数学必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质当堂达标检测题

这是一份数学必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质当堂达标检测题，共6页。

1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－eq \f(sin α,cs α) B．cs α＝－eq \r(1－sin2α)
C．sin α＝－eq \r(1－cs2α) D．tan α＝eq \f(cs α,sin α)
解析：选B 由商数关系可知A、D均不正确．当α为第二象限角时，cs α＜0，sin α＞0，故B正确．
2．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))且sin 3α＝eq \f(1,3)，则cs 3α＝( )
A．－eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
解析：选B ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，∴3α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs 3α＞0，∴cs 3α＝eq \r(1－sin23α)＝eq \r(1－\f(1,9))＝eq \f(2\r(2),3).
3．已知sin α－cs α＝－eq \f(\r(5),2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
解析：选C sin α－cs α＝－eq \f(\r(5),2)⇒(sin α－cs α)2＝eq \f(5,4)
⇒1－2sin αcs α＝eq \f(5,4)⇒sin αcs α＝－eq \f(1,8)，
∴tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α)＝－8.故选C.
4．若β∈[0，2π)，且 eq \r(1－cs2β)＋eq \r(1－sin2β)＝sin β－cs β，则β的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
解析：选B ∵eq \r(1－cs2β)＋eq \r(1－sin2β)＝|sin β|＋|cs β|＝sin β－cs β，∴sin β≥0且cs β≤0.又∵β∈[0，2π)，∴β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).故选B.
5．(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．cs θ＝－eq \f(3,5)
C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
解析：选ABD 由题知sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，①
∴(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，
∴2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)＜0.
又∵θ∈(0，π)，
∴eq \f(π,2)＜θ＜π，sin θ－cs θ＞0.
∵(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))＝eq \f(49,25)，
∴sin θ－cs θ＝eq \f(7,5).②
联立①②，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(4,5)，,cs θ＝－\f(3,5)，))
∴tan θ＝－eq \f(4,3).故选A、B、D .
6．若sin θ＝－eq \f(4,5)，tan θ>0，则cs θ＝________．
解析：由已知条件可得角θ的终边在第三象限，
∴cs θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝－eq \f(3,5).
答案：－eq \f(3,5)
7．已知eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，那么tan α＝________．
解析：易知cs α≠0，由eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，得eq \f(tan α－2,3tan α＋5)＝－5，解得tan α＝－eq \f(23,16).
答案：－eq \f(23,16)
8．(2021·临沂外国语学校高一月考)若θ为第四象限角，则 eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))－eq \r(\f(1＋cs θ,1－cs θ))化简为________．
解析：∵θ为第四象限角，∴sin θ＜0，
∴ eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))－eq \r(\f(1＋cs θ,1－cs θ))＝eq \f(\r(1－cs2θ),1＋cs θ)－eq \f(\r(1－cs2θ),1－cs θ)
＝eq \f(－sin θ,1＋cs θ)－eq \f(－sin θ,1－cs θ) ＝eq \f(sin θ,1－cs θ)－eq \f(sin θ,1＋cs θ)
＝eq \f(sin θ（1＋cs θ）－sin θ（1－cs θ）,（1－cs θ）（1＋cs θ）)＝eq \f(2sin θcs θ,1－cs2θ)
＝eq \f(2sin θcs θ,sin2θ)＝eq \f(2cs θ,sin θ)＝eq \f(2,tan θ).
答案：eq \f(2,tan θ)
9．求证：eq \f(2sin xcs x－1,cs2x－sin2x)＝eq \f(tan x－1,tan x＋1).
证明：法一：∵左边＝eq \f(2sin xcs x－（sin2x＋cs2x）,cs2x－sin2x)
＝eq \f(－（sin2x－2sin xcs x＋cs2x）,cs2x－sin2x)
＝eq \f(（sin x－cs x）2,sin2x－cs2x)
＝eq \f(（sin x－cs x）2,（sin x－cs x）（sin x＋cs x）)
＝eq \f(sin x－cs x,sin x＋cs x)
＝eq \f(tan x－1,tan x＋1)＝右边，
∴原等式成立．
法二：∵右边＝eq \f(\f(sin x,cs x)－1,\f(sin x,cs x)＋1)＝eq \f(sin x－cs x,sin x＋cs x)，
左边＝eq \f(1－2sin xcs x,sin2x－cs2x)＝eq \f(（sin x－cs x）2,sin2x－cs2x)
＝eq \f(（sin x－cs x）2,（sin x－cs x）·（sin x＋cs x）)
＝eq \f(sin x－cs x,sin x＋cs x)，
∴左边＝右边，原等式成立．
10．(2021·衡阳一中高一月考)已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cs θ，θ∈(0，π)．求：
(1)m的值；
(2)eq \f(tan θsin θ,tan θ－1)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值．
解：(1)由根与系数的关系可得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
∴1＋2sin θcs θ＝eq \f(2\r(3)＋4,4)，
∴2sin θcs θ＝eq \f(\r(3),2).
由根与系数的关系可得sin θcs θ＝eq \f(m,2)＝eq \f(\r(3),4)，∴m＝eq \f(\r(3),2).
(2)∵eq \f(tan θsin θ,tan θ－1)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ，
∴原式＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2).
[B级 综合运用]
11．(多选)下列计算或化简结果正确的是( )
A.eq \f(2tan αcs α,sin α)＝2
B．若sin θ·cs θ＝eq \f(1,2)，则tan θ＋eq \f(cs θ,sin θ)＝2
C．若tan x＝eq \f(1,2)，则eq \f(2sin x,cs x－sin x)＝1
D．若α为第一象限角，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(sin α,\r(1－cs2α))＝2
解析：选ABD A正确，eq \f(2tan αcs α,sin α)＝eq \f(2sin α,cs α)·eq \f(cs α,sin α)＝2；B正确，tan θ＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,sin θcs θ)＝2；C不正确，eq \f(2sin x,cs x－sin x)＝eq \f(2tan x,1－tan x)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,2))＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝eq \f(cs α,cs α)＋eq \f(sin α,sin α)＝2.故选A、B、D.
12．设tan 160°＝k，则sin 160°＝( )
A.eq \f(－1,\r(1＋k2)) B．eq \f(－k,\r(1＋k2))
C.eq \f(k,\r(1＋k2)) D．eq \f(1,\r(1＋k2))
解析：选B ∵tan 160°＝eq \f(sin 160°,cs 160°)＝k，
∴sin 160°＝kcs 160°.
又∵sin2160°＋cs2160°＝1，
∴(kcs 160°)2＋cs2160°＝1，
∴cs2160°＝eq \f(1,k2＋1).
又160°是第二象限角，
∴cs 160°＜0，
∴cs 160°＝－eq \f(1,\r(1＋k2))，
∴sin 160°＝kcs 160°＝－eq \f(k,\r(1＋k2)).故选B.
13．若tan α＋eq \f(1,tan α)＝3，则sin αcs α＝________，tan2α＋eq \f(1,tan2α)＝________．
解析：∵tan α＋eq \f(1,tan α)＝3，∴eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝3，即eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)＝3，∴sin αcs α＝eq \f(1,3)，tan2α＋eq \f(1,tan2α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan α＋\f(1,tan α)))eq \s\up12(2)－2tan α·eq \f(1,tan α)＝9－2＝7.
答案：eq \f(1,3) 7
14．已知在△ABC中，sin A＋cs A＝eq \f(1,5).
(1)求sin Acs A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解：(1)∵sin A＋cs A＝eq \f(1,5)，①
两边平方，得1＋2sin Acs A＝eq \f(1,25)，
∴sin Acs A＝－eq \f(12,25).
(2)由sin Acs A＝－eq \f(12,25)<0，且0可知cs A<0，∴A为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cs A)2＝1－2sin Acs A＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，
又∵sin A>0，cs A<0，
∴sin A－cs A>0，
∴sin A－cs A＝eq \f(7,5).②
由①②可得sin A＝eq \f(4,5)，cs A＝－eq \f(3,5)，
∴tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
[C级 拓展探究]
15．(1)分别计算cs4eq \f(π,6)－sin4eq \f(π,6)和cs2eq \f(π,6)－sin2eq \f(π,6)，cseq \f(π,3)的值，你有什么发现？
(2)计算cs4eq \f(π,4)－sin4eq \f(π,4)，cs2eq \f(π,4)－sin2eq \f(π,4)，cseq \f(π,2)的值，你有什么发现？
(3)证明：x∈R，cs2x－sin2x＝cs4x－sin4x.
(4)推测：x∈R，cs2x－sin2x与cs 2x的关系，不需证明．
解：(1)cs4eq \f(π,6)－sin4eq \f(π,6)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,6)＋sin2\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,6)－sin2\f(π,6)))＝cs2eq \f(π,6)－sin2eq \f(π,6)
＝eq \f(3,4)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)＝cseq \f(π,3).
(2)cs4eq \f(π,4)－sin4eq \f(π,4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,4)＋sin2\f(π,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,4)－sin2\f(π,4)))
＝cs2eq \f(π,4)－sin2eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0＝cseq \f(π,2).
(3)证明：cs4x－sin4x
＝(cs2x＋sin2x)(cs2x－sin2x)
＝cs2x－sin2x.
(4)推测cs2x－sin2x＝cs 2x.