数学必修 第一册3.1 函数学案及答案

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随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标．
[问题] (1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？
(2)你认为该目标能够实现吗？





知识点 几种常见函数模型
eq \a\vs4\al()
对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：选D 由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢．
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为________．
解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，……，分裂x次后为y＝2x＋1个，所以函数关系式y＝2x＋1.
答案：y＝2x＋1
[例1] 十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费，消耗费用等等)．受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间每天的房价增加x元(x≥0且x为10的整数倍)．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？
[解] (1)y＝50－eq \f(1,10)x(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．
(2)W＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50－\f(1,10)x))(180＋x－20)＝－eq \f(1,10)x2＋34x＋8 000(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．
(3)由(2)得W＝－eq \f(1,10)x2＋34x＋8 000＝－eq \f(1,10)(x－170)2＋10 890，当x<170时，W随x的增大而增大．
又0≤x≤160.
∴当x＝160时，W最大＝10 880，则y＝50－eq \f(1,10)x＝34.
故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10 880元．
eq \a\vs4\al()
建立函数模型的步骤
(1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息．根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设；
(2)建立函数模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的函数关系，建立相应的数学结构；
(3)求得数学问题的解；
(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性．
[跟踪训练]
一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
解：(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
[例2] (链接教科书第139页例3)某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售单价P(x)(单位：元)与时间x(单位：天，1≤x≤30，x∈N＋)的函数关系满足P(x)＝1＋eq \f(k,x)(k为正常数)．该商品的日销售量Q(x)(单位：个)与时间x的部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·lgbx.
请你根据表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入f(x)(单位：元)的最小值．
[解] (1)依题意知第10天该商品的日销售收入为P(10)·Q(10)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(k,10)))×110＝121，解得k＝1.
(2)由题中的数据，知随着时间的变化，该商品的日销售量有增有减，而①③④均为单调函数，故最合适的函数模型为②Q(x)＝a|x－25|＋b.
从表中数据可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Q（10）＝110，,Q（20）＝120，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a|10－25|＋b＝110，,a|20－25|＋b＝120，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝125，))
故Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．
(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100＋x，1≤x<25，x∈N＋，,150－x，25≤x≤30，x∈N＋，))
所以f(x)＝P(x)· Q(x)
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x)＋101，1≤x<25，x∈N＋，,\f(150,x)－x＋149，25≤x≤30，x∈N＋.))
当1≤x<25时，y＝x＋eq \f(100,x)在区间[1，10]上单调递减，在区间[10，25)上单调递增，
所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝eq \f(150,x)－x单调递减，
所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.
故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121元．
eq \a\vs4\al()
建立拟合函数与预测的基本步骤

[跟踪训练]
某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x(元)与日销量y(件)之间有如下关系：
(1)根据表中提供的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
解：(1)由题表中数据，在平面直角坐标系中作出实数对(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)对应的点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，
将点(50，0)，(45，15)代入，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50k＋b＝0，,45k＋b＝15，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150，))
∴y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
经检验(30，60)，(40，30)在此直线上，
∴所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)，
∴当x＝40时，P取得最大值，最大值为300.
故当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
1．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．75 B．100
C．125 D．150
解析：选A 由题意，得eq \f(4,9)a＝ae－50k，解得e－25k＝eq \f(2,3).令ae－kt＝eq \f(8,27)a，即e－kt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝(e－25k)3＝e－75k，则t＝75，即需经过的天数为75.
2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝2kx＋m(k，m为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时，在18 ℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36 ℃的保鲜时间是( )
A．4小时 B．8小时 C．16小时 D．32小时
解析：选A 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＝64，,218k＋m＝16，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝6，,k＝－\f(1,9)，))
∴y＝2eq \s\up6(－eq \f(1,9)x＋6).当x＝36时，y＝2eq \s\up6(－eq \f(1,9)×36＋6)＝22＝4，故选A.
3．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
解：若用函数y＝ax＋b(a≠0)模拟，取(1，50)，(2，52)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝50，,2a＋b＝52，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝48，))
∴y＝2x＋48.
当x＝3时，y＝54.
若用函数y＝ax＋b模拟，取(1，50)，(2，52)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝50，,a2＋b＝52，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝48.))∴y＝2x＋48.
当x＝3时，y＝56.
由题知3月份的产量为53.9千件，
因此用函数y＝2x＋48模拟的估计误差较小，故用函数y＝ax＋b模拟比较好．新课程标准解读
核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具
数学建模
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律
数学运算
年份
2018
2019
2020
销量/万辆
8
18
30
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
分段函数模型
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）（x建立函数模型解决实际问题
建立拟合函数模型解决实际问题
x
10
20
25
30
Q(x)
110
120
125
120
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量y(件)
60
30
15
0
月份
1
2
3
产量/千件
50
52
53.9