高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直当堂达标检测题，共10页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设两个平面互相垂直，则( )
A．一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内
C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
【解析】选B.由面面垂直的定义、性质定理可知，B正确．
2．(2021·石家庄高一检测)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是( )
①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；
③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β；
④m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β.
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④
【解析】选D.对于①，当m∥α，n∥β，且m∥n时，有α∥β或α，β相交，所以①错误；
对于②，当m∥α，n∥β，且m⊥n时，有α⊥β或α∥β或α，β相交且不垂直，所以②错误；
对于③，当m⊥α，n⊥β，且m∥n时，得出m⊥β，所以α∥β，③正确；
对于④，当m⊥α，n⊥β，且m⊥n时，α⊥β成立，所以④正确．综上知，正确的命题序号是③④.
3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在( )
A.直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
【解析】选A.在四面体ABCD中
因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，
所以AC⊥平面ABD，AC平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC内的射影H必在AB上．
【加固训练】
如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线CA上 D．△ABC内部
【解析】选A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CA⊥AB,CA⊥BC1)) CA⊥面ABC1面ABC⊥面ABC1，所以C1在平面ABC上的射影H必在直线AB上．
4．(2021·北京高一检测)已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行，也不垂直，则m与n的位置关系是( )
A．可能垂直，但不可能平行
B．可能平行，但不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行
D．既不可能垂直，也不可能平行
【解析】选D.①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l＝O，
过O在β内作直线c⊥l，如图所示，
因为α⊥β，所以c⊥α，又因为mα，所以c⊥m，
又因为m⊥n，c∩n＝O，所以m⊥β，lβ，所以m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，
所以m与n不垂直；
②假设m∥n，则m∥β，mα，α∩β＝l，
所以m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不平行．
综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行．
【加固训练】
(2021·北京高一检测)三棱锥V­ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC＝45°，VA＝VB，AC＝AB.则( )
A．AC⊥BC B．VB⊥AC
C．VA⊥BC D．VC⊥AB
【解析】选C.因为∠ABC＝45°，AC＝AB，
所以△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠ABC＝45°，
所以AC与BC不垂直，即选项A错误；
过点V作VO⊥BC于O，连接OA，
因为侧面VBC⊥底面ABC，面VBC∩面ABC＝BC，所以VO⊥面ABC，
即V在底面ABC上的投影为点O，
因为BC面ABC，所以VO⊥BC.
因为VA＝VB，所以OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，
所以OA⊥BC，因为VO、OA面VOA，VO∩OA＝O，
所以BC⊥面VOA，因为VA面VOA
所以VA⊥BC，即选项C正确；
由三垂线定理知，若VB⊥AC，VC⊥AB，
则BC⊥AC，BC⊥AB，这与∠ACB＝∠ABC＝45°相矛盾，即选项B和D均错误．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·吕梁高一检测)如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有________；
(2)与AP垂直的直线有________．
【解析】∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，可知BC⊥平面PCA，
(1)与PC垂直的直线有：AC，BC，AB.
(2)与AP垂直的直线有：BC.
答案：(1)AC，BC，AB (2)BC
6．如图所示，等边三角形ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，则直线SC与平面ABS所成的角为________．
【解析】因为平面ABS⊥平面ABCD，平面ABS∩平面ABCD＝AB，CB平面ABCD，CB⊥AB.
所以CB⊥平面ABS.
所以∠BSC是直线SC与平面ABS所成的角．
因为SB＝AB＝BC，CB⊥SB，
所以∠BSC＝45°，
所以直线SC与平面ABS所成的角为45°.
答案：45°
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，α⊥β，α∩β＝l，ABα，AB⊥l，BCβ，DEβ，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.
【证明】因为α⊥β，α∩β＝l，ABα，AB⊥l，
所以AB⊥β.因为DEβ，所以AB⊥DE.
因为BC⊥DE，AB∩BC＝B，所以DE⊥平面ABC.
因为AC平面ABC，所以AC⊥DE.
8．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
【证明】(1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，
AB平面ABC，BC平面ABC，且AB∩BC＝B，
所以PA⊥平面ABC，BD平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC，
由(1)知PA⊥平面ABC，
因为PA平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC，
因为平面PAC∩平面ABC＝AC，BD平面ABC，BD⊥AC，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC.将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2.对于图2，下列选项错误的是( )
A.平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC D．PB＝2AN
【解析】选A.如图，图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；
由PD⊥平面ABCD，PD平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，
而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，故选项B正确；
因为AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，
即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．
因此错误的只能是A.
2．(多选题)如图，在三棱锥A­BCD中，CD⊥BC，AB⊥BD，平面ABC⊥平面BCD，则下列判断中正确的有( )
A.CD⊥AC
B．AB⊥平面BCD
C．AD⊥BC
D．图中恰有三对平面互相垂直
【解析】选ABD.对于选项A.因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，
CD平面BDC，又CD⊥BC，
所以CD⊥平面ABC，
因为AC平面ABC，AB平面ABC，
所以CD⊥AC，故A正确，
对于选项B.由上可知，CD⊥AB，
因为AB⊥BD，又因为BD∩CD＝D，
所以AB⊥平面BCD，故B正确，C若AD⊥BC，因为CD⊥BC，
又因为AD∩CD＝D，所以BC⊥平面ACD，
又因为AC平面ACD，所以BC⊥AC，
由上可知AB⊥BC，那么AB∥AC，矛盾，故C错误．对于选项D，由AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，知有三对平面互相垂直．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
【解析】如图，取CD的中点G，连接MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ eq \r(2) .
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，又NG平面DCEF，
所以MG⊥NG，所以MN＝ eq \r(MG2＋NG2) ＝ eq \r(6) .
答案： eq \r(6)
【加固训练】
在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
【解析】过A作AO⊥BD于O点，
因为平面ABD⊥平面BCD，
所以AO⊥平面BCD，
则∠ADO
即为AD与平面BCD所成的角．
因为∠BAD＝90°，AB＝AD，
所以∠ADO＝45°.
答案：45°
4.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD＝BD＝ eq \r(2) ，∠BAC＝30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是________．
①当平面ABD⊥平面ABC时，C，D两点间的距离为 eq \r(2) ；
②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；
③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D­ABC体积的最大值为 eq \f(\r(3),6) .
【解析】①取AB中点O，连接DO，CO，
因为AD＝BD＝ eq \r(2) ，
所以DO＝1，AB＝2，OC＝1
因为平面ABD⊥平面ABC，DO⊥AB，
所以DO⊥平面ABC，DO⊥OC，
所以DC＝ eq \r(2) ，①正确；
②若AB⊥CD，则AB⊥平面CDO，AB⊥OC，
因为O为中点，所以AC＝BC，∠BAC＝45°与∠BAC＝30°矛盾，所以②错误；
③当DO⊥平面ABC时，棱锥的高最大，此时V棱锥＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×AC×BC×DO＝ eq \f(1,6) × eq \r(3) ×1×1＝ eq \f(\r(3),6) .③正确．
答案：①③
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．
求证：(1)BC⊥平面PEB；
(2)平面PBC⊥平面ADMN.
【证明】(1)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD.
又因为侧面PAD是正三角形，且E为中点，
所以PE⊥AD，又因为PE∩BE＝E，
所以AD⊥平面PBE.又因为AD∥BC，
所以BC⊥平面PEB.
(2)由(1)知AD⊥平面PBE，又PB平面PBE，
所以AD⊥PB.又因为PA＝AB，N为PB的中点，
所以AN⊥PB.且AN∩AD＝A，
所以PB⊥平面ADMN.
又因为PB平面PBC.
所以平面PBC⊥平面ADMN.
6．如图所示，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.
(1)求证：AE∥平面BCD；
(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.
【证明】(1)取BC的中点M，连接DM，
因为BD＝CD且BD⊥CD，BC＝2.
所以DM＝1，DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥
平面ABC，
又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.
又因为AE平面BCD，DM平面BCD，
所以AE∥平面BCD.
(2)连接AM，由(1)知AE∥DM，
又AE＝1，DM＝1，
所以四边形DMAE是平行四边形，
所以DE∥AM.
又△ABC是正三角形，M为BC的中点，
所以AM⊥BC，
因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.
又CD平面BCD，所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，
所以CD⊥平面BDE.
因为CD平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE.