人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是( )
A．m⊥α，n∥β，α⊥β B．m⊥α，n⊥β，α∥β
C．m⊂α，n⊥β，α∥β D．m⊂α，n∥β，α⊥β
【解析】选C.对于A，m⊥α，n∥β，α⊥β，无法得出m⊥n，因此错误；对于B，m⊥α，n⊥β，α∥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此错误；对于C，m⊂α，n⊥β，α∥β，可得n⊥α，由线面垂直的性质定理可知，可得m⊥n，因此正确；对于D，m⊂α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行或相交或为异面直线，无法得出m⊥n，因此错误．
2．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为 eq \f(π,4) 和 eq \f(π,6) .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于( )
A.2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
【解析】选A.由已知条件可知∠BAB′＝ eq \f(π,4) ，∠ABA′＝ eq \f(π,6) ，设AB＝2a，则BB′＝2a sin eq \f(π,4) ＝ eq \r(2) a，A′B＝2a cs eq \f(π,6) ＝ eq \r(3) a所以在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，
所以AB∶A′B′＝2∶1.
3．已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝( )
A．2 B．1 C． eq \f(3,2) D． eq \f(1,2)
【解析】选A.因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，
所以AC∥BD.
如图所示，连接OD，则 eq \f(OA,OB) ＝ eq \f(AC,BD) .
因为OA＝AB，所以 eq \f(OA,OB) ＝ eq \f(1,2) .
因为AC＝1，所以BD＝2.
4．(多选题)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是( )
A.BC⊥平面PAC B．AE⊥EF
C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC
【解析】选ABD.在A中，因为C为圆上异于A，B的任意一点，
所以BC⊥AC，因为PA⊥BC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，故A正确；
在B中，因为BC⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，
所以BC⊥AE，因为AE⊥PC，PC∩BC＝C，
所以AE⊥平面PBC，
因为EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，故B正确；
在C中若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，
则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，
故AC与PB不垂直，故C错误；
在D中，因为AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，
所以平面AEF⊥平面PBC，故D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为________．
【解析】底面积不变，在折叠过程中，高是先增加后减小．设AC的中点为O，当DO⊥平面ABC时，DO即为高，此时高最大．此时△DOB为等腰直角三角形，BD与平面ABC所成角为45°.
答案：45°
【加固训练】
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________．
【解析】由题意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.且平面ABD∩平面ACD＝AD，
所以BD⊥平面ADC.
又DC⊂平面ADC，所以BD⊥DC.连接BC，则BC＝ eq \r(BD2＋DC2) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)) ＝1.
答案：1
6．在三棱锥S­ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝ eq \r(3) a，SB＝2a，则二面角S­AC­B的大小为________．
【解析】因为AC⊥平面SBC，SC，BC⊂平面SBC，
所以AC⊥SC，AC⊥BC，
所以二面角S­AC­B的平面角为∠SCB.
又SC＝a，BC＝ eq \r(3) a，SB＝2a，
所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB为直角三角形，
所以∠SCB＝90°.
答案：90°
【加固训练】
棱长都相等的三棱锥(即正四面体)ABCD中，相邻两个平面所成的二面角的余弦值为________．
【解析】取BC的中点E，连接AE，DE，
因为四面体ABCD是正四面体，
所以BC⊥AE，
BC⊥ED.
所以∠AED为二面角A­BC­D的平面角．
设正四面体的棱长为1则AE＝ eq \f(\r(3),2) ，DE＝ eq \f(\r(3),2) ，AD＝1.
在△ADE中可求得cs ∠AED＝ eq \f(1,3) .
答案： eq \f(1,3)
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求多面体A­PBC的体积．
【解析】(1)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为∠BCD＝90°，
所以BC⊥CD.
因为PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD.
又PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.
(2)因为PD⊥平面ABCD，
所以VA­PBC＝ eq \f(1,3) ·S△ABC·PD.
因为AB∥DC，∠BCD＝90°，
所以△ABC为直角三角形且∠ABC为直角．
因为PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，
所以VA­PBC＝ eq \f(1,3) ·S△ABC·PD
＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ·AB·BC·PD
＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×4×2×2＝ eq \f(8,3) .
8．如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．
【解析】平面EBD不能垂直于平面ABCD.
理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO.
因为EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，
所以EO⊥平面ABCD.
又因为PA⊥平面ABCD，
所以EO∥PA.
因为A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，
所以P，E，C三点的投影均在直线AC上，
所以A，O，C三点共线．
又因为E是PC的中点，所以O是AC的中点．
又因为AB∥CD，所以△ABO∽△CDO.
又因为AO＝OC，
所以AB＝CD，这与CD＝2AB矛盾，
所以假设不成立．
故平面EBD不能垂直于平面ABCD.
9．(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝ eq \r(2) ，圆锥的侧面积为 eq \r(3) π，求三棱锥P­ABC的体积．
【解析】(1)由题设可知，PA＝PB＝PC.
由于△ABC是正三角形，
故可得△PAC≌△PAB.
△PAC≌△PBC.
又∠APC ＝90°，
故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.
从而PB⊥PA，PB⊥PC，
故PB⊥平面PAC，
因为PB在平面PAB内，所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.
由题设可得rl＝ eq \r(3) ，l2－r2＝2.
解得r＝1，l＝ eq \r(3) ，
从而AB＝ eq \r(3) .
由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，
故PA＝PB＝PC＝ eq \f(\r(6),2) .
所以三棱锥P­ABC的体积为 eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×PA×PB×PC＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2))) 3＝ eq \f(\r(6),8) .
【加固训练】
如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2 eq \r(3) ，∠CBA＝∠CBD＝ eq \f(π,2) ，点E，F分别为AD，BD的中点．
(1)求证：平面ACD⊥平面BCE；
(2)求四面体CDEF的体积．
【解析】(1)因为∠CBA＝∠CBD＝ eq \f(π,2) ，
所以BC⊥AB，BC⊥BD，
又AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，
所以BC⊥平面ABD，
又AD⊂平面ABD，
所以BC⊥AD，因为AB＝BD，E为AD的中点，所以BE⊥AD，
又BC∩BE＝B，BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，
所以AD⊥平面BCE，
又AD⊂平面ACD，
所以平面ACD⊥平面BCE；
(2)由(1)可得BC为三棱锥C­DEF的高，
又点E，F分别为AD，BD的中点，
所以EF＝ eq \f(1,2) AB＝1，FD＝ eq \f(1,2) BD＝1，
由余弦定理可得cs ∠ABD＝ eq \f(AB2＋BD2－AD2,2AB·BD) ＝ eq \f(4＋4－12,2×2×2) ＝－ eq \f(1,2) ，
又0＜∠ABD＜π，0＜∠EFD＜π，
所以∠EFD＝∠ABD＝ eq \f(2π,3) ，
所以VCDEF＝ eq \f(1,3) S△DEF·BC
＝ eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)EF·FD sin \f(2π,3))) ·BC
＝ eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×1×\f(\r(3),2))) ×2
＝ eq \f(\r(3),6) ，
所以四面体CDEF的体积为 eq \f(\r(3),6) .