2022荆州中学等四校高三模拟联考（四）数学试题（含答案、答题卡）

2022届高三模拟联考（四）

数学试卷

一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知全集U，M，N是U的非空子集，且，则必有（　　）

A．    B．     C．          D．

2．设复数满足，则（     ）

A．      B．       C．1            D．

3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（　  ）

A．10    B．13    C．15          D．17

4．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（    ）

A．      B．      C．           D．

5．已知函数在单调递减，则的最大值为（   ）

A．  B．             C．                  D．

6．酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（    ）

A．甲地：均值为7，方差为2   B．乙地：众数为3，中位数为2

C．丙地，均值为4，中位数为5   D．丁地：极差为，中位数为8

7．已知，则（    ）

A．      B．      C．           D．

8．过双曲线的右焦点，作直线交的两条渐近线于，两点，，均位于轴右侧，且满足，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A．      B．      C．           D．

二、多项选择题（每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．已知实数，，满足，则下列说法正确的是（    ）

A．          B．

C．          D．的最小值为4

10．已知向量，，则下列命题正确的是（   ）

A．若，则                     B．存在，使得

C．与共线的单位向量只有一个为      D．向量与夹角的余弦值范围是

 11．已知为曲线上一动点，则（    ）

A．的最小值为2                  

B．到直线的距离的最小值为

C．的最小值为6

D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离

12．对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则（   ）

A．                B．数列为等比数列

C．数列不单调                    D．数列的前项和恒小于4

三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．设，函数．若，则实数的取值范围是                  ．

14．设．若，则实数

________．

15．设是函数的一个极值点，则与的关系为                      ．

16．已知三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝2，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，则点A到平面BCD的距离为_________，该三棱锥的外接球的体积为_________．（第1个空2分，第2个空3分）

四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使， 的面积为．

（1）求AB的长；

（2）求外接圆的面积．

18．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，．

  （1）证明：平面平面；

（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，

试确定点的位置．

19．在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表中的同一列，设数列的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．

20．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是，上下浮动不超过．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为，标准差为的正态分布．

(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．利用该结论解决下面问题．

（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；

（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；

(2)假设有甲，乙两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知甲箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；乙箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个．已知从甲箱抽取面包的概率为，从乙箱抽取面包的概率为，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包．求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．

附：①随机变量服从正态分布，则，；

②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．

21．设点是椭圆上一动点，、分别是椭圆的左、右焦点，射线 、分别交椭圆于两点，已知的周长为，且点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)证明：为定值．

.

22．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程为，求；

(2)在（1）的条件下，若，比较与的大小并证明．