北京市西城区西城外国语学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

这是一份北京市西城区西城外国语学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题，共27页。试卷主要包含了的立方根是，已知，满足方程组，则的值为，6的平方根是______，不等式的解集是________等内容，欢迎下载使用。

北京市西城区西城外国语学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．的立方根是（       ）
A． B． C．2 D．
2．利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（       ）
A． B．
C． D．
3．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　）
A．a+5＜b+5 B． C．3a﹣2＞3b﹣2 D．﹣4a＞﹣4b
4．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的条件是（       ）

A． B． C． D．
5．如图，直线a∥b，点在直线上，且，，那么的度数是（       ）


A． B． C． D．
6．已知，满足方程组，则的值为（       ）
A．4 B．8 C． D．
7．在实数范围内规定新运算“”，其规则是：．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是（       ）

A． B．0 C．1 D．2
8．已知为非零有理数，下面不等式组中解集有可能为的不等式组是（       ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
9．6的平方根是______．
10．不等式的解集是________．
11．如图，AB∥CD，，，则________．

12．不等式的最大正整数解为________．
13．如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米．

14．如图，直线，，垂足为，与直线相交于点，若，则________．

15．已知中只有3个整数，则的范围是________．
16．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α（0°＜α＜180°）．当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，写出旋转角α的所有可能的度数为 ．
评卷人
得分



三、解答题
17．求下列各式的值．
(1)
(2)
18．计算：
(1)
(2)
(3)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(4)求不等式组的整数解．
19．如图，四边形中，AD∥BC

(1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到1cm）；测得点到的距离为________（精确到1cm）．
(2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“＞”或“＜”或“=”填空）依据是________．
20．完成下面的证明.
已知：如图，是平分线上一点，DE∥BC交于点．
求证：．

证明：∵DE∥BC，
∴________（________），
________（________）．
∵平分，
∴________．
∴（________）．
21．已知关于、的方程组的解，都是非负数，求的取值范围．
22．如图，已知：E，F分别是AB和CD上的点，DE，AF分别交BC与点G，H，，，求证：.

23．为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年均载客量如表：

A型
B型
价格（万元/辆）
a
b
年均载客量（万人/年/辆）
60
100

若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元
（1）求购买每辆A型公交车和每辆B型公交车分别多少万元？
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车年均载客总和不少于680万人次，有哪几种购车方案？请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
24．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且，满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且．

(1)求，的值；
(2)如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，请写出在转动过程中与的数量关系并证明．
(3)如图1，若灯射线先转动40秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，直接写出灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．
25．我们规定：表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数．例如：，；
，．
(1)_______；
(2)若，求的取值范围________；
(3)若，求的值．
26．如图1，AM∥BN，点，点分别在射线，上，且．

(1)求证：AB∥DC；
(2)连接，作，交于点，作的平分线交于点（如图2），将沿方向水平向右平移．
①在的移动过程中，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数量关系，并证明：若变化，试说明理由；
②当运动到时，求证：．

参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据立方根的定义解答．
【详解】
解：∵(-2)3=-8，
∴-8的立方根是-2，
故选：D．
【点睛】
此题考查了立方根的定义：一个数的立方等于a，则这个数是a的立方根．
2．B
【解析】
【分析】
分别解不等式求出解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式x+12得x1，
解不等式2x>-6得x>-3，
∴不等式组的解集为x1，
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握解不等式的方法及数轴的性质是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
【详解】
解：A．∵a＞b，
∴a+5＞b+5，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴3a-2＞3b-2，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴-4a＜-4b，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理依次判断．
【详解】
解：A、∵∠3=∠4，∴ACBD，故该项不符合题意；
B、∵，∴ACBD，故该项不符合题意；
C、∵，∴ABCD，故该项符合题意；
D、∵，∴ACBD，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并应用是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据垂直的定义求出∠ABC=90°，得到∠3=90°-∠1=65°，由平行线的性质求出∠2=∠3=65°．
【详解】
解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵∠1=25°，
∴∠3=90°-∠1=65°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=65°，
故选：C．


【点睛】
此题考查了平行线的性质：两直线平行同位角相等，还考查了垂直的定义．
6．A
【解析】
【分析】
通过观察已知方程组中a，b的系数，根据加减法，即可得答案．
【详解】
由，
②－①，可得：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，利用等式的性质把两式相减是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
解得： ，
从数轴上可知，不等式的解集为，
∴，解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空心”和“实心”是解答本题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
将解集化为的形式，得到，根据不等式的形式判断可得．
【详解】
解：∵-1 ∴，
∴，
只有B的形式和的形式一样，
故选：B．
【点睛】
此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行变形计算是解题的关键．
9．
【解析】
【分析】
利用平方根的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：6的平方根是；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟记定义进行计算．
10．
【解析】
【分析】
根据不等式的性质计算即可．
【详解】
解：，
得，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解不等式，正确掌握不等式的性质是解题的关键．
11．40
【解析】
【分析】
由得到，再利用三角形的外角定理可以求出．
【详解】
∵，∠C＝70°，
∴，
又∵∠FEB＝∠A＋，而∠A＝30°，
∴＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°，
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到＝∠FEB－∠A是解题关键．三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
12．5
【解析】
【分析】
先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解．
【详解】
解：移项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的最大正整数解是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查解不等式的能力，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．171
【解析】
【分析】
利用平移的性质得到草地部分的图形为一个长方形，利用公式计算即可．
【详解】
解：草地部分的面积为171（平方米），
故答案为：171．
【点睛】
此题考查了利用平移的性质解决实际问题，正确理解平移的性质是解题的关键．
14．118
【解析】
【分析】
过点B作BEl1，根据平行线的性质求出∠ABE=∠BDF=90°，根据平行公理的推论推出BEl2，得到∠EBC=∠1=28°，由此求出∠2的度数．
【详解】
：过点B作BEl1，


∵，
∴∠BDF=90°，
∴∠ABE=∠BDF=90°，
∵l1l2，
∴BEl2，
∴∠EBC=∠1=28°，
∴∠2=∠ABE+∠EBC=90°+28°=118°，
故答案为：118．
【点睛】
此题考查了平行线的性质及判定求角度，正确掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
根据题意确定整数，由此得到答案．
【详解】
解：∵-3 ∴3个整数分别为-2、-1、0，
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了不等式组的整数的个数求参数，正确理解不等式组的整数个数问题是解题的关键．
16．15°，45°，105°，135°，150°
【解析】
【分析】
要分5种情况进行讨论：AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、DE∥AC、AE∥BC分别画出图形，再分别计算出度数即可．
【详解】
解：当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的情况如下图所示：

①当AD∥BC时，α=15°；
②当DE∥AB时，α=45°；
③当DE∥BC时，α=105°；
④当DE∥AC时，α=135°；
⑤当AE∥BC时，α=150°．
故答案为15°，45°，105°，135°，150°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质不会改变图形的形状及大小．
17．(1)x=-4；
(2)x=4或x=-4
【解析】
【分析】
（1）根据立方根的定义求方程的解；
（2）根据平方根的定义解方程．
(1)
解：x3=-64，
x=-4；
(2)
，
，
x2=16，
x=4或x=-4．
【点睛】
此题考查了利用平方根定义和立方根定义求方程的解，正确理解并掌握定义是解题的关键．
18．(1)-6；
(2)；
(3)x-2.5，数轴见解析；
(4)-1、0、1、2、3．
【解析】
【分析】
（1）分别化简算术平方根，再计算加减法；
（2）根据定义分别求立方根，化简绝对值，计算乘方，再计算加减法；
（3）根据不等式的性质求解集，并表示在数轴上即可；
（4）分别解不等式，即可得到不等式组的解集．
(1)
解：
=
=6-12
=-6
(2)

=
=
(3)

4（x+1）3（2x-1）+12
4x+46x-3+12
-2x5
x-2.5
解集表示在数轴上：

(4)
，
解不等式①得x1；
解不等式②得x<4；
∴不等式组的解集为1x<4，
∴不等式组的整数解为-1、0、1、2、3．
【点睛】
此题考查了计算能力，实数混合运算，解一元一次不等式及求一元一次不等式组的整数解，正确掌握实数的混合运算法则及不等式的性质是解题的关键．
19．(1)22，10；
(2)<，垂线段最短
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义作图即可，利用直尺测量线段CE、CF的长度可得对应的距离；
（2）根据垂线段最短可得CE (1)
解：如图，垂线段CE，CF即为所求，
经测量CE=22cm，CF=10cm，
∴测得点到的距离为22；测得点到的距离为10cm，
故答案为：22，10；

(2)
∵CE⊥AB，
∵根据垂线段最短可知CE 故答案为：<，垂线段最短．
【点睛】
此题考查了作垂线，垂线段最短的性质的应用，点到直线的距离，正确作出图形理解点到直线的距离是解题的关键．
20．见解析
【解析】
【分析】
根据平行线的性质及角的平分线定义解答．
【详解】
证明：∵DEBC，
∴ABC（两直线平行，内错角相等），
DBC（两直线平行，同位角相等）．
∵平分，
∴DBC．
∴（等量代换），
故答案为：ABC；两直线平行，内错角相等；DBC；两直线平行，同位角相等；DBC；等量代换．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
21．
【解析】
【分析】
利用加减法解方程组求出解，利用方程组的解都是非负数得到，求解即可．
【详解】
解：，
①+②得2x=4a+2，
解得x=2a+1，
将x=2a+1代入①，得y=a+3-2a-1=-a+2，
∵方程组的解都是非负数，
∴，
解得．
【点睛】
此题考查了方程组与不等式组的结合，正确掌握解方程组及不等式组的解法是解题的关键．
22．见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件，先判定AF∥ED和AB∥CD，然后利用平行线的性质来求证．
【详解】
证明：∵，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
23．（1）购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元；（2）购买A型公交车8辆时，购车的总费用最小，为1100万元．
【解析】
【分析】
（1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车（10-x）辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不少于680万人次”求得x的范围，设购车的总费用为W，列出W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质求解可得．
【详解】
(1)根据题意,得：   
解得：   
答：购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元；
(2)设购买A型公交车x辆,则购买B型公交车(10−x)辆，
根据题意得：   
解得：   
设购车的总费用为W，
则W=100x+150(10−x)=−50x+1500，
∵W随x的增大而减小，
∴当x=8时，W取得最小值，最小值为1100万元．
【点睛】
考查二元一次方程组，一元一次不等式组以及一次函数的应用，读懂题意，找到题目中的等量关系或者不等关系是解题的关键.
24．(1)a=3，b=1；
(2)；
(3)20或80
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到a-3=0，b-1=0，即可求出a、b；
（2）设灯射线转动a秒，得到∠MAC=3a°，∠PBC=a°，求出∠BAC =（3a-135）°，过点C作CEPQ，得到∠ACB=∠ECB+∠ACE=（180-2a）°，进而求出∠BCD=（2a-90）°，即可推出；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据3t=1•（40+t），可得 t=20；当90＜t＜150时，根据1•（40+t）+（3t-180）=180，可得t=80．
(1)
解：∵，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1；
(2)
，理由如下：
设灯射线转动a秒，
∴∠MAC=3a°，∠PBC=a°，
∴∠NAC=（180-3a）°，
∵∠BAN=45°，
∴∠BAC=∠BAN-∠NAC=（3a-135）°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB
过点C作CEPQ，

∵PQMN，
∴PQCEMN，
∴∠PBC=∠ECB，∠NAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ECB+∠ACE=a°+（180-3a）°=（180-2a）°，
∴∠BCD=90°-（180-2a）°=（2a-90）°，
∴；
(3)
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQMN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵ACBD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD，
∴3t=1•（40+t），
解得 t=20；
②当90＜t＜140时，如图2，
∵PQMN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵ACBD，
∴∠CAN=∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN=180°，
∴1•（40+t）+（3t-180）=180，
解得  t=80，
综上所述，当t=20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
25．(1)c或-3；
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据公式求三个数中的最小的数即可；
（2）根据公式得到，解不等式组即可；
（3）根据公式得到，对于分三种情况：①当x=2时，②当x<2时，当x>2时，比较三者的大小得到方程计算解答．
(1)
解：当时，c，
当c>-3时，-3，
故答案为c或-3；
(2)
∵，
∴，
解得；
故答案为：
(3)
，
对于：
①当x=2时，x+2=4，x=4，=4，
∴2-x=4，解得x=-2（舍去）；
②当x<2时，2x ∴2-x=2x，解得；
当x>2时，x+2>4，2x>4，=4，
∴2-x=4，解得x=-2（舍去）；
综上，．
【点睛】
此题考查了不等式的性质，解不等式组，分类讨论思想的应用是解题的关键．
26．(1)见解析；
(2)①不变，∠AEB=2∠ACB；②见解析
【解析】
【分析】
（1）利用AMBN推出∠B+∠A=180°，由∠BAD=∠BCD得到∠B+∠BCD=180°，即可推出ABCD；
（2）①根据AMBN推出∠DAC=∠ACB，由此得到=∠ACB，求出∠AEB=2∠ACB；
②由ABCD推出∠BAC=∠ACD，得到∠BAC=∠AFB，进而得到∠BAF+∠FAE+∠EAC=∠FAE+2∠ACB，理由角平分线定义得到．
(1)
证明：∵AMBN，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴ABCD；
(2)
①与之间的数量关系不发生变化，理由如下：
∵AMBN，
∴∠DAC=∠ACB，
∵，
∴=∠ACB，
∴∠AEB=∠EAC+∠ACB=2∠ACB；
②∵ABCD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵，
∴∠BAC=∠AFB，
∴∠BAF+∠FAE+∠EAC=∠FAE+2∠ACB，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠FAE，
∴．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．