整数时，[x]+[-x]=x+（-x）=0，

当x为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；

故答案为：①③．

【点睛】

本题考查新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题中的结论是否正确．

17．-9

【解析】

【分析】

根据负整数指数幂、零指数幂进行计算即可；

【详解】

解：原式=

=-9

【点睛】

本题主要考查负整数指数幂、零指数幂的计算，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．

18．． 数轴见解析

【解析】

【分析】

先解不等式：运用去括号，移项，合并同类项，把系数化为1等步骤，求出不等式的解；再把不等式的解在数轴上表示出来即可.

【详解】

解：去括号，得：

,     

移项，得：,

合并同类项，得：,

系数化成1得：;

该不等式的解集在数轴上表示为：

【点睛】

本题主要考查一元一次不等式的解题步骤方法的知识，难度较小. 解题中特别要注意最后把系数化为1的这一环节，如果系数为正数，不等号的方向不变，若系数为负数，不等号的方向要改变.

19．

【解析】

【分析】

利用加减消元法解二元一次方程组即可．

【详解】

解：

②×3＋①，得

5x=25

解得：x=5

将x=5代入②，得

5－y=3

解得：y=2

∴该方程组的解为．

【点睛】

此题考查的是解二元一次方程组，掌握利用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．

20．-2≤x＜3，它的整数解为-2、-1、0、1、2．

【解析】

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】

解：

由第一个不等式得2x+2≤5x+8，

解得x≥-2，

由第二个得4x-10＜x-1

解得x＜3

∴不等式组的解集为-2≤x＜3，

它的整数解为-2、-1、0、1、2．

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组，求符合条件的整数解．正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．

21．m的取值范围为m＜．

【解析】

【分析】

根据消元法，得出x、y的值，再根据x+y＜1，可得答案．

【详解】

解：，

①+②，得：3x+3y=2+2m，

∴x+y=，

∵x+y＜1，即＜1，

解得，m＜．

∴m的取值范围为m＜．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出m的取值范围．

22．(1)-2xy2+4x2y；

(2)7b．

【解析】

【分析】

（1）合并同类项即可；

（2）先去括号，再合并同类项即可．

(1)

解：

=（2-4）xy2+（-3+7）x2y

=-2xy2+4x2y；

(2)

解：

=2a+3b-2a+4b

=7b．

【点睛】

本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项的能力是解题的关键．

23．(1)1

(2)2

【解析】

【分析】

（1）根据，计算求解即可；

（2）根据，可得，计算求解即可．

(1)

解：由题意知，，

故答案为：1．

(2)

解：∵，

∴，

解得，

∴的值为2．

【点睛】

本题考查了幂的乘方、积的乘法的逆运算，同底数幂的乘法．解题的关键在于对运算法则的熟练掌握与灵活运用．

24．6m2+4m-2，2．

【解析】

【分析】

先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．

【详解】

解：

=9m2-1-（4m2-4m+1）+（-8m3）÷（-8m）

=9m2-1-4m2+4m-1+m2

=6m2+4m-2

=2（3m2+2m）-2，

∵3m2+2m-2=0，

∴3m2+2m=2，

当3m2+2m=2时，原式=2×2-2=2．

【点睛】

本题考查整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

25．（1）购买的甲、乙两种奖品分别是5件、15件（2）该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件.

【解析】

【分析】

（1）根据“两种奖品共20件”和“两种奖品共花费650元”列出方程组求解即可；

（2）根据题意，列出不等式组求解即可.

【详解】

（1）设甲、乙两种奖品分别购买x件、y件

依题意，得：，

解得：，

答：甲、乙两种奖品分别购买5件、15件.

（2）设甲种奖品购买m件，则乙种奖品购买（20-m）件

依题意得：

解得：，

∵m为整数，∴m=7或8，

当m=7时，20-m=13；当m=8时，20-m=12，

答：该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件.

26．.

【解析】

【分析】

由题意可得x+y=m，x-y=n，方程变形后求出m与n的值，即可确定出x与y的值．

【详解】

解：由题意可得，，

则方程组可变形为，

解得：

，

解得.

【点睛】

此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

27．（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab；（3）14．

【解析】

【分析】

（1）方法1：两个正方形面积和，方法2：大正方形面积-两个小长方形面积；

（2）由题意可直接得到；

（3）由阴影部分面积=正方形ABCD的面积+正方形CGFE的面积-三角形ABD的面积-三角形BGF的面积，可求阴影部分的面积．

【详解】

（1）由题意可得：方法1：a2+b2，方法2：（a+b）2﹣2ab，

故答案为a2+b2，（a+b）2﹣2ab；

（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab，

故答案为a2+b2=（a+b）2﹣2ab；

（3）∵阴影部分的面积=S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF=a2+b2﹣a2﹣（a+b）b

∴阴影部分的面积=a2+b2﹣ab= [（a+b）2﹣2ab]﹣ab=14.

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．

28．（1）；（2）当时，

【解析】

【分析】

（1）仿照例子，运算求解即可；

（2）仿照例子，注意确定不等式有解集时a的取值范围即当时，关于x、y的不等式存在解集，然后运算求解即可．

【详解】

（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，①

同理，得，②

由①+②，得，

∴的取值范围是．

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴当时，，①

同理，得，②

由①+②，得，

∴的取值范围是．

【点睛】

本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式．能够仿照例子结合不等式的基本性质作答是解题的关键．