2021天津市七校高一下学期期中联考数学试题含答案

天津市2020～2021学年度第二学期期中七校联考

高一数学

一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）

1．若复数是纯虚数，则

A．   B．2   C．   D．4

2．已知的三个角A,B，C的对边分别为a，b，c，且，

，则C =

A．   B．   C．   D．

3．设向量，且，则

A．0   B．1   C．2   D．3

4．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为

A．   B．   C．   D．

5．在锐角中，已知，，，则△ABC的面积为

A．   B．或   C．   D．

6．若，且，那么△ABC是

A．直角三角形    B．等边三角形

C．等腰三角形    D．等腰直角三角形

7．在四边形中，，且，则

A．   B．   C．   D．

8．等腰梯形ABCD中，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且·=，则·最大值为

A．   B．   C．   D．

9．已知圆O的半径为2，A、B是圆上两点且∠AOB＝，MN是一条直径，点C在圆内且满足＝λ+（1﹣λ）（0＜λ＜1），则•的最小值为

A．﹣2   B．﹣1  

C．﹣3   D．﹣4

二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分第15题2分+3分）

10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4，复数z的共轭复数_____________.

11．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为_____________

12．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是_____________

13．已知四棱锥P﹣ABCD满足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的体积为___．

14．已知为的重心，过点的直线与边，分别相交于点，．若，则当△与的面积之比为时，实数的值为___．

15．已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是___；若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是___．

三、解答题（本题共4小题，共54分）

16．（本小题满分12分）已知向量与的夹角，且，．

（1）求，；

（2）求与的夹角的余弦值．

（3）若，求 在 上的投影向量.

17．（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面．

18．（本小题满分14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长

19．（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c ．

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围． 

天津市2020～2021学年度第二学期期中七校联考

高一数学参考答案

出题学校：宝坻一中   外大附校

一．选择题（共9小题）

1．A； 2．A； 3．A； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．B； 9．C；

二．填空题（共6小题）

10．－2－4i； 11．48；  12．a>3；

13．； 14． 或  ；  15．，[，]．；

三、解答题（本题共5小题）

16.（1）由已知，得，      ..............（2分）

；（4分）

（2）设与的夹角为，

则，

因此，与的夹角的余弦值为.   .......................................（8分）

...................................................................................................................（12分）

17．证明：（1）在四棱锥中，平面，

平面，

平面平面，

．     ........................................................................（6分）

（2）取的中点，连接，，

是的中点，

，，

又由（1）可得，且，      ............................................（9分）

，，

四边形是平行四边形，

，

平面，平面，

平面．      ......................................................（13分）

18．

解：（1）由，

利用正弦定理可得：（a+c）（c﹣a）＝b（c﹣b），

化为：c2+b2﹣a2＝bc，

∴cosA＝＝，

∵A∈（0，π），

∴A＝．    .......................................................................（7分）

（2）∵a＝2，且S△ABC＝2，

∴＝c2+b2﹣bc，bcsin＝2，

化为：（b+c）2＝3bc+12＝3×8+12＝36，

解得b+c＝6，∴△ABC周长为6+2    ........................................（14分）

19．

（1）由

所以，可得，    ..................（4分）

即．

由余弦定理得，

又，所以．                    .....................................（7分）

（2）由

          .....................................（10分）

． ..............................（12分）

因为，所以，

又，所以，

所以，得，

所以，

所以．     .............................................................（15分）