高中6.4 平面向量的应用教学演示课件ppt

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【情境探究】1.回顾勾股定理及其逆定理:(1)在Rt △ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果C=90°,那么a,b,c的关系是________. (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果c2=a2+b2,那么角C的度数为________. 提示:(1)c2=a2+b2　(2)90°
2.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a=3,b=4,C=60°,如何计算c的值?提示:方法一:如图,作AH⊥CB,垂足为H,在Rt △ACH中,AC=4,C=60°,∠CAH=30°,得CH=2,HB=1,AH=2 ,在△ABH中,由勾股定理,得c=AB= .
方法二:在△ABC中, ,所以 ,得 = = + -2| || |cs 60°=9+16-2×3×4× =13,所以c= .
【知识生成】1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=_____________; b2=_____________;(第一种形式) c2=_____________.
b2+c2-2bccsA
a2+c2-2accsB
a2+b2-2abcsC
由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):cs A=_____________;cs B=_____________;(第二种形式)cs C=_____________.
2.解三角形一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的_____.已知三角形的几个_____求其他_____的过程叫做解三角形.
探究点一　已知两边及一角解三角形【典例1】(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cs ,BC=1,AC=5,则AB=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.4 B. C. D.2 (2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a= ,c=2,cs A= ,则b=(　　)A. 　B. C.2　D.3
【思路导引】(1)由题中条件求出cs C,再由余弦定理求AB.(2)由余弦定理得到关于b的一元二次方程,求解即可.【解析】(1)选A.cs C=2cs2 -1=2× -1=- ,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cs C,所以AB2=25+1-2×5×1× =32,所以AB=4 .(2)选D.由余弦定理得5=22+b2-2×2bcs A,因为cs A= ,所以3b2-8b-3=0,所以b=3
【互动探究】将本例(2)中的条件“a= ,c=2,cs A= ”改为“a=2,c=2 ,cs A= ”,则b为何值?【解析】由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccs A,所以22=b2+(2 )2-2×b×2 × ,即b2-6b+8=0,解得b=2或b=4.
【类题通法】解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长.(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
【定向训练】在△ABC中,a=2 ,c= + ,B=45°,解这个三角形.【解析】根据余弦定理得,b2=a2+c2-2accs B=(2 )2+( + )2-2×2 ×( + )×cs 45°=8,所以b=2 .又因为cs A= 所以A=60°,C=180°-(A+B)=75°.
探究点二　已知三边(三边关系)解三角形【典例2】(1)在△ABC中,已知a=3,b=5,c= ,则最大角与最小角的和为(　　)A.90°　B.120°C.135°　D.150°(2)在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于(　　)A.90°　B.60°　C.120°　D.150°【思路导引】(1)确定△ABC中的最大角和最小角是关键;(2)由已知进行化简,再结合余弦定理求解.
【解析】(1)选B.在△ABC中,因为a=3,b=5,c= ,所以最大角为B,最小角为A,所以cs C= 又因为0°【类题通法】已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.提醒:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
【定向训练】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2-c2+ ac,则角B的大小是(　　)A.45°　B.60°C.90°　D.135°【解析】选A.由已知得a2+c2-b2= ac,所以cs B= 又0°2.在△ABC中,若a∶b∶c=2∶ ∶( +1),求△ABC的最大内角的余弦值.【解析】因为a∶b∶c=2∶ ∶( +1),不妨设a=2k,b= k,c=( +1)k,显然a探究点三　由余弦定理判断三角形的形状【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能【思维导引】利用a3+b3=c3得到 =1,且c为最大的边,通过不等式的性质转化为 >1,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.
【解析】选A.依题意知,c边最大.因为a3+b3=c3,所以 =1,所以0< <1,0< <1,所以 <1,所以 , ,所以 即a2+b2-c2>0,cs C= >0,所以0【类题通法】由余弦定理判断三角形形状的方法技巧(1)由三角形三边的关系式判断三角形的形状,通常利用余弦定理的变形公式计算内角的余弦值,再确定角的大小或取值范围.(2)结合三角形的边长和角,判断三角形的形状,注意区分等腰三角形和等边三角形、等腰直角三角形与等腰或直角三角形等概念的异同.
【定向训练】　在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为(　　)A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【解析】选D.因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcs C=a2+b2-ab=ab,得(a-b)2=0,a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形.
　【补偿训练】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若b=2ccs A,c=2bcs A,则△ABC的形状为(　　)A.直角三角形　　　　　B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
【解析】选C.由b=2ccs A,得b=2c· ,得b2=b2+c2-a2,c2=a2,所以c=a;又因为c=2bcs A,同理得a=b;所以a=b=c,△ABC为等边三角形.
1.余弦定理2.推论：3.利用余弦定理解三角形(1)已知三角形三边求角，直接利用余弦定理.(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入k， 从而转化为已知三边求角．(3)已知三角形的任意两边及它们的夹角可以先求出第三边， 然后再求解其他量.
注意“大边对大角、大角对大边”．
数学抽象：余弦定理及其推论.逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用.数学运算：解三角形.
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,cs C= ,则c的值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2B.3C. D. 【解析】选B.因为c2=a2+b2-2abcs C=22+32-2×2×3× =9,所以c=3.
2.若a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2的值(　　)A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定【解析】选C.由B=120°,得cs B= 所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=0.
3.已知三角形的三边长度分别为6, ,则三角形的最大内角的度数为(　　)A.90°B.120°C.135°D.150°【解析】选C.因为三角形的三边长度分别为6, ,3 是最大的边,则三角形的最大内角θ满足cs θ= 又0°<θ<180°,所以θ=135°.
4.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab=________. 【解析】因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcs 60°,即c2=a2+b2-ab.①又因为(a+b)2-c2=4,所以c2=a2+b2+2ab-4.②由①②知-ab=2ab-4,所以ab= .答案: