高中数学3.1 函数课后作业题

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这是一份高中数学3.1 函数课后作业题，共6页。

1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)恒成立，且f(1)＝1，则f(3)＋f(4)＋f(5)的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．0
解析：选D ∵f(x)是R上的奇函数，f(1)＝1，
∴f(－1)＝－f(1)＝－1，f(0)＝0.
依题意得f(3)＝f(－1＋4)＝－f(1)＝－1，
f(4)＝f(0＋4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1＋4)＝f(1)＝1.
因此，f(3)＋f(4)＋f(5)＝－1＋0＋1＝0，故选D.
2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
解析：选A 由题意得|2x－1|3．若奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值6 B．最小值－6
C．最大值－6 D．最大值6
解析：选C 因为奇函数f(x)在[2，5]上有最小值6，所以可设a∈[2，5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
4．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．|f(x)|g(x)是奇函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．f(x)＋|g(x)|是偶函数
D．|f(x)|＋g(x)是偶函数
解析：选BD A中，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是偶函数，可得g(－x)＝g(x)，由f(－x)＋|g(－x)|＝－f(x)＋|g(x)|知C错误；D中，由|f(－x)|＋g(－x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)，知D正确．故选B、D.
5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是( )
A．8 B．－8
C.eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)
解析：选B 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)＝f(－2)＝(－2)3＝－8，故选B.
6．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________．
解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
7．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x（x≥0），,g（x）（x<0）))为奇函数，则f[g(－1)]＝________．
解析：根据题意，当x<0时，f(x)＝g(x)，又f(x)为奇函数，∵g(－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2×1)＝－3，则f[g(－1)]＝f(－3)＝－f(3)＝－(32＋2×3)＝－15.
答案：－15
8．已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________．
解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．
答案：x(x＋1)
9．已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝eq \f(x,x2＋1).
(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
解：(1)因为f(x)＝eq \f(x,x2＋1)，
所以f(－x)＝eq \f(－x,x2＋1)＝－eq \f(x,x2＋1)＝－f(x)．
故f(x)＝eq \f(x,x2＋1)为奇函数．
任取x1，x2∈(－1，1)且x1所以f(x2)－f(x1)＝eq \f(x2,xeq \\al(2,2)＋1)－eq \f(x1,xeq \\al(2,1)＋1)
＝eq \f(x2（xeq \\al(2,1)＋1）－x1（xeq \\al(2,2)＋1）,（xeq \\al(2,1)＋1）（xeq \\al(2,2)＋1）)＝eq \f(（x2－x1）（1－x1x2）,（xeq \\al(2,1)＋1）（xeq \\al(2,2)＋1）).
因为x2－x1>0，1－x1x2>0且分母xeq \\al(2,1)＋1>0，xeq \\al(2,2)＋1>0，所以f(x2)>f(x1)，
故f(x)＝eq \f(x,x2＋1)在(－1，1)上为增函数．
(2)因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0，
得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(t\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(010．已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝eq \f(f（x）＋f（－x）,2)，h(x)＝eq \f(f（x）－f（－x）,2).
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论？
解：(1)∵g(－x)＝eq \f(f（－x）＋f（x）,2)＝g(x)，h(－x)＝eq \f(f（－x）－f（x）,2)＝－h(x)，∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．
(2)g(x)＋h(x)＝eq \f(f（x）＋f（－x）,2)＋eq \f(f（x）－f（－x）,2)＝f(x)．
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
[B级综合运用]
11．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A．f(－1)＝0
B．f(x)的最大值为eq \f(1,4)
C．f(x)在(－1，0)上是增函数
D．f(x)>0的解集为(－1，1)
解析：选AB f(－1)＝f(1)＝0，A正确；x≥0时，f(x)＝x－x2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，∴f(x)的最大值为eq \f(1,4)，B正确；f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上是减函数，C错误；f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，D错误．
12．已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－eq \f(1,x＋1)－2，则f(2)＝( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(7,3)
C．－3 D．eq \f(11,3)
解析：选A ∵f(x)＋g(x)＝x2－eq \f(1,x＋1)－2，①
∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－eq \f(1,－x＋1)－2＝x2－eq \f(1,－x＋1)－2，
又∵函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝x2－eq \f(1,－x＋1)－2，②
联立①②消去g(x)，得f(x)＝－eq \f(1,2x＋2)＋eq \f(1,－2x＋2)，
∴f(2)＝－eq \f(1,2×2＋2)＋eq \f(1,－2×2＋2)＝－eq \f(2,3).故选A.
13．函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，
得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
答案：{x|1≤x≤3}
14．已知函数f(x)＝x2＋(b＋1)x＋1是定义在[a－2，a]上的偶函数，g(x)＝f(x)＋|x－t|，其中a，b，t均为常数．
(1)求实数a，b的值；
(2)试讨论函数g(x)的奇偶性；
(3)若－eq \f(1,2)≤t≤eq \f(1,2)，求函数g(x)的最小值．
解：(1)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2＋a＝0，,b＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1.))
(2)由(1)得g(x)＝x2＋|x－t|＋1，x∈[－1，1]．
当t＝0时，g(x)＝x2＋|x|＋1＝g(－x)，则函数g(x)为偶函数；
当t≠0时，g(x)为非奇非偶函数．
(3)g(x)＝f(x)＋|x－t|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x－t＋1，t≤x≤1，,x2－x＋t＋1，－1≤x所以函数g(x)在[t，1]上单调递增，
则g(x)min＝g(t)＝t2＋1；
函数g(x)在[－1，t]上单调递减，
则g(x)min＝g(t)＝t2＋1.
综上，函数g(x)的最小值为t2＋1.
[C级拓展探究]
15．(2021·安徽师大附中高一月考)已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1，1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)因为函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝0.
又知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)，所以eq \f(\f(1,2)a,1＋\f(1,4))＝eq \f(2,5)，解得a＝1，
所以f(x)＝eq \f(x,1＋x2).
(2)证明：设x1和x2是区间(－1，1)上任意两个实数，且x1由于－10，
所以eq \f(（x2－x1）（1－x1x2）,（1＋xeq \\al(2,1)）（1＋xeq \\al(2,2)）)>0，即f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(t－1)＋f(t)<0等价于f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，即f(t－1)又由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1即原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(t\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0

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