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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用说课ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用说课ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了关键能力探究，课堂小结，课堂素养达标等内容，欢迎下载使用。
探究点一 计算高度【典例1】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
【思维导引】画出空间图形和平面图形,将空间几何问题转化为平面几何问题,解三角形.
【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由 得在Rt△BCD中,答案:100
【类题通法】测量高度问题的解题思路1.高度的测量主要是解决一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题.常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.2.这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥,再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形,从而求出所需测量物体的高度.
【定向训练】如图,要在山坡上A,B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高,由A,B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°,AB长为40 m,斜坡与水平面成30°角,则铁塔CD的高为________m.
【解析】延长CD交过A,B的水平线于点E,F,则∠CAE=60°,∠CBF=45°,∠DBF=30°,所以∠BCF=45°,∠ACE=30°,∠BDF=60°,所以∠BCA=15°,∠ADC=120°,∠CBA=15°,∠CAD=30°.所以AC=AB=40 m,在△ACD中,由正弦定理得, 即 解得答案:
探究点二 计算角度【典例2】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.
【思维导引】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答.
【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/小时,如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AO·ABcs A.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcs (90°-30°),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0
②当v=30时,可求得t= ;综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是 ,此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下:小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/小时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.
【类题通法】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确“方位角”或“方向角”的含义,方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围是(0, ].(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
【定向训练】本例中若小艇无最高航行速度限制,其他条件不变.问:(1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少?(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.
【解析】(1)设相遇时小艇航行距离为S,则故当t= 时航行距离最小为S=10 海里,此时v= =30 (海里/小时),即小艇以30 海里/小时的速度航行,相遇时航行距离最小.
(2)设小艇航行速度的大小是v海里/小时,小艇与轮船在B处相遇如图,由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cs ∠OAB得,(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcs (90°-30°),化简得 由于0
【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示,α=55°,则β=α=55°,所以B在A的南偏西55°.
2.如图,要测出山上信号发射塔BC的高,从山脚A测得AC=30 m,塔顶B的仰角为45°,塔底C的仰角为15°,则信号发射塔BC的高为( )A.15 mB.15 mC.30 mD.30 m
【解析】选B.由题意可知,AC=30,∠BAD=45°,∠CAD=15°,得∠B=45°,∠BAC=30°,由正弦定理可知, 解得BC=15 .
探究点一 计算高度【典例1】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
【思维导引】画出空间图形和平面图形,将空间几何问题转化为平面几何问题,解三角形.
【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由 得在Rt△BCD中,答案:100
【类题通法】测量高度问题的解题思路1.高度的测量主要是解决一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题.常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.2.这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥,再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形,从而求出所需测量物体的高度.
【定向训练】如图,要在山坡上A,B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高,由A,B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°,AB长为40 m,斜坡与水平面成30°角,则铁塔CD的高为________m.
【解析】延长CD交过A,B的水平线于点E,F,则∠CAE=60°,∠CBF=45°,∠DBF=30°,所以∠BCF=45°,∠ACE=30°,∠BDF=60°,所以∠BCA=15°,∠ADC=120°,∠CBA=15°,∠CAD=30°.所以AC=AB=40 m,在△ACD中,由正弦定理得, 即 解得答案:
探究点二 计算角度【典例2】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.
【思维导引】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答.
【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/小时,如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AO·ABcs A.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcs (90°-30°),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0
②当v=30时,可求得t= ;综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是 ,此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下:小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/小时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.
【类题通法】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确“方位角”或“方向角”的含义,方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围是(0, ].(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
【定向训练】本例中若小艇无最高航行速度限制,其他条件不变.问:(1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少?(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.
【解析】(1)设相遇时小艇航行距离为S,则故当t= 时航行距离最小为S=10 海里,此时v= =30 (海里/小时),即小艇以30 海里/小时的速度航行,相遇时航行距离最小.
(2)设小艇航行速度的大小是v海里/小时,小艇与轮船在B处相遇如图,由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cs ∠OAB得,(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcs (90°-30°),化简得 由于0
【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示,α=55°,则β=α=55°,所以B在A的南偏西55°.
2.如图,要测出山上信号发射塔BC的高,从山脚A测得AC=30 m,塔顶B的仰角为45°,塔底C的仰角为15°,则信号发射塔BC的高为( )A.15 mB.15 mC.30 mD.30 m
【解析】选B.由题意可知,AC=30,∠BAD=45°,∠CAD=15°,得∠B=45°,∠BAC=30°,由正弦定理可知, 解得BC=15 .
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