湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数导学案及答案

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薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零．经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．
现在，设经过t年后，薇甘菊的侵害面积会增长到原来的5倍．可得S0·1.057t＝5S0，
即1.057t＝5.
[问题] 用什么样的方式表示出t的值呢？






知识点一 对数的概念
1．定义：如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么eq \a\vs4\al(b)叫作以a为底，(正)数N的对数．记作b＝lgaN(这里a叫作对数的底数，eq \a\vs4\al(N)叫作对数的真数)．
2．对数恒等式
(1)aeq \a\vs4\al(lgaN)＝N(N>0，a>0且a≠1)；
(2)b＝lgeq \\al(,a)eq \a\vs4\al(ab)(b∈R，a>0且a≠1)．
eq \a\vs4\al()
对数与指数的关系
指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子lgmN中，底数m的范围是什么？
提示：m>0且m≠1.
2．对数式lgaN是不是lga与N的乘积？
提示：不是，lgaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数式lg32与lg23的意义一样．( )
(2)(－2)3＝－8可化为lg(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为________．
答案：lgaM＝2
3．把对数式lga49＝2写成指数式为________．
答案：a2＝49
知识点二 对数的基本性质
1．负数和0没有对数；
2．lga1＝eq \a\vs4\al(0)(a>0，且a≠1)(1的对数为0)；
3．lgaa＝eq \a\vs4\al(1)(a>0，且a≠1)(底的对数为1)．
1．lg3eq \f(2x－1,5)＝0，则x＝________．
答案：3
2．若6lg6(5x＋1)＝36.则x＝________．
解析：由6 lg6(5x＋1)＝36得5x＋1＝36，解得x＝7.
答案：7
[例1] (链接教科书第112页例1)(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16，2－5＝eq \f(1,32)；
(2)将下列对数式改写成指数式：lg5125＝3，lgeq \s\d9(\f(1,2))16＝－4.
[解] (1)lg216＝4，lg2eq \f(1,32)＝－5.
(2)53＝125，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－4)＝16.
eq \a\vs4\al()
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟踪训练]
下列指数式与对数式的互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg101＝0
B．27eq \s\up6(－\f(1,3))＝eq \f(1,3)与lg27eq \f(1,3)＝－3
C．lg39＝2与32＝9
D．lg55＝1与51＝5
解析：选B 100＝1即lg101＝0，A正确；27eq \s\up6(－\f(1,3))＝eq \f(1,3)即lg27eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)，B不正确；lg39＝2即32＝9，C正确；lg55＝1即51＝5，D正确．故选B.
[例2] (链接教科书第113页练习3题)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值：
(1)lg2x＝－eq \f(1,2)；(2)lgx25＝2；
(3)lg5x2＝2；(4)2eq \a\vs4\al()eq \s\up6(lg3x)＝4.
[解] (1)由lg2x＝－eq \f(1,2)，得2eq \s\up12(－\f(1,2))＝x，∴x＝eq \f(\r(2),2).
(2)由lgx25＝2，得x2＝25.
∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由lg5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.
(4)由2eq \s\up6(lg3x)＝4＝22，得lg3x＝2，∴x＝32，即x＝9.
eq \a\vs4\al()
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂；
(2)已知指数与幂，用指数式求底数；
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
[跟踪训练]
1．若lgx4＝2，则x的值为( )
A．±2 B．2
C．－2 D．eq \r(2)
解析：选B ∵lgx4＝2，∴x2＝4，又x>0，∴x＝2.故选B.
2．若lg5x＝2，lgy8＝3，则x＋y＝________．
解析：∵lg5x＝2，∴x＝52＝25.
∵lgy8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27.
答案：27
[例3] (链接教科书第113页例2)求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg5x)＝0；
(2)2eq \a\vs4\al()eq \s\up6(lg2（x＋1）)＝2；
(3)lg3(lg4(lg5x))＝0.
[解] (1)∵lg2(lg5x)＝0，
∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵2eq \s\up6(lg2（x＋1）)＝2，∴x＋1＝2，∴x＝1.
(3)由lg3(lg4(lg5x))＝0可得lg4(lg5x)＝1，故lg5x＝4，∴x＝54＝625.
[母题探究]
1．(变条件)本例(3)中若将“lg3(lg4(lg5x))＝0”改为“lg3(lg4(lg5x))＝1”，又如何求解x呢？
解：由lg3(lg4(lg5x))＝1可得，lg4(lg5x)＝3，则lg5x＝43＝64，所以x＝564.
2．(变条件)本例(3)中若将“lg3(lg4(lg5x))＝0”改为“3eq \s\up6(lg3(lg4(lg5x)))＝1”，又如何求解x呢？
解：由3eq \s\up6(lg3(lg4(lg5x)))＝1可得lg4(lg5x)＝1，故lg5x＝4，所以x＝54＝625.
eq \a\vs4\al()
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值；
(2)已知多重对数式的值求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解．
[跟踪训练]
已知lg3(lg5a)＝lg4(lg5b)＝0，则eq \f(a,b)的值为( )
A．1 B．－1
C．5 D．eq \f(1,5)
解析：选A 由lg3(lg5a)＝0得lg5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故eq \f(a,b)＝1.
1．若7x＝8，则x＝( )
A.eq \f(8,7) B．lg87
C．lg78 D．lg7x
解析：选C 由7x＝8⇔x＝lg78.故选C.
2．若lgaeq \r(7,b)＝c(a>0，且a≠1，b>0)，则有( )
A．b＝a7c B．b7＝ac
C．b＝7ac D．b＝c7a
解析：选A ∵lgaeq \r(7,b)＝c，∴ac＝eq \r(7,b).∴(ac)7＝(eq \r(7,b))7.
∴a7c＝b.
3．在对数式b＝lg(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2 B．2C．2解析：选C 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>0，,a－2≠1，,5－a>0，))解得24．已知6a＝8，则(1)lg68＝________；(2)lg62＝________；(3)lg26＝________．(用a表示各式)
解析：(1)lg68＝a.(2)由6a＝8得6a＝23，即6eq \s\up6(\f(a,3))＝2，所以lg62＝eq \f(a,3).(3)由6eq \s\up6(\f(a,3))＝2得2eq \s\up6(\f(3,a))＝6，所以lg26＝eq \f(3,a).
答案：(1)a (2)eq \f(a,3) (3)eq \f(3,a)新课程标准解读
核心素养
理解对数的概念和对数的性质，理解对数与指数幂的关系
数学抽象、数学运算
指数式与对数式的互化
利用指数式与对数式的互化求值
利用对数恒等式与对数的性质求值