数学必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质练习题

这是一份数学必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质练习题，共6页。

1．(2021·北京西城高一质检)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))的值是( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选D 由题意可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).故选D.
2．化简sin2(π＋α)－cs(π＋α)·cs(－α)＋1的结果为( )
A．1 B．2sin2α
C．0 D．2
解析：选D 原式＝(－sin α)2－(－cs α)·cs α＋1＝sin2α＋cs2α＋1＝2.
3．(2021·安徽安庆一中高一月考)若点P(x，y)是330°角终边上异于原点的任意一点，则eq \f(y,x)的值是( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(3),3)
解析：选C 依题意得eq \f(y,x)＝tan 330°，又tan 330°＝tan(360°－30°)＝－tan 30°＝－eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(y,x)＝－eq \f(\r(3),3)，故选C.
4．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan(π＋1)＝tan 1 B．eq \f(sin（－α）,tan（360°－α）)＝cs α
C.eq \f(sin（π－α）,cs（π＋α）)＝tan α D．eq \f(cs（π－α）tan（－π－α）,sin（2π－α）)＝1
解析：选AB A正确；B正确，eq \f(sin（－α）,tan（360°－α）)＝eq \f(－sin α,－tan α)＝cs α；C错，eq \f(sin（π－α）,cs（π＋α）)＝eq \f(sin α,－cs α)＝－tan α；D错，eq \f(cs（π－α）tan（－π－α）,sin（2π－α）)＝eq \f(（－cs α）（－tan α）,－sin α)＝－1.
5．已知a＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))，b＝cseq \f(23π,4)，c＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33π,4)))，则a，b，c的大小关系是( )
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
解析：选A ∵a＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))
＝－taneq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),3)，
b＝cseq \f(23π,4)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π－\f(π,4)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，
c＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,4)))
＝－sineq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，
∴b＞a＞c.
6．sineq \f(2 020π,3)的值等于________．
解析：sineq \f(2 020π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(673π＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
答案：－eq \f(\r(3),2)
7．已知sin(45°＋α)＝eq \f(5,13)，则sin(225°＋α)＝________．
解析：sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°]
＝－sin(45°＋α)＝－eq \f(5,13).
答案：－eq \f(5,13)
8．若k为整数，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2,3)π))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)))＝________．
解析：分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论．
①当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ－\f(2,3)π))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,6)))＝－sineq \f(2,3)πcseq \f(π,6)＝－sineq \f(π,3)cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(3,4)；
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋π－\f(2π,3)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,3)(－cseq \f(π,6))＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(3,4).
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2,3)π))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)))＝－eq \f(3,4)(k∈Z)．
答案：－eq \f(3,4)
9．化简与计算：
(1)eq \f(tan（2π－θ）sin（2π－θ）cs（6π－θ）,（－cs θ）sin（5π＋θ）)；
(2)sin 420°cs 330°＋sin(－690°)cs(－660°)．
解：(1)原式＝eq \f(tan（－θ）sin（－θ）cs（－θ）,（－cs θ）sin（π＋θ）)＝eq \f(tan θsin θcs θ,cs θsin θ)＝tan θ.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cs(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cs(－2×360°＋60°)
＝sin 60°cs 30°＋sin 30°cs 60°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1.
10．已知 sin(α＋π)＝eq \f(4,5)，且sin αcs α<0, 求eq \f(2sin（α－π）＋3tan（3π－α）,4cs（α－3π）) 的值．
解：因为sin(α＋π)＝eq \f(4,5)，所以sin α＝－eq \f(4,5)，
又因为sin αcs α<0，
所以cs α>0，cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5)，
所以tan α＝－eq \f(4,3).
所以原式＝eq \f(－2sin α－3tan α,－4cs α)
＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))),4×\f(3,5))＝－eq \f(7,3).
[B级 综合运用]
11．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 021)＝3，则f(2 022)的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C ∵f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcs(2 021π＋β)＋4＝3，∴asin(2 021π＋α)＋bcs(2 021π＋β)＝－1，∴f(2 022)＝asin(2 021π＋α＋π)＋bcs(2 021π＋β＋π)＋4＝－asin(2 021π＋α)－bcs(2 021π＋β)＋4＝1＋4＝5.
12．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是( )
A．sin β＝eq \f(1,4) B．cs(π＋β)＝eq \f(\r(15),4)
C．tan β＝eq \r(15) D．cs(2π－β)＝－eq \f(\r(15),4)
解析：选ABD ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,4)，
∴sin α＝eq \f(1,4)，若α＋β＝π，则β＝π－α.
A中sin β＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－α))＝sin α＝eq \f(1,4).故A符合条件；B中，cs(π＋β)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－α))＝cs α＝±eq \f(\r(15),4)，故B符合条件；
C中，tan β＝eq \r(15)，即sin β＝eq \r(15)cs β，又sin2β＋cs2β＝1，故sin β＝±eq \f(\r(15),4)，即C不符合条件；
D中，cs(2π－β)＝cs[2π－(π－α)]＝cs(π＋α)＝－cs α＝±eq \f(\r(15),4)，故D符合条件．故选A、B、D.
13．已知sin(α＋β)＝1，则tan(2α＋β)＋tan β的值为________．
解析：因为sin(α＋β)＝1，所以α＋β＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
所以α＝2kπ＋eq \f(π,2)－β(k∈Z)．
故tan(2α＋β)＋tan β＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)－β))＋β))＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.
答案：0
14．已知sin(π＋α)cs(π－α)＝eq \f(1,8)，且0＜α＜eq \f(π,4).
(1)求cs α＋sin(α－π)的值；
(2)求tan α的值．
解：(1)因为sin(π＋α)cs(π－α)＝sin αcs α，
且sin(π＋α)cs(π－α)＝eq \f(1,8)，
所以sin αcs α＝eq \f(1,8).
故(cs α－sin α)2＝cs2α－2sin αcs α＋sin2α
＝1－2sin αcs α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4).
又因为0＜α＜eq \f(π,4)，所以cs α＞sin α，即cs α－sin α＞0，
所以cs α－sin α＝eq \f(\r(3),2).
所以cs α＋sin(α－π)＝cs α－sin α＝eq \f(\r(3),2).
(2)法一：由(1)知sin αcs α＝eq \f(1,8)，又因为sin2α＋cs2α＝1，
所以 eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,8).
因为0＜α＜eq \f(π,4)，cs α≠0，
所以eq \f(tan α,tan2α＋1)＝eq \f(1,8)，即tan2α－8tan α＋1＝0, 解得tan α＝4－eq \r(15)或tan α＝4＋eq \r(15).
因为0＜α＜eq \f(π,4)，由正切函数线可知，所以0＜tan α＜1，
所以tan α＝4－eq \r(15).
法二：由(1)知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs α－sin α＝\f(\r(3),2)，,sin αcs α＝\f(1,8).))
因为0＜α＜eq \f(π,4)，所以cs α＞sin α＞0，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs α＝\f(\r(3)＋\r(5),4)，,sin α＝\f(－\r(3)＋\r(5),4)，))所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝4－eq \r(15).
[C级 拓展探究]
15．在①4sin(2 021π－α)＝3cs(2 021π＋α)；②sin α＋cs α＝eq \f(1,5)；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cs β.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知第四象限角α满足________，求下列各式的值：
(1)eq \f(3sin α＋4cs α,cs α－sin α)；
(2)sin2α＋3sin αcs α.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选择条件①，∵4sin(2 021π－α)＝3cs(2 021π＋α)，
∴4sin α＝－3cs α，
∴tan α＝－eq \f(3,4).
若选择条件②，∵α是第四象限角，
∴sin α＜0，cs α＞0，
又∵sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－cs α))eq \s\up12(2)＋cs2α＝1，
∴cs α＝eq \f(4,5)，sin α＝－eq \f(3,5)，
∴tan α＝－eq \f(3,4).
若选择条件③，∵α是第四象限角，∴sin α＜0，cs α＞0，
又∵α，β的终边关于x轴对称，
∴sin α＝－sin β，cs α＝cs β.
又∵4sin β＝3cs β，
∴－4sin α＝3cs α，即tan α＝－eq \f(3,4).
(1)eq \f(3sin α＋4cs α,cs α－sin α)＝eq \f(3tan α＋4,1－tan α)＝eq \f(－\f(9,4)＋4,1＋\f(3,4))＝1.
(2)sin2α＋3sin αcs α＝eq \f(sin2α＋3sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α＋3tan α,tan2α＋1)＝eq \f(\f(9,16)－\f(9,4),\f(9,16)＋1)＝－eq \f(27,25).