人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算授课ppt课件

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算授课ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了必备知识生成，≤θ≤π，abcosθ，acosθ，a·b0，-ab，b·a，λa·b，a·λb，a·c+b·c等内容，欢迎下载使用。
【情境探究】1.如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题: (1)如何计算这个力所做的功?提示:根据物理知识知W=|F||s|cs θ. (2)力做的功的大小与哪些量有关?提示:与力的大小、位移大小及它们之间的夹角有关.
(3)力F在位移s方向上的分力大小是多少?提示:由图知力F在位移s方向上的分力是|F|cs θ.(4)力和位移均可看作是数学上的向量,那么可否把“功”看作是向量间的新运算呢?提示:可把“功”看作向量的数量积运算.
2.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,回答下列问题:(1)若a·b=0,则a与b有什么关系?提示:由a·b=|a||b|cs θ=0得cs θ=0.所以θ=90°,则a⊥b.(2)a·a等于什么?提示:a·a=|a||a|cs 0°=|a|2.
(3)a·b与|a||b|有怎样的大小关系?提示:由a·b=|a||b|cs θ.-1≤cs θ≤1得-|a||b|≤a·b≤|a||b|.(4)如何由向量的数量积公式求其夹角?提示:由a·b=|a||b|cs θ得,cs θ= 再由三角函数确定其夹角.(5)实数满足交换律、结合律、分配律,向量数量积是否同样满足这些运算律?提示:向量数量积同样满足交换律、结合律、分配律.
【知识生成】1.向量的夹角已知两个非零向量a和b,作 =a, =b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的_____,并规定夹角的范围是__________.当_____时,a与b同向;当______时,a与b反向;当________时,a与b垂直,记作a⊥b.
2.平面向量的数量积的定义
3.投影向量设a,b是两个非零向量, =a, =b,过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,上述变换为向量a向向量b_____,____叫做向量a在向量b上的投影向量.
4.两个向量数量积的性质设a、b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量,则:(1)a·e=e·a=_________. (2)a⊥b⇔_______.(3)当a与b同向时,a·b=_______;当a与b反向时,a·b=________.特别地,a·a=__=____或|a|= (4)|a·b|≤_______.
5.平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ.(1)交换律:a·b=_____.(2)结合律:(λa)·b=_________=_________.(3)分配律:(a+b)·c=_________.
探究点一　平面向量的数量积运算【典例1】(1)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a+3b).(2)如图,在▱ABCD中,| |=4,| |=3,∠DAB=60°,求: 【思维导引】借助数量积的定义及运算律求解.
【解析】(1)(a+2b)·(a+3b)=a·a+5a·b+6b·b=|a|2+5a·b+6|b|2=|a|2+5|a||b|cs 60°+6|b|2=62+5×6×4×cs 60°+6×42=192.(2)①因为 ,且方向相同,所以 的夹角是0°,所以 cs 0°=3×3×1=9.②因为 的夹角为60°,所以 的夹角为120°,所以
【类题通法】向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
【定向训练】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.4B.3C.2D.0【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cs=(　　) 【解析】选D.由a·(a+b)=|a|2+a·b=25-6=19,又 所以cs=
探究点二　用向量的数量积解决与模有关的问题【典例2】已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为 求|a+b|、|a-b|.【思维导引】(1)将|a-b|与|a+b|都平方即可发现向量a与b的关系.利用公式|a|= 求解.(2)利用向量的几何意义画图求解.
【解析】方法一:因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,a·b=|a||b|cs θ=5×5×cs 所以|a+b|= 同样可求|a-b|=
方法二:由向量线性运算的几何意义求.作菱形ABCD,使AB=AD=5,∠DAB= 设 如图所示, 则|a-b|= |a+b|=
【类题通法】利用数量积求长的方法(1)常用公式:①a2=a·a=|a|2或|a|= ②|a±b|= 由关系式a2=|a|2,可使向量的长度与向量的数量积互相转化.因此欲求|a+b|,可求 ,将此式展开.(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了.
【定向训练】1.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cs α= 若向量a=3e1-2e2,则|a|=________. 【解析】因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cs α+4=9,所以|a|=3.答案:3
2.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________. 【解析】|a+2b|= 答案:2
【补偿训练】已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|= ,则|b|=________. 
【解析】因为|2a+b|= ,所以(2a+b)2=10,所以4a2+4a·b+b2=10,又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1,所以4|a|2+4|a||b|cs 45°+|b|2=10,故4×12+4×1×|b|× +|b|2=10,整理得|b|2+2 |b|-6=0,解得|b|= 或|b|=-3 (舍去).答案:
探究点三　向量的夹角与垂直问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　【典例3】(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________; (2)设向量a,b,c,满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,|a|=1,则|b|=________. 【思维导引】(1)由|a|=|a+2b|可得|b|2与a·b的关系,然后代入夹角公式求解.(2)根据a+b+c=0,(a-b)⊥c,可得出向量a与b模相等.
【解析】(1)把|a|=|a+2b|两边平方,整理得a·b=-|b|2,设a与b的夹角为θ,则cs θ= 答案: (2)因为a+b+c=0,所以c=-(a+b).因为(a-b)⊥c,所以c·(a-b)=0,所以-(a+b)·(a-b)=0,所以a2-b2=0,所以|b|=|a|=1.答案:1
【类题通法】求向量夹角的方法向量夹角公式cs θ= (θ代表向量a,b的夹角)的计算中涉及了向量运算和数量运算,计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误.　
【定向训练】已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若 e1+e2与e1-λe2夹角为60°,则实数λ的值是________. 【解析】cs 60°= 解得λ= 答案:
【补偿训练】已知向量 满足 E,F分别是线段BC,CD的中点,若 则向量 与 的夹角θ为(　　)
【解析】选B. 所以 所以 所以 的夹角为
1.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0.所以2|a||b|cs θ+|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以cs θ=- ,即θ=120°.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则 =(　　)A.16B.-8C.8D.-16【解析】选A.
3.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则 =(　　) 【解析】选D.在菱形ABCD中, 所以 =a2+a×a×cs 60°=a2+ a2= a2.