高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数第一课时导学案及答案

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第一课时 正弦函数、余弦函数的图象
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．数学中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．
[问题] (1)你能画出y＝sin x, x∈[0，2π]的图象吗？
(2)y＝sin x，x∈[0，2π]上的五个关键点的坐标是什么？


知识点 正弦函数、余弦函数的图象
eq \a\vs4\al()
1．“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cs x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cs x，x∈R的图象．
2．将y＝sin x，x∈R的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度得y＝cs x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cs x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝sin x的图象关于y轴对称．( )
(2)函数y＝cs x的图象与y轴只有一个交点．( )
(3)将余弦曲线向右平移eq \f(π,2)个单位就得到正弦曲线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( )
A.eq \f(π,2) B．π
C.eq \f(3π,2) D．2π
答案：B
3．函数y＝－cs x，x∈[0，2π]的图象与y＝cs x，x∈[0，2π]的图象关于________对称．
答案：x轴
4．用“五点法”作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点是(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，1)，________，(2π，1)．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2))
[例1] (1)下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
(2)下列函数图象相等的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))与g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
[解析] (1)由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，知y＝－sin x在[0，2π]上的图象为选项D中的图象．故选D.
(2)A项，因为g(x)＝sin(π＋x)＝－sin x，f(x)＝sin x，所以不正确；
B项，因为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－cs x，g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x，所以不正确；
C项，因为g(x)＝sin(－x)＝－sin x，f(x)＝sin x，所以不正确．故D正确．
[答案] (1)D (2)D
eq \a\vs4\al()
解决正、余弦函数图象的注意点
对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
[跟踪训练]
已知函数y＝sin x的部分图象如图所示，完成下列各题：
(1)点A的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)|BD|＝________，|AE|＝________．
答案：(1)(－2π，0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1)) (2)2π eq \f(7π,2)
[例2] (链接教科书第174页例1)用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝2＋cs x，x∈[0，2π]．
[解] (1)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
(2)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
eq \a\vs4\al()
作形如y＝asin x＋b(或y＝acs x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤

[跟踪训练]
用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象．
解：按五个关键点列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
[例3] 利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)