必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直习题

这是一份必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直习题，共9页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定
【解析】选D.如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
【解析】选C.因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β.
因为m⊂α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.
3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
【解析】选D.因为BC⊥AD，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
所以AD⊥平面BCD.
因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.
4．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
【解析】选C.因为PE⊥α，PF⊥β，
所以P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线，垂足为O，
连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，
则∠FOE为二面角的平面角，如图所示．
此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，
所以二面角α－l－β的平面角为120°.
当点P的位置如图所示时，
此时∠FOE＝∠EPF，
所以二面角α－l－β的平面角为60°.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·北京高一检测)阅读下面题目及其证明过程，在横线处填写上正确结论．
如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.
【解析】因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.
又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，
所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面BDE，
所以平面PAC⊥平面BDE.
答案：BD⊥平面PAC
6．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2 eq \r(3) ，则二面角P­AB­C的大小为________．
【解析】取AB中点M，连接PM，MC，
则PM⊥AB，CM⊥AB，
所以∠PMC就是二面角
P­AB­C的平面角．
在△PAB中，
PM＝ eq \r(22－（\r(3)）2) ＝1，
同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，
所以∠PMC＝60°.
答案：60°
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ eq \f(1,2) AA1，D是棱AA1的中点．
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
【证明】由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.
又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
【加固训练】
如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点．
求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1；
【证明】连接A1B交AB1于O，连接MO，
易得O为A1B，AB1的中点．
因为CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC
所以CC1⊥AC.
又M为CC1中点，AC＝CC1＝6，
所以AM＝ eq \r(32＋62) ＝3 eq \r(5) .同理可得B1M＝3 eq \r(5) ，
所以MO⊥AB1.
连接MB，同理可得A1M＝BM＝3 eq \r(5) ，
所以MO⊥A1B.又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B⊂平面ABB1A1，
所以MO⊥平面ABB1A1，
又MO⊂平面AB1M，
所以平面AB1M⊥平面ABB1A1.
8．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E­BD­C的大小．
【解析】因为E为SC的中点，且SB＝BC，
所以BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，
所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，
所以BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，
所以∠EDC为二面角E­BD­C的平面角．
设SA＝AB＝1，
在△ABC中，因为AB⊥BC，
所以SB＝BC＝ eq \r(2) ，AC＝ eq \r(3) ，所以SC＝2.
在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
所以∠EDC＝60°，即二面角E­BD­C为60°.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在二面角α­l­β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α­l­β的平面角的大小为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【解析】选D.如图因为AB⊥β，
所以AB⊥l，因为BC⊥α，
所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC，
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α­l­β的平面角或补角，
因为AB＝6，BC＝3所以∠BAC＝30°
所以∠ADB＝60°，
所以二面角大小为60°或120°.
2．(多选题)在棱长都相等的四面体P­ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
【解析】选ABD.可画出对应图形，如图所示，
则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故A成立；
由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，
知DF⊥AE，DF⊥PE，所以DF⊥平面PAE，
故B成立；又DF⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面PAE，故D成立．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图，在四棱锥S ­ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则图中一定与平面PBD垂直的平面是________．
【解析】因为在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BD.
因为SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.
因为BD⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面SAC.
答案：平面SAC
4．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为________．
【解析】设折叠后点A到A1的位置，
取BD的中点E，连接A1E，CE.
则BD⊥CE，BD⊥A1E.
于是∠A1EC为二面角A1­BD ­C的平面角．
故∠A1EC＝60°.
因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．
所以A1E＝CE＝A1C＝ eq \f(\r(3),2) a.
答案： eq \f(\r(3),2) a
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点．
(1)求三棱锥E­AFM的体积；
(2)求证：平面B1D1E⊥平面C1MN.
【解析】(1)因为AB⊥侧面BCC1B1，
所以AB⊥平面EFM，
又因为M，E分别为BB1，CC1的中点，
所以四边形MBCE为正方形，
所以△MEF的面积为S△MEF＝ eq \f(1,2) ME·MB
＝ eq \f(1,2) ×2×2＝2.
所以三棱锥A­EFM的体积为V三棱锥A­EFM
＝ eq \f(1,3) S△MEF·AB＝ eq \f(1,3) ×2×2＝ eq \f(4,3) ，
所以三棱锥E­AFM的体积为 eq \f(4,3) .
(2)长方体ABCD­A1B1C1D1中，四边形BCC1B1是矩形，
因为E、M分别为棱CC1，BB1的中点，且BB1＝4，B1C1＝2，
所以四边形MEC1B1是正方形，
所以C1M⊥B1E，
又N，M分别为棱AA1，BB1的中点，
所以NM⊥平面BCC1B1，
又B1E⊂平面BCC1B1，
所以NM⊥B1E，
又因为NM∩C1M＝M，NM，C1M⊂平面C1MN，
所以B1E⊥平面C1MN，
又B1E⊂平面B1D1E，
所以平面B1D1E⊥平面C1MN.
6．如图，在三棱台DEF­ABC中， AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
【证明】(1)如图所示，连接DG，
设CD∩GF＝M，连接MH.
在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，
所以AC＝2DF.
因为G是AC的中点，
所以DF∥GC，且DF＝GC，
所以四边形CFDG是平行四边形，
所以DM＝MC.
因为BH＝HC，所以MH∥BD.
又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
(2)因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB.
因为AB⊥BC，所以GH⊥BC.
又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，
所以四边形EFCH是平行四边形，
所以CF∥HE.
因为CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH.
又BC⊂平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH.